1 2.1 直线的斜率-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

本讲义聚焦直线的倾斜角与斜率核心知识点，从确定直线位置的几何要素切入，先通过倾斜角刻画直线方向，再将其代数化为斜率（倾斜角正切值），最终掌握过两点的斜率计算公式，构建从几何直观到代数表达的学习支架。 资料以问题链驱动探究，通过图形分析倾斜角范围培养直观想象，推导斜率公式发展数学抽象，结合三点共线等例题提升数学运算。课中辅助教师引导学生主动建构知识，课后测评与对点练帮助学生巩固应用，有效查漏补缺。

2.1　直线的斜率 学习目标 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素，培养直观想象的核心素养. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，提升数学抽象的核心素养. 3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式，发展数学运算的核心素养. 任务一　直线的倾斜角 问题1.在平面中，怎样才能确定一条直线？ 提示：两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线. 问题2.在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 提示：直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同. 1.直线倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正向绕交点逆时针旋转到与直线l向上方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角. 2.直线倾斜角的范围 (1)直线倾斜角的取值范围是0≤α＜π； (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定倾斜角α＝0. (1)(多选)下列命题中，正确的是(　　) A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为－30° C.倾斜角为0°的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1) (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A.α＋45° B.α－135° C.135°－α D.α－45° 答案：(1)AC　(2)AB 解析：(1)任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确，D中，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误. (2)根据题意，画出图形，如图所示. 通过图象可知， 当0°≤α＜135°，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. 直线倾斜角的概念和范围 1.求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论. 2.注意倾斜角的范围. 对点练1.(1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为　　　　. (2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为　　　　. 答案：(1)60°或120°　(2)135° 解析：(1)有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. (2)设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°， 所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°. 学生用书⬇第42页 任务二　直线的斜率 问题3.在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. (1)已知直线l经过O(0，0)，P(，1)，α与O，P的坐标有什么关系？ (2)类似地，如果直线l经过P1(－1，1)，P2(，0)，α与P1，P2的坐标有什么关系？ (3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有什么关系？ 提示：(1)tan α＝＝. (2)tan α＝＝1－. (3)tan α＝. 1.斜率的定义 (1)一条直线的倾斜角α(α≠)的正切值k称为这条直线的斜率，即k＝tan α. (2)倾斜角是的直线没有斜率. 倾斜角α≠的直线都有斜率. 2.斜率公式 如果直线经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，可得斜率公式k＝tan α＝. (1)直线过两点A(1，3)，B(2，7)，求直线的斜率； (2)过原点且斜率为1的直线l绕原点逆时针旋转90°，求所得直线的斜率. 解：(1)由题意知两点的横坐标不相等，故直线的斜率存在. 根据直线的斜率公式，得直线的斜率k＝＝4. (2)因为直线l的斜率为1，所以直线l的倾斜角为45°. 直线l绕原点逆时针旋转90°后所得直线的倾斜角为135°，故所求直线的斜率k＝tan 135°＝－1. 1.求直线斜率的两种类型 一种是已知倾斜角求直线的斜率，注意倾斜角为90°的情况；另一种是已知两点的坐标求直线的斜率，注意斜率不存在的情况. 2.在0°≤α＜180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记. 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 － －1 － 对点练2.直线经过点P(3，2)，Q(－3，3)，则k＝　　　　.直线PQ的倾斜角为 　　　　角(填“钝”或“锐”). 答案：－　钝 解析：k＝＝－＜0，直线PQ的倾斜角为钝角. 对点练3.设A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为　　　　. 答案：4 解析：依题意知直线AC的斜率存在， 则m≠－1. 由kAC＝3kBC， 得＝3·，所以m＝4. 学生用书⬇第43页 任务三　直线的倾斜角及斜率的应用 (1)若A(－2，3)，B(m，－2)，C(4，－3)三点共线，则实数m的值为　　　　. (2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率的范围和倾斜角的范围. 答案：(1)3 解析：(1)因为A(－2，3)，B(m，－2)，C(4，－3)三点共线，且kAB＝， kAC＝＝－1， 所以直线AB，AC的斜率存在，所以kAB＝kAC，即＝－1，解得m＝3. (2)如图所示. 因为kAP＝＝1， kBP＝＝－. 所以k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞). 所以45°≤α≤120°. 1.用斜率公式解决三点共线的方法 2.求代数式最值或范围的方法 由斜率公式k＝的形式，可知代数式的几何意义是过P(x，y)与P'(a，b)两点的直线的斜率.故可以利用数形结合来求解. 对点练4.已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2). (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围. 解：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝.直线AC的斜率kAC＝＝.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. (2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是. 1.(多选)下列说法错误的是(　　) A.若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等 B.一条直线的倾斜角为－30° C.倾斜角为0°的直线只有一条 D.直线的倾斜角α的集合{α｜0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系 答案：ABCD 解析：若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，A错； 直线的倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，B错； 所有垂直于y轴的直线的倾斜角均为0°，C错； 不同的直线可以有相同的倾斜角，D错. 2.过点A(－， )与点B(－， )的直线的倾斜角为(　　) A.45° B.135° C.45°或135° D.60° 答案：A 解析：因为斜率k＝＝1，所以倾斜角为45°. 3.在平面直角坐标系中，正△ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AB所在直线的斜率与AC所在直线的斜率之和为　　　　　　　. 答案：0 解析：如图，易知kAB＝，kAC＝－，或kA'B＝－，kA'C＝，所以kAB＋kAC＝0. 4.直线l的斜率k的取值范围是，则倾斜角α的范围是　　　　　　. 答案：∪ 解析：因为k＝tan α，又斜率k的取值范围是，所以－≤tan α≤，又α∈，tan α＝时，α＝，tan α＝－时，α＝，由图可得，α∈∪. 课时测评15　直线的斜率 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.若直线l经过原点和(－1，1)，则它的倾斜角是(　　) A.45° B.135° C.45°或135° D.－45° 答案：B 解析：作出直线l，如图所示，由图易知，应选B. 2.(多选)下列叙述正确的是(　　) A.平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B.直线倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180° C.若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则此直线的斜率为tan α D.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90° 答案：BCD 解析：根据斜率的定义，知当直线与x轴垂直时，斜率不存在，故A错误.易知其他选项正确，故选BCD. 3.已知直线PQ的斜率为－，将直线PQ绕点P顺时针旋转60°，所得的直线的斜率是(　　) A.0 B. C. D.－ 答案：C 解析：由题意，知直线PQ的倾斜角为120°，直线PQ绕点P顺时针旋转60°，所得直线的倾斜角为60°，所以斜率为. 4.(多选)已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标可能为(　　) A.(0，－4) B.(4，0) C.(2，0) D.(0，－8) 答案：CD 解析：设B(x，0)或(0，y)， 因为kAB＝或kAB＝， 所以＝4或＝4， 所以x＝2，y＝－8， 所以点B的坐标为(2，0)或(0，－8). 5.已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A.(－1，0] B.[0，1] C.[1，2] D.[0，2] 答案：D 解析：由题意，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D. 6.已知过点A(3，1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为　　　　. 答案：0 解析：当m＝3时，直线AB平行于y轴，斜率不存在. 当m≠3时，k＝＝－＝1，解得m＝0. 7.经过点P作直线l，直线l与连接A，B两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是　　　　. 答案： 解析：kPA＝＝－3，kPB＝＝，由直线l与线段AB有公共点， 结合图象可得－3≤k≤. 8.直线l经过点(－1，0)，倾斜角为150°.若将直线l绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，得到直线l'，则直线l'的倾斜角为　　　　，斜率为　　　　. 答案：30°　 解析：如图所示. 因为直线l的倾斜角为150°，所以绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，所得直线l'的倾斜角α＝(150°＋60°)－180°＝30°， 斜率k＝tan α＝tan 30°＝. 9.(10分)如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，求对角线AC与BD所在直线的斜率. 解：在菱形ABCD中，因为∠ADC＝120°， 所以∠BAD＝60°，∠ABC＝120°. 所以∠BAC＝30°，∠DBA＝60°，∠DBx＝120°， 所以直线AC的斜率kAC＝tan 30°＝，直线BD的斜率kBD＝tan 120°＝－. 10.(13分)已知直线l上两点A(－2，3)，B(3，－2)，求其斜率.若点C(a，b)在直线l上，求a，b间应满足的关系，并求当a＝时，b的值. 解：由斜率公式得kAB＝＝－1. 因为C在l上，所以kAC＝－1，即＝－1. 所以a＋b－1＝0.当a＝时，b＝1－a＝. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为　　　　. 答案：30° 解析：因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为×(90°－30°)＝30°. 12.若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是　　　　　　　. 答案：[－，0)∪ 解析：因为α∈∪， 当≤α＜时，≤tan α＜1，所以≤k＜1. 当≤α＜π时，－≤tan α＜0，所以－≤k＜0. 所以k∈[－，0)∪. 13.若三点A(3，1)，B(－2，k)，C(8，1)能构成三角形，则实数k的取值范围为　　　　. 答案：(－∞，1)∪(1，＋∞) 解析：kAB＝＝，kAC＝＝＝0. 要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线， 即kAB≠kAC，所以≠0，所以k≠1. 14.(15分)已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1). (1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角； (2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的取值范围. 解：(1)由斜率公式得kAB＝＝0， kBC＝＝，kAC＝＝. 因为倾斜角的取值在区间[0°，180°)范围内， tan 0°＝0，所以直线AB的倾斜角为0°. 因为tan 60°＝，所以直线BC的倾斜角为60°. 因为tan 30°＝，所以直线AC的倾斜角为30°. (2)如图，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时， 直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为. 15.(17分)点M(x，y)在函数y＝2x＋8的图象上，当x∈[－3，5]时，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围. 解：因为点M在函数y＝2x＋8的图象上，且x∈[－3，5]，则点A(－3，2)，B(5，18)为函数图象的两个端点. (1)由题意可知点M(x，y)在线段AB上移动. 记点N(－1，－1)，所以可看作过点M(x，y)与点N(－1，－1)的直线的斜率. 又因为kNA＝－，kNB＝，所以∪. (2)＝2·，记点P，则可看作过点M(x，y)与点P的直线的斜率.又kPA＝－，kPB＝－，所以. 学生用书⬇第44页 学科网（北京）股份有限公司 $