课时测评5 等差数列性质的应用-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评5　等差数列性质的应用 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.数列是等差数列，若a3＝5，＋＝，则a1·a5＝(　　) A. 　　　 B.9　　 　 C.10　 　　 D.20 答案：B 解析：因为数列是等差数列，a3＝5，所以a1＋a5＝2a3＝10， 因为＋＝＝，所以a1·a5＝9. 故选B. 2.已知等差数列中，a2、a8是2x2－16x－1＝0的两根，则－a5＝(　　) A.248 B.60 C.12 D.4 答案：B 解析：对于方程2x2－16x－1＝0，Δ＝＋8＞0， 由韦达定理可得a2＋a8＝＝8，故2a5＝a3＋a7＝a2＋a8＝8，则a5＝4， 所以－a5＝－a5＝82－4＝60. 故选B. 3.若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.1或2 答案：D 解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c， 所以Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0. 所以二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2. 4.在等差数列{an}中，a1＋2a2＋3a3＋4a4＝100，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(　　) A.100 B.75 C.50 D.25 答案：C 解析：由{an}是等差数列，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＝a1＋2(a1＋d)＋3(a1＋2d)＋4(a1＋3d)＝10a1＋20d＝100， 即a1＋2d＝a3＝10， 所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝50.故选C. 5.若等差数列{an}的首项a1＝5，am＝3，则am＋2等于(　　) A.13 B.3－ C.3－ D.5－ 答案：B 解析：设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＝5，am＝3， 所以d＝＝. 所以am＋2＝am＋2d＝3＋＝3－. 6.(多选)已知数列、都是公差不为0的等差数列，设cn＝an＋bn，dn＝anbn，则关于数列和，下列说法中正确的是(　　) A.数列一定是等差数列 B.数列一定不是等差数列 C.给定c1，c2可求出数列的通项公式 D.给定d1，d2可求出数列的通项公式 答案：ABC 解析：数列都是公差不为0的等差数列，设其公差分别为m1，m2，且均不为0， cn＋1－cn＝an＋1－an＋bn＋1－bn＝m1＋m2， 所以数列一定是等差数列，给定c1，c2可求出数列的通项公式，A，C选项正确； 设an＝m1n＋t1，bn＝m2n＋t2，m1m2≠0， dn＝＝m1m2n2＋n＋t1t2一定是一个关于n的二次函数，所以数列一定不是等差数列，所以B选项正确； 根据二次函数性质，仅仅给定d1，d2不能求出数列的通项公式，所以D选项错误. 故选ABC. 7.在等差数列{an}中，若＋2a2a8＋a6a10＝16，则a4a6＝　　　　. 答案：4 解析：因为在等差数列{an}中，＋2a2a8＋a6a10＝16， 所以＋a2(a6＋a10)＋a6a10＝16， 所以(a2＋a6)(a2＋a10)＝16，所以2a4·2a6＝16，所以a4a6＝4. 8.设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝　　　　. 答案：35 解析：因为数列{an}，{bn}都是等差数列， 所以数列{an＋bn}也构成等差数列， 所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)， 所以2×21＝7＋a5＋b5， 所以a5＋b5＝35. 9.(10分)在等差数列{an}中. (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a1＋a3＋a4＋a6＝34，a3·a4＝16，求公差d. 解：(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，得4a13＝48，所以a13＝12. (2)由a1＋a3＋a4＋a6＝34， 得2(a3＋a4)＝34，即a3＋a4＝17， 由 所以d＝＝＝15或d＝＝＝－15. 10.(10分)三个数成等差数列，它们的和是15，它们的平方和等于83，求这三个数. 解：依题意：设三个数为a，b，c，则有a＋b＋c＝15，b为等差中项，故a＋c＝2b， b＝5，a2＋b2＋c2＝83，所以a2＋c2＝58， 联立方程 故这三个数分别为3，5，7或7，5，3. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为(　　) A.14 B.15 C.16 D.17 答案：C 解析：设公差为d， 因为a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120， 所以5a8＝120，a8＝24， 所以a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16. 12.若a＞0，b＞0，a，b的等差中项是1，则的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：A 解析：利用等差中项性质，得a＋b＝2×1， 由均值不等式得ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立)， 所以ab≤1，≥1， 所以最小值为1. 故选A. 13.在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若数列{an}中每相邻两项之间插入一个数，使之成为新的等差数列，那么新的等差数列的公差是　　　　. 答案：－ 解析：设新的等差数列的公差为d.由a1＝8，a5＝2. 得a3＝＝＝5，a2＝＝＝， 所以d＝＝＝－. 14.(13分)已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列(d≠0). (1)若a20＝30，求公差d； (2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围. 解：(1)a10＝1＋9＝10，a20＝10＋10d＝30，所以d＝2. (2)a30＝a20＋10d2＝10(1＋d＋d2)(d≠0)， 即a30＝10[(d＋)2＋]， 当d∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a30∈[，＋∞). 15.(5分)已知和是两个等差数列，且(1≤k≤5)是常数，若a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3＝　　　　. 答案：128 解析：由于是常数，所以＝，即＝，所以b5＝64. 因为是等差数列，所以b3＝＝128. 16.(17分)已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an＝3n＋6，bn＝2n＋7(n∈N＋).将集合{x｜x＝an，n∈N＋}∪{x｜x＝bn，n∈N＋}中的元素从小到大依次排列，构成新数列c1，c2，c3，…，cn，…. (1)求c1，c2，c3，c4的值； (2)证明：在数列{cn}中，但不在数列{bn}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； (3)求数列{cn}的通项公式. 解：(1)c1＝9，c2＝11，c3＝12，c4＝13. (2)证明：①任意n∈N＋，设a2n－1＝3(2n－1)＋6＝6n＋3＝bk＝2k＋7，则k＝3n－2，即a2n－1＝b3n－2； ②假设a2n＝6n＋6＝bk＝2k＋7⇔k＝3n－∉N＋，矛盾， 所以a2n∉{bn}，所以在数列{cn}中，但不在数列{bn}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…. (3)先确定数列{an}和{bn}的公共项dk与dk＋1，再寻找dk与dk＋1之间元素存在的规律. 因为b3k－2＝2(3k－2)＋7＝6k＋3＝a2k－1， 所以设b3k－2＝a2k－1＝dk，则dk＋1＝b3k＋1＝a2k＋1＝6k＋9， 因为b3k－1＝6k＋5，a2k＝6k＋6，b3k＝6k＋7， 所以dk＜b3k－1＜a2k＜b3k＜dk＋1. 所以当k＝1时，依次有b1＝a1＝c1，b2＝c2，a2＝c3，b3＝c4，…， 所以cn＝其中n∈N＋. 学生用书⬇第15页 学科网（北京）股份有限公司 $