课时测评9 等比数列与指数函数-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评9　等比数列与指数函数 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是(　　) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 答案：D 解析：由公比q＜0可知，该等比数列是摆动数列. 2.在数列{an}中，对任意n∈N＋，都有an＋1－2an＝0(an≠0)，则等于(　　) A.1 B. C. D. 答案：D 解析：由an＋1－2an＝0知an＋1＝2an，故{an}是等比数列，且q＝2，则＝＝＝. 3.已知数列{an}对任意的n≥2且n∈N＋，满足＝an－1an＋1，且a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式为(　　) A.an＝2n B.an＝2n－1 C.an＝n D.无法确定 答案：B 解析：由题意可知数列{an}是等比数列，首项a1＝1，公比q＝2，所以an＝2n－1. 4.若正项数列{an}满足a1＝2，－3an＋1an－4＝0，则数列{an}的通项公式an等于(　　) A.22n－1 B.2n C.22n＋1 D.22n－3 答案：A 解析：由－3an＋1an－4＝0， 得(an＋1－4an)·(an＋1＋an)＝0. 又{an}是正项数列，所以an＋1－4an＝0，＝4. 由等比数列的定义知数列{an}是以2为首项， 4为公比的等比数列.由等比数列的通项公式，得an＝2×4n－1＝22n－1. 5.已知等比数列{an}的公比为q，首项a1＞0，则“q＜1”是“等比数列{an}为递减数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 解析：若q＜0，则等比数列{an}为摆动数列，由于等比数列{an}为递减数列，则q＞0. 若a1＞0，则an＝a1qn－1＞0，由an＋1＜an，所以q＜1； 所以a1＞0，等比数列{an}为递减数列⇔0＜q＜1， 所以若a1＞0，“q＜1”是“等比数列{an}为递减数列”的必要不充分条件. 6.(多选)设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1＞1，a7a8＞1，＜0.则下列结论正确的是(　　) A.0＜q＜1 B.a7＞1 C.a8＞1 D.Tn的最大项为T7 答案：ABD 解析：因为a1＞1，a7a8＞1，＜0， 所以a7＞1，0＜a8＜1， 所以A正确，B正确，C错误；T7是数列{Tn}中的最大项，故D正确. 7.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an，则an＝　　　　. 答案：2×3n－1 解析：因为an＋1＝3an且a1＝2，所以＝3，所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，所以an＝2×3n－1. 8.等比数列{an}不具有单调性，且a5是a4和3a3的等差中项，则数列{an}的公比q＝　 　　　. 答案：－1 解析：因为a5是a4和3a3的等差中项，所以2a5＝a4＋3a3，得2a1q4＝a1q3＋3a1q2，解得q＝或q＝－1，又等比数列{an}不具有单调性，故q＝－1. 9.(10分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N＋)，求证：{bn}是等比数列. 证明：因为an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1，所以bn＋1＝an＋1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)＝2bn， 又因为b1＝a1＋1＝2， 所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列. 10.(10分)有四个数，前三个数成等差数列，它们的和为12，后三个数成等比数列，它们的和为19，求这四个数. 解：由于前三个数成等差数列，且它们的和为12，则第二个数为4， 设前三个数分别为4－d，4，4＋d，由于后三个数成等比数列，则第四个数为， 因为后三个数之和为19，则4＋＋＝19，整理得d2＋12d－28＝0，解得d＝2或d＝－14. 若d＝2，则这四个数分别为2，4，6，9； 若d＝－14，则这四个数分别为18，4，－10，25. 因此，这四个数分别为2，4，6，9或18，4，－10，25. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.在等比数列{an}中，首项a1＜0，则{an}是递增数列的充要条件是公比q满足(　　) A.q＞1 B.q＜1 C.0＜q＜1 D.q＜0 答案：C 解析：先证必要性： 因为a1＜0，且{an}是递增数列， 所以an＜0，即q＞0，且＝＝q＜1，则此时公比q满足0＜q＜1； 再证充分性： 因为a1＜0，0＜q＜1，所以an＜0， 所以＝＝q＜1，即an＋1＞an，则{an}是递增数列， 综上，{an}是递增数列的充要条件是公比q满足0＜q＜1. 12.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为　　　　. 答案： 解析：设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得，28，28q石， 所以＋28＋28q＝98，所以q＝2或. 又0＜q＜1，所以q＝. 13.已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差数列，则a1a2a3·…·an的最大值为　　　　. 答案：1 024 解析：因为等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差数列， 所以解得a1＝16，q＝， 所以an＝16×()n－1＝25－n， 所以a1a2a3·…·an＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝， 所以当n＝4或n＝5时，a1a2a3·…·an取最大值，且最大值为210＝1 024. 14.(13分)已知各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列. 证明：由已知，得2a2＝a1＋a3，① ＝a2·a4，② ＝＋.③ 由③得＝，所以a4＝.④ 由①得a2＝.⑤ 将④⑤代入②，得＝·. 所以a3＝，即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3).化简，得＝a1·a5. 又a1，a3，a5均不为0，所以a1，a3，a5成等比数列. 15.(5分)等比数列{an}的公比｜q｜＞1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18，36，81}中，则q等于(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：C 解析：因为{an}中的项必然有正有负，所以q＜0.又｜q｜＞1，所以q＜－1. 由此可得{an}的连续四项为－24，36，－54，81.所以q＝－. 16.(17分)设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围. 解：(1)设数列{an}的公比为q. 由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1. 由a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列， 知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2， 解得q＝(舍去)， 所以an＝8×()n－1＝24－n，n∈N＋. (2)bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n， 由bn＞bn＋1， 得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n， 即λ＜n＋1， 所以λ＜(n＋1)min＝2， 故实数λ的取值范围为(－∞，2). 学科网（北京）股份有限公司 $