第2章 2.3.1 第1课时 两条直线平行的判定（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦两条直线平行的判定、方程求解及应用，以过山车轨道平行现象导入，引导学生从生活实例观察平行关系，通过倾斜角与斜率的关联构建知识脉络，形成从直观到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过分类讨论斜率存在与否（如垂直于x轴的直线）、实例辨析（如判断y=2x+3与2x-y+5=0是否平行），培养抽象能力与推理意识。课堂小结明确方法与误区，学生能系统掌握知识，教师可直接用于教学，提升效率。

第1课时 第2章 <<< 两条直线平行的判定 1.理解并掌握两条直线平行的条件. 2.会运用条件判定两条直线是否平行. 3.运用两条直线平行时的斜率关系求直线方程，解决相应的几何问题. 学习目标 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有 的互相平行，你能感受到过山车中的平 行吗？两条直线的平行用什么来刻画呢？ 导 语 一、两条直线平行的判定 二、求与已知直线平行的直线方程 课时对点练 三、直线平行的应用 随堂演练 内容索引 两条直线平行的判定 一 平面中的两条平行直线被x轴所截，形成的同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ 问题 提示　两直线平行，倾斜角相等. 两条直线平行的判定 (1)对于两条直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔_____________. (2)如果直线l1，l2的斜率都不存在，它们都与x轴垂直但在x轴上的截距不同，这时仍有______. (3)已知两条直线的一般式方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A2＝λA1，B2＝λB1，C2≠λC1，λ为非零实数. k1＝k2且b1≠b2 l1∥l2 知识梳理 (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合. (2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在). (3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在. 注 意 点 <<< 8 　　　判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)l1：y＝2x＋3，l2：2x－y＋5＝0； 例 1 设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2. 因为k1＝k2＝2，b1＝3，b2＝5，b1≠b2， 所以l1∥l2. 9 (2)l1：y＝2x＋1，l2：x－2y＝0； 所以l1与l2不平行. (3)l1：x＝3，l2：x＝10； 由两直线的方程可知，l1∥y轴， l2∥y轴，且两直线在x轴上的截距不相等， 所以l1∥l2. 10 (4)l1：y＝2x＋1，l2：2x－y＋1＝0. 因为k1＝k2＝2，b1＝b2＝1， 所以l1与l2重合. 11 判断两条不重合的直线是否平行的方法 反 思 感 悟 12 　　　　　判断下列各组直线是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)； 跟踪训练 1 设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2. k1≠k2， 所以l1与l2不平行. 13 (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； 所以l1∥l2或l1与l2重合. 14 (3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)； 所以A，B，M不共线，故l1∥l2. 15 (4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5). 由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2. 16 二 求与已知直线平行的直线方程 　　　求与直线3x＋4y＋1＝0平行，且过点(1,2)的直线l的方程. 例 2 18 方法一　设直线l的斜率为k， ∵直线l与直线3x＋4y＋1＝0平行， 又∵直线l经过点(1,2)， 即3x＋4y－11＝0. 19 方法二　设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠1). ∵直线l经过点(1,2)， ∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11， ∴所求直线的方程为3x＋4y－11＝0. 20 反 思 感 悟 与已知直线平行的直线方程的求法可以求点斜式方程，也可以先设成一般式，用待定系数法求方程. 　　　　　与直线3x＋4y＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为 的直线的方程为______________. 跟踪训练 2 3x＋4y－4＝0 22 方法一　由题意，设所求直线的方程为 23 直线平行的应用 三 　　　(1)已知直线l的倾斜角为 ，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为 A.0 　　　　B.1 　　　　C.6 　　　　D.0或6 例 3 √ 因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1. 又直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)， 25 (2)(多选)三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3可以围成三角形，则a的取值可以是 A.－1 B.1 C.2 D.5 √ √ 直线x＋y＝0与x－y＝0都经过原点，而无论a为何值，直线x＋ay＝3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x＋ay＝3与另两条直线不平行，所以a≠±1. 26 反 思 感 悟 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则： l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0). 　　　　　若直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行，则a＝____. 跟踪训练 3 解得a＝－1. －1 28 1.知识清单： (1)两直线平行的条件. (2)由两直线平行求参数值. (3)求与已知直线平行的直线方程. 2.方法归纳：分类讨论、数形结合. 3.常见误区：研究两直线平行关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知直线l1的倾斜角为30°，直线l1∥l2，则直线l2的斜率为 √ 2.若直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0平行，则a的值是 A.1 B.－2 C.1或－2 D.－1或2 1 2 3 4 √ 由已知，得a(a＋1)－2＝0，解得a＝－2或a＝1.当a＝1时，两直线重合，∴a＝－2. 3.已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为 A.－8 B.0 C.2 D.10 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 由题意可设所求直线方程为x＋2y＋c＝0(c≠－2).因为(5,0)在该直线上，所以5＋2×0＋c＝0，得c＝－5，故该直线方程为x＋2y－5＝0.　 4.过点(5,0)且与x＋2y－2＝0平行的直线方程是 A.2x＋y＋5＝0 B.2x＋y－5＝0 C.x＋2y－5＝0 D.x＋2y＋5＝0 √ 课时对点练 五 1.(多选)若l1与l2为两条直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列选项中正确的是 A.若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B.若k1＝k2，则l1∥l2 C.若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2 D.若α1＝α2，则l1∥l2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ 2.过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是 A.相交但不垂直 B.平行 C.重合 D.垂直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 斜率都为0且不重合，所以平行. 3.若过点P(3,2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，直线PQ的斜率存在， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 过点(0,7)且与直线y＝－4x＋2平行的直线方程为y－7＝－4x， 即直线l的方程为y＝－4x＋7. 4.已知直线l过点(0,7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为 A.y＝－4x－7 B.y＝4x－7 C.y＝4x＋7 D.y＝－4x＋7 √ 5.设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件. 6.已知直线l：(a－1)x＋(b＋2)y＋c＝0，若l∥y轴，则下列结论正确的是 A.a≠1，b≠2，c≠0 B.a≠1，b＝－2，c≠0 C.a＝1，b≠－2，c≠0 D.a≠1，b≠－2，c≠0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 直线l1的倾斜角为135°， 故斜率 ＝tan 135°＝－1. 由l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)， 7.若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是___________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 平行或重合 所以直线l1与l2平行或重合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x－2y＋5＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即x－2y＋5＝0. 9.根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行. (1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2. 因为k1＝k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.若l1与l2平行，求a的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0， l2：x＝0，l1不平行于l2； 当a＝0时，l1：y＝－3， l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2； 当a≠1且a≠0时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得a＝－1， 综上可知，当a＝－1时，l1∥l2. 可得a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2. 11.已知点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为 A.－1或0 B.0或1 C.1 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且两直线不重合，此时AB∥CD； 综上，m＝0或1. 12.如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1,1)，B(3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是 A.(－3,1) B.(4,1) C.(－2,1) D.(2，－1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B.根据平行四边形的性质，可知选项B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标，满足条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知直线l与直线3x＋4y－7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为______________________________. 3x＋4y－24＝0或3x＋4y＋24＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得b＝±24， 所以直线l的方程为3x＋4y±24＝0. 15.已知集合A＝{(x，y)|x＋ay－a＝0}，B＝{(x，y)|ax＋(2a＋3)y－1＝0}.若A∩B＝∅，则实数a＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为A∩B＝∅，所以直线x＋ay－a＝0与直线ax＋(2a＋3)y－1＝0没有交点， 所以直线x＋ay－a＝0与直线ax＋(2a＋3)y－1＝0互相平行， 所以1×(2a＋3)－a×a＝0，解得a＝－1或a＝3， 当a＝－1时，两直线方程分别为x－y＋1＝0，－x＋y－1＝0，此时两直线重合，不满足； 当a＝3时，两直线方程分别为x＋3y－3＝0,3x＋9y－1＝0，此时两直线平行，满足， 所以a的值为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.在平面直角坐标系xOy中，直线l1：ax＋by＋1＝0，l2：(a－2)x＋y＋a＝0. (1)求直线l2经过定点的坐标； ∵(a－2)x＋y＋a＝0， ∴ax－2x＋y＋a＝0， ∴a(x＋1)＋(y－2x)＝0，令x＋1＝0且y－2x＝0，则x＝－1，y＝－2， ∴对任意a∈R，直线l2：(a－2)x＋y＋a＝0过定点(－1，－2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当b＝4时，直线l1：ax＋4y＋1＝0， (2)当b＝4且l1∥l2时，求实数a的值. 又知直线l2：(a－2)x＋y＋a＝0， 即y＝(2－a)x－a， 因为k1＝2，k2＝，k1≠k2. 因为k1＝＝1，k2＝＝， 因为k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2， 因为k1＝＝－1， k2＝＝－1，k1＝k2. 又kAM＝＝－2≠－1， ∴k＝－， ∴所求直线的方程为y－2＝－(x－1)， 解得故所求直线的方程为3x＋4y－4＝0. 3x＋4y＋m＝0(m≠1).令x＝0，得y＝－； 令y＝0，得x＝－，所以－＋＝，解得m＝－4，所以所求直线的方程为3x＋4y－4＝0. 方法二　由题意知，所求直线不过原点，即在两坐标轴上的截距都不为0. 故可设所求直线的方程为＋＝1(a≠0，b≠0)，则有 故＝－1，解得a＝6. 由直线l的倾斜角为得l的斜率为－1， 所以l1的斜率为， 由题意得 因为l1∥l2，所以 ＝ ＝tan 30°＝. A. B.－ C. D.－ 由已知，得＝－2，∴m＝－8，经检验，直线AB与2x＋y－1＝0不重合，符合题意. A. B.－ C.2 D.－2 由kPQ＝kMN，即＝， 得m＝－.经检验知，m＝－符合题意. 当m＝2时，易知两直线平行，即充分性成立.当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1， ∵直线l：(a－1)x＋(b＋2)y＋c＝0平行于y轴，∴解得a≠1，b＝－2，c≠0. 得 ＝＝－1，所以 ， 8.已知点A(－1,2)，B(3,4)，线段AB的中点为M，则过点M且平行于直线－＝1的直线方程为_____________. 由题意得M(1,3)，直线－＝1的方程化为斜截式为y＝x－2，∵其斜率为， ∴所求直线的斜率为， ∴所求直线的方程为y－3＝(x－1)， 由题意知k1＝＝－， k2＝＝－. (2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3,2)，N(－2，－3). 由题意知k1＝tan 60°＝， k2＝＝. 两直线可化为l1：y＝－x－3， l2：y＝x－(a＋1)， 则l1∥l2⇔ 方法二　l2∥l2⇔ ⇔⇔ 当m≠0时，kAB＝，kCD＝， 则kAB＝kCD，即＝，得m＝1， 13.已知两条直线的斜率分别为和－，若这两条直线互相平行，则 实数a的最大值为_____. 因为两条直线互相平行，所以＝－，所以a＝－b4＋b2＝－2＋≤，当且仅当b2＝时取等号，故实数a的最大值为. 因为直线l与直线3x＋4y－7＝0平行，所以设直线l的方程为3x＋4y＋b＝0(b≠－7)，易知b≠0，则其与x轴交于点，与y轴交于点. 依题意可得，××＝24， 即y＝－x－， ∵l1∥l2，∴－＝2－a且－≠－a， ∴a＝. $