1.3.2 等比数列与指数函数（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1．光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置．表达光圈的大小我们可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如下：F1，F1.4，F2，F2.8，F4，F5.6，F8，…，F64.光圈的F值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F8调整到F5.6，进光量是原来的2倍．若光圈从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的(　　) A．2倍　　B．4倍 C．8倍　　D．16倍 C　解析：由题可得单位时间内的进光量形成公比为的等比数列{an}，则F4对应单位时间内的进光量为a5，F1.4对应单位时间内的进光量为a2，从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的＝8倍． 2．在递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1等于(　　) A．2 B．4 C． D．2 B　解析：设等比数列{an}的公比为q，在等比数列{an}中，a2a4＝a＝1，又a2＋a4＝，数列{an}为递减数列，所以a2＝2，a4＝.所以q2＝＝.所以q＝(舍去负数)，a1＝＝4. 3．(多选题)已知数列{an}，下列选项不正确的是(　　) A．若a＝4n，n∈N＋，则{an}为等比数列 B．若anan＋2＝a，n∈N＋，则{an}为等比数列 C．若aman＝2m＋n，m，n∈N＋，则{an}为等比数列 D．若anan＋3＝an＋1an＋2，n∈N＋，则{an}为等比数列 ABD　解析：由a＝4n知|an|＝2n，则数列{an}未必是等比数列；对于B，D选项，满足条件的数列中可以存在零项，同样，数列{an}不一定是等比数列；对于C选项，由aman＝2m＋n知，aman＋1＝2m＋n＋1，两式相除得＝2(n∈N＋)，故数列{an}是等比数列．故选ABD. 4．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米． 2 048　解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N＋)，则第10个正方形的面积S＝a＝22×29＝211＝2 048. 5．等比数列{an}为递减数列，若a7·a14＝6，a4＋a17＝5，则＝________． 　解析：设数列{an}的公比为q，∵等比数列{an}为递减数列，a7·a14＝6，a4＋a17＝5，∴a4与a17为方程x2－5x＋6＝0的两个根，解得a4＝2，a17＝3或a4＝3，a17＝2，∵an>an＋1，∴a4＝3，a17＝2，∴q13＝＝，则＝＝. 6．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________． 2n　解析：设等比数列{an}的公比为q， ∵{an}为递增数列，∴q>0.又a＝a10>0，∴an>0，q>1.由条件得2(＋)＝5，即2(＋q)＝5，∴q＝2或q＝(舍去).由a＝a10得(a1q4)2＝a1q9，∴a1＝q＝2.∴an＝2n. 7．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长？(结果精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期) 解：设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩余量是an， 由条件可得，数列{an}是一个等比数列．其中a1＝0.84，q＝0.84， 设an＝0.5，则0.84n＝0.5，两边取对数，得 n lg 0.84＝lg 0.5，用计算器算得n≈4. 即这种物质的半衰期大约为4年． 8．设{an}是首项大于零的等比数列，则“a<a”是“数列{an}为递增数列”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C.充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：设公比为q，若a<a，则a<aq2，即q2>1，则q>1或q<－1，当q<－1时，数列为摆动数列，则“数列{an}为递增数列”不成立，即充分性不成立，若“数列{an}为递增数列”，则a1<a2，∵a1>0， ∴a2>0，则“a<a”成立，即必要性成立，则“a<a”是“数列{an}为递增数列”的必要而不充分条件． 9．(多选题)已知等比数列{an}的公比为q(q≠－1)，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N＋)，则以下结论中错误的是(　　) A．数列{bn}为等差数列，公差为qm B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m C．数列{cn}为等比数列，公比为qm2 D．数列{cn}为等比数列，公比为q2m ABD　解析：bn＝am(n－1)＋1·(1＋q＋q2＋…＋qm－1)，由q≠－1易知bn≠0，＝＝qm，故数列{bn}为等比数列，公比为qm，A，B均错误；cn＝a·q1＋2＋…＋(m－1)，＝＝＝(qm)m＝qm2，故数列{cn}为等比数列，公比为qm2，D错误． 10．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an(n∈N＋).设bn＝，(n∈N＋)，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是________． (－∞，)　解析：由an＋1＝an(n∈N＋)可得，数列{an}是首项和公比均为的等比数列，所以an＝，则bn＝＝(n－2λ)2n，又因为{bn}是递增数列， 所以bn＋1－bn＝(n＋1－2λ)2n＋1－(n－2λ)2n＝(n＋2－2λ)2n>0恒成立， 即n＋2－2λ>0恒成立， 所以2λ<(n＋2)min＝3，所以λ<. 11．在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝2，a2＝b2，a4＝b3. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设cn＝bn－an＋1，求数列{cn}的最小项． 解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列的公比为q. (1)由题意可得：，解得或. 当时，an＝a1＋(n－1)d＝2，bn＝b1qn－1＝2； 当时，an＝a1＋(n－1)d＝2n，bn＝b1qn－1＝2n； (2)当an＝2，bn＝2时，cn＝bn－an＋1＝0，所以数列{cn}的最小项的值为0； 当an＝2n，bn＝2n时，cn＝bn－an＋1＝2n－2(n＋1)， 所以n＝1时，c1＝b1－a2＝2－2×(1＋1)＝－2； n＝2时，c2＝b2－a3＝4－2×3＝－2； n＝3时，c3＝b3－a4＝8－2×4＝0； n≥4时，cn＝2n－2(n＋1)单调递增，所以cn≥c4＝24－2×5＝6， 所以数列{cn}的最小项的值为－2. 12．我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为an万平方公里． (1)求第n年绿洲面积an与上一年绿洲面积an－1(n≥2)的关系； (2)判断是否是等比数列，并说明理由； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？(lg 2＝0.301 0) 解：(1)由题意得an＝(1－4%)an－1＋(1－an－1)×16%＝0.96an－1＋0.16－0.16an－1 ＝0.8an－1＋0.16＝an－1＋， 所以an＝an－1＋. (2)由(1)得an＝an－1＋， 所以an－＝(an－1－)， 所以是等比数列． (3)由(2)有an－＝(an－1－)，又a1＝， 所以a1－＝－， 所以an－＝－()n－1，即an＝－()n－1＋； an＝－()n－1＋>，即()n－1<， 两边取常用对数得：(n－1)lg <lg ，所以n－1>＝ ＝＝ ＝＝≈4.1， 所以n>5.1.所以至少经过6年，绿洲面积可超过60%. 学科网（北京）股份有限公司 $$