课时测评32 双曲线的标准方程及其性质的应用-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评32　双曲线的标准方程及其性质的应用 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 解析：直线与双曲线有唯一交点时，直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时)；直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一交点. 2.若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个交点，则a的值可以是(　　) A.4 B.2 C.1 D.－2 答案：A 解析：因为在双曲线－y2＝1中，x≥2或x≤－2， 所以若x＝a与双曲线有两个交点， 则a＞2或a＜－2，故只有A符合题意. 3.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝3，则双曲线的渐近线方程为(　　) A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±2x 答案：C 解析：设点P(x，y)，由题意知k1·k2＝·＝＝＝＝3， 所以其渐近线方程为y＝±x，故选C. 4.设点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点.若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 答案：D 解析：设F1(－c，0)，A(－c，y0)， 则－＝1，所以＝－1＝＝＝， 所以＝，所以｜AB｜＝2｜y0｜＝. 又＝2，所以·2c· ｜AB｜＝·2c·＝＝2，所以＝， 所以＝＝. 所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x. 5.(多选)已知双曲线C：－＝1过点(3，)，则下列结论正确的是(　　) A.C的焦距为4 B.C的离心率为 C.C的渐近线方程为y＝±x D.直线2x－y－1＝0与C有两个公共点 答案：AC 解析：由双曲线C：－＝1过点(3，)，可得m＝1，则双曲线C的标准方程为－y2＝1.所以a＝，b＝1，c＝＝2，因为双曲线C的焦距为2c＝4，所以选项A正确； 因为双曲线C的离心率为＝＝，所以选项B不正确； 因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以选项C正确； 将直线2x－y－1＝0与双曲线－y2＝1联立，消去y可得3x2－4x＋4＝0，Δ＝－4×3×4＝－32＜0，所以直线2x－y－1＝0与双曲线C没有公共点，所以选项D不正确. 6.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与双曲线相交于A，B两点，则满足｜AB｜＝3的直线l有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案：C 解析：双曲线－＝1， 过F1的直线l垂直于x轴时， ｜AB｜＝＝＝3， 双曲线两个顶点的距离为2， 所以满足｜AB｜＝3的直线l有3条， 一条是通径所在的直线，另两条与右支相交. 7.过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线－y2＝1的弦所在的直线方程是　　　　　　　. 答案：3x＋4y－5＝0 解析：易知所求直线的斜率存在，设为k， 则该直线的方程为y＋1＝k(x－3)， 代入－y2＝1， 消去y得关于x的一元二次方程 (1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0(1－4k2≠0)， 所以－＝6， 所以k＝－(满足Δ＞0)， 所以所求直线方程为3x＋4y－5＝0. 8.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝　　　　. 答案：2 解析：设B为双曲线的右焦点，如图所示.因为四边形OABC为正方形且边长为2， 所以c＝｜OB｜＝2. 又∠AOB＝， 所以＝tan ＝1，即a＝b. 又因为a2＋b2＝c2＝8，所以a＝2. 9.(13分)设A，B为双曲线x2－＝1上的两点，线段AB的中点为M(1，2).求： (1)直线AB的方程； (2)△OAB的面积(O为坐标原点). 解：(1)显然直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)， 即y＝kx＋2－k. 由 消去y，整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则1＝＝(2－k2≠0)，解得k＝1. 当k＝1时，满足Δ＞0， 所以直线AB的方程为y＝x＋1. (2)由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3， 所以｜AB｜＝· ＝×＝4. 又点O到直线AB的距离d＝＝， 所以S△AOB＝｜AB｜·d＝×4×＝2. 10.(15分)已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长. 解：双曲线方程可化为x2－＝1， 故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4， 所以c＝2.所以F2(2，0)， 又直线l的倾斜角为45°， 所以直线l的斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线l的方程为y＝x－2， 代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为x1·x2＝－＜0， 所以A，B两点不位于双曲线的同一支上. 因为x1＋x2＝－2，x1·x2＝－， 所以｜AB｜＝· ＝× ＝6. (11—14小题，每小题5分，共20分) 11.已知双曲线E的中心在原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案：B 解析：由已知条件易得直线l的斜率k＝＝1， 设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则－＝1，① －＝1，② x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30， 由①②得＝，从而＝1， 又因为a2＋b2＝c2＝9， 故a2＝4，b2＝5，所以E的方程为－＝1. 12.设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点.若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 答案：C 解析：设双曲线的半焦距为c， 则F(c，0)，将x＝c代入双曲线－＝1， 得y＝±，不妨取C，B， 又A1(－a，0)，A2(a，0)， 故＝＝－，＝＝. 因为A1B⊥A2C， 故－×＝－1， 即＝1，即＝1， 所以a＝b，故渐近线方程是y＝±x＝±x. 13.设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为　　　　. 答案： 解析：双曲线－＝1的右顶点A(3，0)，右焦点F(5，0)，渐近线方程为y＝±x.不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9， 解得x＝，y＝－，所以B. 所以S△AFB＝｜AF｜｜yB｜＝(c－a)·｜yB｜＝×(5－3)×＝. 14.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，过其左焦点F(－，0)作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长｜AB｜＝　　　　. 答案：10 解析：因为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x， 所以＝，即b＝a， 因为左焦点F(－，0)，所以c＝， 所以c2＝a2＋b2＝3a2＝3， 所以a2＝1，b2＝2， 所以双曲线方程为x2－＝1，直线l的方程为y＝2(x＋)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由消去y可得x2＋4x＋7＝0， 所以x1＋x2＝－4，x1x2＝7， 所以｜AB｜＝·＝×＝×＝10. 15.(5分)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点和右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1＝2r2，则直线l的斜率为(　　) A.1 B. C.2 D.2 答案：D 解析：设△AF1F2的内切圆圆心为I1， △BF1F2的内切圆圆心为I2，边｜AF1｜，｜AF2｜， ｜F1F2｜上的切点分别为M，N，E， 易知I1，E的横坐标相等， 则｜AM｜＝｜AN｜，｜F1M｜＝｜F1E｜，｜F2N｜＝ ｜F2E｜， 由｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，即｜AM｜＋｜MF1｜－(｜AN｜＋｜NF2｜)＝2a， 得｜MF1｜－｜NF2｜＝2a，即｜F1E｜－｜F2E｜＝2a， 记I1的横坐标为x0，则E(x0，0)，于是x0＋c－(c－x0)＝2a，得x0＝a， 同理圆心I2的横坐标也为a，则有I1I2⊥x轴， 设直线l的倾斜角为θ， 则∠OF2I2＝，∠I1F2O＝90°－， 则tan ＝，tan∠I1F2O＝tan＝＝， 因为r1＝2r2，所以tan2＝， 即tan ＝.所以tan θ＝＝2. 16.(17分)已知双曲线过点A(2，1)，它的渐近线方程是x±2y＝0. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的倾斜角互补，求直线l的斜率. 解：(1)若双曲线焦点在x轴上，设方程为－＝1， 则有 所以双曲线方程为－y2＝1. 若双曲线焦点在y轴上，设方程为－＝1， 则有无解. 综上双曲线方程为－y2＝1. (2)易知，直线l的斜率一定存在，设方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立消去y可得，(1－4k2)x2－8kmx－4m2－4＝0， 所以 可得k≠±，1＋m2＞4k2. 由韦达定理可得，x1＋x2＝，x1x2＝－， y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝， x1y2＋x2y1＝x1＋x2＝2kx1x2＋m(x1＋x2)＝. 因为直线AP，AQ的倾斜角互补， 所以kAP＋kAQ＝0， 即＋ ＝＝0， 即＋ ＝x1y2＋x2y1－(x1＋x2)－2(y1＋y2)＋4 ＝＝0， 整理得(k＋1)(2k＋m－1)＝0， 解得k＝－或m＝1－2k. 当m＝1－2k时，直线y＝kx＋m为y－1＝kx－2k过定点A(2，1)，不满足题意， 所以k＝－. 学生用书⬇第91页 学科网（北京）股份有限公司 $