3 2.2.2 直线的两点式方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

本讲义聚焦直线的两点式方程与截距式方程核心知识点，承接点斜式方程，通过问题引导推导两点式方程，辨析适用条件，延伸至截距式方程，为直线方程综合应用搭建学习支架。 以任务驱动探究，从几何要素出发引导学生抽象直线方程，培养数学眼光，通过推导与适用条件分析发展推理意识，结合荒地开发等实例用方程解决问题，体现数学语言价值。课中助教师互动教学，课后测评帮学生查漏补缺，提升数学运算素养。

2.2.2　直线的两点式方程 学习目标 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程，培养数学抽象的核心素养. 2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围. 3.能用直线的两点式方程和截距式方程解决有关问题，提升数学运算的核心素养. 任务一　直线的两点式方程 问题1.我们知道已知两点也可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程.若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？ 提示：＝ 过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线 (y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0称为直线的两点式方程，简称两点式. 直线既不平行于x轴也不平行于y轴，则x2≠x1且y2≠y1，两点式方程可以写成＝. 如果x1＝x2或y1＝y2，则直线P1P2没有两点式方程.当x1＝x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为x－x1＝0，即x＝x1；当y1＝y2时，直线P1P2垂直于y轴，直线方程为y－y1＝0，即y＝y1. 已知三角形的三个顶点坐标分别是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求AC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程. 解：过点A(－5，0)，C(0，2)的直线的两点式方程为＝，整理得2x－5y＋10＝0，此为AC边所在直线的方程. 设边AC的中点为D(x，y)，则AC边上的中线是顶点B与AC边中点D所连线段，且所以点D的坐标为. 由两点式得直线BD的方程为＝，整理得8x＋11y＋9＝0，此为AC边上的中线所在直线的方程. 学生用书⬇第47页 求直线的两点式方程的策略以及注意点 1.当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程. 2.由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系. 对点练1.已知直线l的两点式方程为＝，则l的斜率为(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：A 解析：由两点式方程＝，知直线l过点(－5，0)，(3，－3)，所以l的斜率为＝－. 对点练2.已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程. 解：(1)当m＝1时，直线斜率不存在，直线方程为x＝1； (2)当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0. 综上可得：当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0. 任务二　直线的截距式方程 问题2.若给定直线上两点A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？ 提示：＋＝1 涉及到两坐标轴上的截距是倍数关系(包括相等关系，互为相反数关系)时，不要漏掉截距为0的情况. 若直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，则由两点式得直线l的方程为＝，即＋＝1. 我们把方程＋＝1叫作直线的截距式方程，简称截距式，把直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 求过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程. 解：(1)当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0. (2)当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为＋＝1，即x－y＝a，又因为l过点A(5，2)， 所以5－2＝a，a＝3， 所以直线l的方程为x－y－3＝0. 综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0. 截距式方程应用的注意事项 1.如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可. 2.选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直. 3.要注意截距式直线方程的逆向应用. 对点练3.直线x＋y＝1在两坐标轴上的截距之和为(　　) A.1　　　B.－1　　　C.7　　　D.－7 答案：C 解析：直线在x轴上截距为，在y轴上截距为，因此截距之和为7. 对点练4.求过点A(5，2)，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍的直线l的方程. 解：①当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0符合题意. ②当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为＋＝1， 又l过点(5，2)，所以＋＝1，解得a＝. 所以l的方程为x＋2y－9＝0. 综上所述，直线l的方程为2x－5y＝0或x＋2y－9＝0. 学生用书⬇第48页 任务三　直线方程的实际应用 某小区内有一块荒地ABCDE，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发(如图所示).问如何设计才能使开发的面积最大？最大开发面积是多少？(已知BC＝210 m，CD＝240 m，DE＝300 m，EA＝180 m) 解：以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，由已知可知A(0，60)，B(90，0)， 所以AB所在直线的方程为＋＝1， 即y＝60－x. 由图可知，欲使开发的长方形地面面积最大，则长方形的一个顶点(设为P)必在线段AB上，从而可设P(x，60－x)，其中0≤x≤90， 所以所开发部分的面积为S＝(300－x)(240－y). 故S＝(300－x)(240－60＋x) ＝－x2＋20x＋54 000(0≤x≤90)， 所以当x＝－＝15时，S取得最大值，最大值为－×152＋20×15＋54 000＝54 150(m2)，此时y＝60－×15＝50. 因此当点P距AE所在直线15 m，距BC所在直线50 m时所开发的面积最大，最大面积为54 150 m2. 利用已知条件求出符合的直线方程，再结合图形解决实际问题. 对点练5.如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，那么需要购买行李车票，行李费用y(单位：元)与行李重量x(单位：kg)的关系用直线AB的方程表示. (1)求直线AB的方程； (2)旅客最多可免费携带多少千克行李？ 解：(1)由图知，A，B两点坐标分别为A(60，6)，B(80，10). 由直线方程的两点式或点斜式可求得直线AB的方程是x－5y－30＝0. (2)依题意，令y＝0，得x＝30，即旅客最多可免费携带30 kg行李. 1.过点(2，5)，(2，－6)两点的直线方程是(　　) A.x＝2 B.y＝2 C.x＋y＝5 D.x＋y＝－6 答案：A 解析：过这两点的直线与x轴垂直，所以直线方程是x＝2.故选A. 2.过点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距是(　　) A.－ B.－ C. D.2 答案：B 解析：k＝＝2，过点(－1，1)，(3，9)的直线方程为y－1＝2(x＋1).当y＝0时，x＝－，故在x轴上的截距为－. 3.已知A，B，直线AB上一动点P，则xy的最大值是　　　　. 答案：5 解析：直线AB的方程为＋＝1，显然xy取得最大值时，x，y＞0，又因为＋≥2，即2≤1，解得xy≤5，当且仅当x＝2，y＝时取等号. 4.直线l过点(1，2)和第一、二、四象限，若l的两截距之和为6，求直线l的方程. 解：设直线l的横截距为a，则纵截距为6－a，设直线l的方程为＋＝1，因为点(1，2)在直线l上，所以＋＝1，即a2－5a＋6＝0.解得a1＝2，a2＝3.当a＝2时，直线的方程为＋＝1；当a＝3时，直线的方程为＋＝1.直线l都经过第一、二、四象限，符合题意，综上知，直线l的方程为＋＝1或＋＝1. 课时测评17　直线的两点式方程 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.直线－＋＝1在x轴上的截距为(　　) A.2 B.－2 C.－3 D.3 答案：B 解析：令y＝0，则x＝－2，故直线在x轴上的截距为－2， 故选B. 2.过坐标平面内两点(1，2)和(3，4)的直线的方程为(　　) A.y＝x－1 B.y＝x＋1 C.y＝－x＋2 D.y＝－x－2 答案：B 解析：代入直线的两点式方程得＝，整理得y＝x＋1. 3.直线＋＝1过一、二、三象限，则(　　) A.a＞0，b＞0 B.a＞0，b＜0 C.a＜0，b＞0 D.a＜0，b＜0 答案：C 解析：直线＋＝1在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，若此直线过一、二、三象限，则－＞0，b＞0，所以a＜0，b＞0. 4.(多选)经过点M(1，1)，且在两坐标轴上截距相等的直线是(　　) A.x＋y＝2 B.x＋y＝1 C.x＝y D.x＝1 答案：AC 解析：若截距为0，则直线方程为y＝x； 若截距不为0，设直线方程为x＋y＝a. 又直线过M点， 所以1＋1＝a，所以a＝2， 故直线方程为x＋y＝2，故选AC. 5.(多选)下列说法正确的是(　　) A.不经过原点的直线都可以表示为＋＝1 B.若直线与两坐标轴交点分别为A、B且AB的中点为(4，1)则直线l的方程为＋＝1 C.过点(1，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y＝x或x＋y＝2 D.直线3x－2y＝4的截距式方程为＋＝1 答案：BCD 解析：A中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错误；B中，AB的中点为(4，1)，那么A(8，0)，B(0，2)的直线方程为＋＝1，故B正确；C中，过原点时，直线为y＝x，不过原点时直线为x＋y＝2，故C正确；D中，方程3x－2y＝4可化为＋＝1，故D正确. 6.已知直线＋＝1与坐标轴围成的图形面积为6，则a的值为　　　　. 答案：±2 解析：由＋＝1知S＝｜a｜·｜6｜＝6，所以a＝±2. 7.过(－1，－1)和(1，3)两点的直线在x轴上的截距为　　　　，在y轴上的截距为　　　　. 答案：－　1 解析：由已知得直线的方程为＝，化简得2x－y＋1＝0，令x＝0，得y＝1，令y＝0，得x＝－，故直线在x，y轴上的截距分别为－，1. 8.直线l过原点且平分▱ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1，4)，D(5，0)，则直线l的方程为　　　　　　　　. 答案：y＝x 解析：因为直线l平分平行四边形ABCD的面积，所以直线l过平行四边形对角线BD的中点(3，2)，又直线l过原点，所以直线l的方程为y＝x. 9.(10分)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求： (1)顶点C的坐标； (2)直线MN的截距式方程. 解：(1)设点C(x，y)， 因为边AC的中点M在y轴上，所以＝0， 所以x＝－5. 因为边BC的中点N在x轴上，所以＝0， 所以y＝－3. 故顶点C的坐标是(－5，－3). (2)由已知及(1)，可得点M的坐标是(0，－)，点N的坐标是(1，0)，所以直线MN的截距式方程为＋＝1. 10.(13分)已知直线l经过点(1，6)和点(8，－8). (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积. 解：(1)因为直线l的两点式方程为＝. 所以＝，即＝x－1. 所以y－6＝－2x＋2，即2x＋y＝8. 所以＋＝1. 故所求截距式方程为＋＝1. (2)如图所示，直线l与两坐标轴围成的图形是直角三角形AOB，且OA⊥OB，｜OA｜＝4，｜OB｜＝8， 故S△AOB＝×｜OA｜×｜OB｜＝×4×8＝16. 故直线l与两坐标轴围成的图形面积为16. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是(　　) A. B.∪ C.∪ D.∪ 答案：D 解析：设直线的斜率为k，如图， 过定点A的直线经过点B时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C时，直线l在x轴上的截距为－3，此时k＝，所以满足条件的直线l的斜率的取值范围是(－∞，－1)∪. 12.已知A(3，0)，B(0，4)，P(m，n)是直线AB上一动点，则mn的最大值是(　　) A.2 B.3 C.8 D.12 答案：B 解析：易求得直线AB的方程为＋＝1， 因为P(m，n)在直线AB上，所以m＝3－n， 所以mn＝3n－n2＝[－(n－2)2＋4]≤3， 当n＝2时，mn取得最大值3.故选B. 13.直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过点A(6，－2)，则直线l的方程为　　　　　　　　. 答案：x＋2y－2＝0或2x＋3y－6＝0 解析：设直线l在y轴上的截距为a.当a＝0或－1时，不符合题意，所以a≠0且a≠－1.由截距式方程得＋＝1，代入点A(6，－2)的坐标，得－＝1，即a2－3a＋2＝0，所以a＝2或a＝1.所以直线l的方程为＋y＝1或＋＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋3y－6＝0. 14.(15分)已知直线l过点P(4，1)， (1)若直线l过点Q(－1，6)，求直线l的方程； (2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程. 解：(1)因为直线l过点P(4，1)，Q(－1，6)，所以直线l的方程为＝，即x＋y－5＝0. (2)由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的斜率为k，则其方程为y－1＝k(x－4). 令x＝0得，y＝1－4k； 令y＝0得，x＝4－. 所以1－4k＝2， 解得k＝或k＝－2. 所以直线l的方程为y－1＝(x－4)或y－1＝－2(x－4)， 即y＝x或2x＋y－9＝0. 15.(17分)在路边安装路灯，路宽23 m，灯杆长2.5 m，且与灯柱成120°角.路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直.当灯柱高h约为多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？(精确到0.01 m) 解：记灯柱顶端为点B，灯罩处为点A，灯杆为AB，灯罩轴线与道路路面的中线交于点C.以灯柱底端O点为坐标原点，灯柱OB所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则点B的坐标为(0，h)，点C的坐标为(11.5，0). 因为∠OBA＝120°，所以直线BA的倾斜角为120°－90°＝30°，则点A的坐标为(2.5cos 30°，h＋2.5sin 30°)，即(，h＋1.25). 因为CA⊥BA，所以kCA＝－＝－＝－. 由点斜式，得直线CA的方程是y－(h＋1.25) ＝－(x－). 因为灯罩轴线CA过点C(11.5，0)， 所以－(h＋1.25)＝－×(11.5－)，解得h≈14.92 m. 故灯柱高约为14.92 m. 学生用书⬇第49页 学科网（北京）股份有限公司 $