课时测评17 直线的两点式方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评17　直线的两点式方程 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.直线－＋＝1在x轴上的截距为(　　) A.2 B.－2 C.－3 D.3 答案：B 解析：令y＝0，则x＝－2，故直线在x轴上的截距为－2， 故选B. 2.过坐标平面内两点(1，2)和(3，4)的直线的方程为(　　) A.y＝x－1 B.y＝x＋1 C.y＝－x＋2 D.y＝－x－2 答案：B 解析：代入直线的两点式方程得＝，整理得y＝x＋1. 3.直线＋＝1过一、二、三象限，则(　　) A.a＞0，b＞0 B.a＞0，b＜0 C.a＜0，b＞0 D.a＜0，b＜0 答案：C 解析：直线＋＝1在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，若此直线过一、二、三象限，则－＞0，b＞0，所以a＜0，b＞0. 4.(多选)经过点M(1，1)，且在两坐标轴上截距相等的直线是(　　) A.x＋y＝2 B.x＋y＝1 C.x＝y D.x＝1 答案：AC 解析：若截距为0，则直线方程为y＝x； 若截距不为0，设直线方程为x＋y＝a. 又直线过M点， 所以1＋1＝a，所以a＝2， 故直线方程为x＋y＝2，故选AC. 5.(多选)下列说法正确的是(　　) A.不经过原点的直线都可以表示为＋＝1 B.若直线与两坐标轴交点分别为A、B且AB的中点为(4，1)则直线l的方程为＋＝1 C.过点(1，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y＝x或x＋y＝2 D.直线3x－2y＝4的截距式方程为＋＝1 答案：BCD 解析：A中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错误；B中，AB的中点为(4，1)，那么A(8，0)，B(0，2)的直线方程为＋＝1，故B正确；C中，过原点时，直线为y＝x，不过原点时直线为x＋y＝2，故C正确；D中，方程3x－2y＝4可化为＋＝1，故D正确. 6.已知直线＋＝1与坐标轴围成的图形面积为6，则a的值为　　　　. 答案：±2 解析：由＋＝1知S＝｜a｜·｜6｜＝6，所以a＝±2. 7.过(－1，－1)和(1，3)两点的直线在x轴上的截距为　　　　，在y轴上的截距为　　　　. 答案：－　1 解析：由已知得直线的方程为＝，化简得2x－y＋1＝0，令x＝0，得y＝1，令y＝0，得x＝－，故直线在x，y轴上的截距分别为－，1. 8.直线l过原点且平分▱ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1，4)，D(5，0)，则直线l的方程为　　　　　　　　. 答案：y＝x 解析：因为直线l平分平行四边形ABCD的面积，所以直线l过平行四边形对角线BD的中点(3，2)，又直线l过原点，所以直线l的方程为y＝x. 9.(10分)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求： (1)顶点C的坐标； (2)直线MN的截距式方程. 解：(1)设点C(x，y)， 因为边AC的中点M在y轴上，所以＝0， 所以x＝－5. 因为边BC的中点N在x轴上，所以＝0， 所以y＝－3. 故顶点C的坐标是(－5，－3). (2)由已知及(1)，可得点M的坐标是(0，－)，点N的坐标是(1，0)，所以直线MN的截距式方程为＋＝1. 10.(13分)已知直线l经过点(1，6)和点(8，－8). (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积. 解：(1)因为直线l的两点式方程为＝. 所以＝，即＝x－1. 所以y－6＝－2x＋2，即2x＋y＝8. 所以＋＝1. 故所求截距式方程为＋＝1. (2)如图所示，直线l与两坐标轴围成的图形是直角三角形AOB，且OA⊥OB，｜OA｜＝4，｜OB｜＝8， 故S△AOB＝×｜OA｜×｜OB｜＝×4×8＝16. 故直线l与两坐标轴围成的图形面积为16. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是(　　) A. B.∪ C.∪ D.∪ 答案：D 解析：设直线的斜率为k，如图， 过定点A的直线经过点B时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C时，直线l在x轴上的截距为－3，此时k＝，所以满足条件的直线l的斜率的取值范围是(－∞，－1)∪. 12.已知A(3，0)，B(0，4)，P(m，n)是直线AB上一动点，则mn的最大值是(　　) A.2 B.3 C.8 D.12 答案：B 解析：易求得直线AB的方程为＋＝1， 因为P(m，n)在直线AB上，所以m＝3－n， 所以mn＝3n－n2＝[－(n－2)2＋4]≤3， 当n＝2时，mn取得最大值3.故选B. 13.直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过点A(6，－2)，则直线l的方程为　　　　　　　　. 答案：x＋2y－2＝0或2x＋3y－6＝0 解析：设直线l在y轴上的截距为a.当a＝0或－1时，不符合题意，所以a≠0且a≠－1.由截距式方程得＋＝1，代入点A(6，－2)的坐标，得－＝1，即a2－3a＋2＝0，所以a＝2或a＝1.所以直线l的方程为＋y＝1或＋＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋3y－6＝0. 14.(15分)已知直线l过点P(4，1)， (1)若直线l过点Q(－1，6)，求直线l的方程； (2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程. 解：(1)因为直线l过点P(4，1)，Q(－1，6)，所以直线l的方程为＝，即x＋y－5＝0. (2)由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的斜率为k，则其方程为y－1＝k(x－4). 令x＝0得，y＝1－4k； 令y＝0得，x＝4－. 所以1－4k＝2， 解得k＝或k＝－2. 所以直线l的方程为y－1＝(x－4)或y－1＝－2(x－4)， 即y＝x或2x＋y－9＝0. 15.(17分)在路边安装路灯，路宽23 m，灯杆长2.5 m，且与灯柱成120°角.路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直.当灯柱高h约为多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？(精确到0.01 m) 解：记灯柱顶端为点B，灯罩处为点A，灯杆为AB，灯罩轴线与道路路面的中线交于点C.以灯柱底端O点为坐标原点，灯柱OB所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则点B的坐标为(0，h)，点C的坐标为(11.5，0). 因为∠OBA＝120°，所以直线BA的倾斜角为120°－90°＝30°，则点A的坐标为(2.5cos 30°，h＋2.5sin 30°)，即(，h＋1.25). 因为CA⊥BA，所以kCA＝－＝－＝－. 由点斜式，得直线CA的方程是y－(h＋1.25) ＝－(x－). 因为灯罩轴线CA过点C(11.5，0)， 所以－(h＋1.25)＝－×(11.5－)，解得h≈14.92 m. 故灯柱高约为14.92 m. 学生用书⬇第49页 学科网（北京）股份有限公司 $