课时测评31 双曲线的简单几何性质-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评31　双曲线的简单几何性质 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.已知双曲线－＝1(a＞0)的右焦点为(3，0)，则双曲线的离心率等于(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，e＝＝. 2.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案：D 解析：由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5，3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1. 3.若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为(　　) A.y＝±2x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 答案：B 解析：因为e＝，所以＝，即＝3， 所以b2＝2a2，所以双曲线方程为－＝1， 所以渐近线方程为y＝±x. 4.设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 答案：C 解析：由双曲线的几何性质可得，双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为y＝±x，又因为渐近线方程为3x±2y＝0，即y＝±x，故a＝2. 5.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是(　　) A.C的方程为－＝1 B.C的离心率为 C.焦点到渐近线的距离为3 D.｜PF｜的最小值为2 答案：AD 解析：双曲线C的一个焦点F(5，0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以＝，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为－＝1，A正确；离心率为e＝，B不正确； 焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确； ｜PF｜的最小值为c－a＝2，D正确. 6.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足｜PF1｜∶｜PF2｜∶｜F1F2｜＝4∶6∶5，则该双曲线的离心率为(　　) A.2 B. C. D.5 答案：B 解析：e＝＝＝. 7.双曲线x2－＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于　　　　. 答案： 解析：双曲线x2－＝1的一个焦点坐标是(2，0)，一条渐近线的方程为y＝x， 因此焦点到渐近线的距离d＝＝. 8.若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为　　　　　　　. 答案：－＝1 解析：椭圆4x2＋y2＝64可变形为＋＝1， a2＝64，c2＝64－16＝48， 所以焦点为(0，4)，(0，－4)，离心率e＝， 则双曲线的焦点在y轴上，c'＝4，e'＝＝， 从而a'＝6，b'2＝12， 故所求双曲线的方程为－＝1. 9.(10分)求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分； (2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6. 解：(1)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3. 由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6， 于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27. 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. (2)设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)， 即－＝1(λ≠0)，由题意得a＝3. 当λ＞0时，＝9，λ＝36，双曲线方程为－＝1； 当λ＜0时，＝9，λ＝－81，双曲线方程为－＝1. 故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 10.(10分)设双曲线－＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率. 解：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0. 于是有＝c， 所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4. 又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4， 两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0， 解得e2＝4或e2＝. 又b＞a，所以e2＝＝1＋＞2，则e＝2. 于是双曲线的离心率为2. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案：A 解析：由题意，点P(2，1)在双曲线的渐近线y＝x上，所以＝，即a＝2b. 又2c＝10，所以c＝5. 由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5. 故所求双曲线方程为－＝1. 12.若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为(　　) A.y2－x2＝96 B.y2－x2＝160 C.y2－x2＝80 D.y2－x2＝24 答案：D 解析：设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ＜0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24.故选D. 13.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，设左、右焦点分别为F1，F2，｜F1F2｜＝2c，在C的右支上存在一点P，使得以F1F2，F2P为邻边的平行四边形为菱形，且直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切，则该双曲线C的离心率为(　　) A. B. C. D.2 答案：B 解析：由题意得｜PF2｜＝｜F1F2｜＝2c，如图所示，设直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切于点T， 则PF1⊥TF2，｜TF2｜＝c， 在Rt△F1TF2中，∠TF2F1＝60°⇒｜PF1｜＝2c， 则由双曲线的定义可得｜PF2｜＝｜PF1｜－2a＝2c－2a， 所以2c＝2c－2a，解得e＝＝. 14.(13分)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(，0)在线段PQ上，求△PQF的周长. 解：根据题意，双曲线C：－＝1的左焦点F(－，0)， 所以点A(，0)是双曲线的右焦点，P，Q为双曲线C右支上的两点.虚轴长为6， 所以｜PQ｜＝12.双曲线图象如图. ｜PF｜－｜AP｜＝2a＝4，① ｜QF｜－｜QA｜＝2a＝4，② ①＋②得｜PF｜＋｜QF｜－｜PQ｜＝8， 所以周长为｜PF｜＋｜QF｜＋｜PQ｜＝8＋2｜PQ｜＝32. 15.(5分)(多选)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F1(2，0)，点A的坐标为(0，1)，点P为双曲线左支上的动点，且△APF1的周长不小于14，则双曲线C的离心率可能为(　　) A. B.2 C. D.3 答案：ABC 解析：由右焦点为F1(2，0)，点A的坐标为(0，1)，｜AF1｜＝＝5， △APF1的周长不小于14，即周长的最小值不小于14，可得｜PA｜＋｜PF1｜的最小值不小于9，如图所示， 又F2为双曲线的左焦点，可得｜PF1｜＝｜PF2｜＋2a，｜PA｜＋｜PF1｜＝｜PA｜＋｜PF2｜＋2a ， 当A，P，F2三点共线时，｜PA｜＋｜PF2｜＋2a取最小值5＋2a， 所以5＋2a≥9，即a≥2， 因为c＝2，可得e＝≤.即1＜e≤. 16.(17分)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围. 解：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点， 所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜， 所以＝＝＋4a＋｜PF2｜≥8a，当且仅当＝｜PF2｜， 即｜PF2｜＝2a时取等号， 所以｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜＝4a， 因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＜2c，｜PF1｜＋｜PF2｜＝6a≥2c⇒e＝≤3，所以e∈(1，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $