课时测评3 等差数列及其通项公式-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评3　等差数列及其通项公式 (时间：60分钟　满分：115分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.数列{an}中，a1＝5，an＋1＝an＋3，那么这个数列的通项公式是(　　) A.3n－1　　　　　　　　 B.3n＋2 C.3n－2 D.3n＋1 答案：B 解析：因为an＋1－an＝3，所以数列{an}是以5为首项，3为公差的等差数列， 则an＝5＋3(n－1)＝3n＋2，n∈N＋. 2.等差数列0，－3，－7，…的第n＋1项是(　　) A.－n B.－(n＋1) C.－n＋1 D.－(n－1) 答案：A 解析：由题意得，等差数列{an}中，a1＝0，a2－a1＝－3－0＝－＝d， 所以an＝a1＋(n－1)d＝－(n－1)＝－n＋， 所以an＋1＝－(n＋1)＋＝－n，故选A. 3.在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界.从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为(　　) A.9.5 尺 B.10.5 尺 C.11.5 尺 D.12.5 尺 答案：D 解析：由题意得：为等差数列，公差为d，则a1＝18.5，a4＝15.5，则a4－a1＝3d＝－3，解得：d＝－1，则a7＝a1＋6d＝18.5－6＝12.5，故春分的日影长为12.5尺.故选D. 4.已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n等于(　　) A.90　　　　 B.96　　　　 C.98　　　　 D.100 答案：D 解析：由题意知1＋3(n－1)＝298，解得n＝100. 5.(多选)已知在等差数列{an}中，a1＝2，且a4＋a8＝，则公差d等于(　　) A.0 B. C.1 D.2 答案：AB 解析：根据题意知，a4＋a8＝⇒a1＋3d＋a1＋7d＝(a1＋2d)2. 又a1＝2，则4＋10d＝(2＋2d)2，解得d＝或d＝0. 6.在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为(　　) A.an＝2(n＋1)2 B.an＝4(n＋1) C.an＝8n2 D.an＝4n(n＋1) 答案：A 解析：由题意得－＝，故数列{}是首项为＝2，公差为的等差数列，所以＝2＋(n－1)＝n＋，故an＝2(n＋1)2. 7.在－3和6之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为　　　　. 答案：3 解析：设该等差数列为{an}，其首项为a1，公差为d，由题意知，a1＝－3，a4＝6， 即解得d＝3. 8.设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是　　　　　　. 答案：a＝－b或a＝3b 解析：由等差中项的定义知，x＝，x2＝， 所以＝， 即a2－2ab－3b2＝0， 所以(a－3b)(a＋b)＝0， 所以a＝3b或a＝－b. 9.(10分)在等差数列{an}中， (1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an； (2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n. 解：(1)a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29. (2)由an＝a1＋(n－1)d，得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10. 10.(10分)已知数列{an}为等差数列，且公差为d. (1)若a15＝8，a60＝20，求a105的值； (2)若a2＋a4＋a6＝18，a2a6＝20，求公差d. 解：(1)法一：由题意得 故a105＝a1＋104d＝＋104×＝32. 法二：因为{an}为等差数列，所以d＝＝， 所以a105＝a60＋45×＝32. 法三：因为{an}为等差数列，所以a15，a60，a105也成等差数列， 则2a60＝a15＋a105，所以a105＝2×20－8＝32. (2)由a2＋a4＋a6＝18，得3a4＝18，a4＝6， 由a2a6＝20得(a4－2d)(a4＋2d)＝20， －4d2＝20，d＝±2. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：设an＝－24＋(n－1)d，n∈N＋， 由＜d≤3. 12.在数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a20＝　　　　. 答案： 解析：对an＋1＝＝＋3， 所以－＝3， 所以为首项，3为公差的等差数列. 所以＝＋(n－1)·3＝3n－＝， 所以an＝，所以a20＝. 13.若数列{an}是公差不为0的等差数列，ln a1，ln a2，ln a5成等差数列，则的值为　　　　. 答案：3 解析：数列{an}是公差不为0的等差数列，ln a1， ln a2，ln a5成等差数列， 所以2ln (a1＋d)＝ln a1＋ln (a1＋4d)， 所以(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)， 所以＋2a1d＋d2＝＋4a1d， 解得d＝2a1， 所以＝＝3. 14.(13分)在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7. (1)求数列的第10项； (2)问112是数列{an}的第几项？ (3)在80到110之间有多少项？ 解：设数列{an}的公差为d， 则 (1)a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25. (2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5， 由112＝3n－5，解得n＝39. 所以112是数列{an}的第39项. (3)由80＜3n－5＜110， 解得28＜n＜38， 所以n的取值为29，30，…，38，共10项. 15.(5分)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”(又称“物不知数题”)，后来南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决.“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”.现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为(　　) A.116 B.131 C.146 D.161 答案：C 解析：依题意，设a满足被3除余2且被5除余1，则a加上3和5的最小公倍数15的整数倍后也能满足被3除余2且被5除余1.设被3除余2且被5除余1的数由小到大排列而成的数列为{an}，由于被3除余2且被5除余1的最小正整数为11，则{an}是以11为首项，以15为公差的等差数列，所以a10＝11＋(10－1)×15＝146. 16.(17分)若数列{bn}对于n∈N＋，都有bn＋2－bn＝d(d为常数)，则称数列{bn}是公差为d的准等差数列.例如cn＝则数列{cn}是公差为8的准等差数列.设数列{an}满足：a1＝a，对于n∈N＋，都有an＋an＋1＝2n. (1)求证：数列{an}为准等差数列； (2)求数列{an}的通项公式. 解：(1)证明：因为an＋an＋1＝2n(n∈N＋)，① 所以an＋1＋an＋2＝2(n＋1)，② ②－①得an＋2－an＝2(n∈N＋)， 所以数列{an}是公差为2的准等差数列. (2)因为a1＝a，an＋an＋1＝2n(n∈N＋)， 所以a1＋a2＝2×1，即a2＝2－a. 因为a1，a3，a5，…是以a为首项，2为公差的等差数列， a2，a4，a6，…是以2－a为首项，2为公差的等差数列， 所以当n为偶数时，an＝2－a＋×2＝n－a， 当n为奇数时，an＝a＋×2＝n＋a－1. 所以an＝ 学科网（北京）股份有限公司 $