2.2.2 直线的两点式方程同步练习-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

2.2.2　直线的两点式方程 一、必备知识基础 1.已知直线l经过点(-3,-2),(1,2),则下列不在直线l上的点是(　　) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(2,1) 2.(多选题)若直线过点P(1,2)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等,则直线的方程可能为(　　) A.x-y+1=0 B.x+y-3=0 C.2x-y=0 D.x+y+1=0 3.经过A(-1,-5),B(2,13)两点的直线在x轴上的截距为(　　) A.-1 B.1 C.- D. 4.过A(x1,y1)和B(x2,y2)两点的直线方程是(　　) A. B. C.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0 D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0 5.(多选题)直线l:=1中,已知a>0,b>0.若直线l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10,则数对(a,b)可以是(　　) A.(3,8) B.(1,9) C.(7,4) D.(5,3) 6.(2025甘肃兰州高二期中)已知直线l在x轴与y轴上的截距分别为4,9,若点E(1,b)在直线l上,则b=　　　　　.  7.直线l过点P(-2,3)且与x轴,y轴分别交于A,B两点,若P恰为线段AB的中点,则直线l的方程为　　　　　　　　.  8.求过点(5,2),且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线方程. 二、关键能力提升 9.过点(-2,0)且在两坐标轴上的截距之差为3的直线方程是(　　) A.+y=1 B.=1 C.=1 D.+y=1或=1 10.已知直角坐标系xOy平面上的直线=1经过第一、第二和第四象限,则a,b满足(　　) A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b<0 D.a<0,b>0 11.在同一平面直角坐标系中,两直线=1与=1的图象可能是(　　) 12.(多选题)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为(　　) A.x+y-5=0 B.x-y-5=0 C.x-4y=0 D.x+4y=0 13.过点(2,1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6的直线方程为　　　　　　　　　　　　.  14.直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过定点A(6,-2),则直线l的方程为　 . 15.已知直线l:=1. (1)若直线l的斜率是2,求m的值; (2)当直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时,求直线l的方程. 16.一条光线从点A(3,2)发出,经x轴反射后,通过点B(-1,6),求入射光线和反射光线所在的直线方程. 三、学科素养创新 17.已知M(-2,3),N(6,2),点P在x轴上,且使得|PM|+|PN|取最小值,则点P的坐标为(　　) A.(-2,0) B.(,0) C.(,0) D.(6,0) 18.过点P(4,1)作直线l分别交x轴,y轴正半轴于A,B两点,O为坐标原点.当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为　　　　　　　　.  参考答案 1.D　由直线的两点式方程,得直线l的方程为,即x-y+1=0, 将各个选项中的坐标代入直线方程, 可知点(-2,-1),(-1,0),(0,1)都在直线l上,点(2,1)不在直线l上.故选D. 2.ABC　显然P(1,2)在直线x-y+1=0上,且直线在x轴、y轴上的截距均为1,符合; 显然P(1,2)在直线x+y-3=0上,且直线在x轴、y轴上的截距均为3,符合; 显然P(1,2)在直线2x-y=0上,且直线在x轴、y轴上的截距均为0,符合; P(1,2)不在直线x+y+1=0上,不符合.故选ABC. 3.C　由直线的两点式可得直线的方程为,整理得6x-y+1=0. 将y=0代入可得直线在x轴上的截距为x=-.故选C. 4.C　当x1≠x2时,过点A,B的直线的斜率k=,直线方程是y-y1=(x-x1),整理得(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0; 当x1=x2时,过点A,B的直线方程是x=x1或x=x2,即x-x1=0或x-x2=0,满足(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0. 因此过A,B两点的直线方程是(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0.故选C. 5.AC　因为a>0,b>0,所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S=ab,于是ab≥10,解得ab≥20. 当a=3时,b=8;a=7时,b=4,满足题意,故选AC. 6.　解析 由题得直线的截距式方程为=1. 又点E(1,b)在直线l上, 所以=1, 解得b=. 7.3x-2y+12=0　设A(x,0),B(0,y),由中点坐标公式得=-2,=3,解得x=-4,y=6. 由直线l过点(-4,0),(0,6),因此直线l的方程为=1,整理可得3x-2y+12=0. 8.解当直线在两坐标轴的截距均为零时,又过点(5,2),所以直线方程为2x-5y=0; 当直线在两坐标轴上的截距不为零时,设直线方程为=1(a≠0),将点(5,2)代入直线方程,解得a=. 所以直线方程为x+2y-9=0. 综上,满足题意的直线方程为x+2y-9=0或2x-5y=0. 9.D　由题可知,直线过点(-2,0),所以直线在x轴上的截距为-2. 又直线在两坐标轴上的截距之差为3,所以直线在y轴上的截距为1或-5,则所求直线方程为+y=1或=1.故选D. 10.A　令x=0,则y=b;令y=0,则x=a,所以(0,b),(a,0)在直线=1上. 因为直线=1经过第一、第二和第四象限,所以a>0,b>0. 故选A. 11.D　将直线=1化为=1,则直线在x轴上的截距为m,在y轴上的截距为-n; 将直线=1化为=1,则在x轴上的截距为n,在y轴上的截距为-m,所以两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距互为相反数. A中,两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距同为正数,不满足题意; B中,两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距同为负数,不满足题意; C中,两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距同为负数,不满足题意; D中,两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距均异号,满足题意.故选D. 12.AC　当直线过点(0,0)时,直线方程为y=x,即x-4y=0;当直线不过点(0,0)时,可设直线方程为=1,把(4,1)代入,解得a=5,所以直线方程为x+y-5=0.综上可知,直线方程为x+y-5=0或x-4y=0. 13.x+y-3=0或x+2y-4=0　解析 由题意可知直线的斜率存在且不为0,设直线方程为=1, 则有解得a=b=3,或a=4,b=2. 所以直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0. 14.x+2y-2=0或2x+3y-6=0　设直线在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为a-1. 由截距式可得直线方程为=1,将(6,-2)代入直线方程,解得a=2或a=3. 将a=2或a=3代入直线方程整理可得x+2y-2=0或2x+3y-6=0. 15.解(1)直线l过点(m,0),(0,4-m), 则=2,解得m=-4. (2)由题知,m>0,4-m>0,解得0<m<4, 则S=. 当m=2时,S有最大值,故直线l的方程为x+y-2=0. 16.解如图,作点A关于x轴的对称点A',显然,A'坐标为(3,-2),连接A'B,则A'B所在直线即为反射光线. 由两点式可得直线A'B的方程为,整理得2x+y-4=0. 同理,点B关于x轴的对称点为B'(-1,-6)(图略),由两点式可得直线AB'的方程为,整理得2x-y-4=0, 故入射光线所在直线方程为2x-y-4=0, 反射光线所在直线方程为2x+y-4=0. 17.C　如图,M关于x轴的对称点是M'(-2,-3),M'和N在x轴两侧,连接M'N, M'N与x轴交于P点,此时|PM|+|PN|取最小值,即|PM|+|PN|=|M'N|,而直线M'N的方程为,整理得5x-8y-14=0. 又直线M'N交x轴于P点,令y=0,解得x=,即P点坐标为(,0).故选C. 18.x+2y-6=0　由题意设A(a,0),B(0,b),其中a>0,b>0,则直线的截距式方程为=1,代入点P(4,1)得=1. 所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)()=4+1+≥5+2=5+4=9, 当且仅当,即a=6且b=3时,等式成立. 此时直线l的方程为=1,整理得x+2y-6=0. 5 学科网（北京）股份有限公司 $