8 1.3.1　等比数列及其通项公式-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

本讲义聚焦等比数列的核心知识点，从生活实例（如“出门望九堤”“一尺之棰”）观察数列规律，类比等差数列定义抽象出等比数列概念，推导通项公式并学习等比中项，构建“实例感知—概念抽象—公式推导—应用拓展”的学习支架。 资料以古典文献实例引入培养数学抽象，通过类比等差数列推导公式提升逻辑推理，分层例题与测评强化数学运算。课中任务驱动引导探究，课后练习与测评助力学生巩固知识，有效查漏补缺。

1.3　等比数列 1.3.1　等比数列及其通项公式 学习目标 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念与等比中项的概念，培养数学抽象的核心素养. 2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程，并能灵活利用等比数列的通项公式的推广形式及变形解决相关的问题(判断、证明、计算等)，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 任务一　等比数列的定义 问题1.观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. ①我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98； ②《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数： ，，，，，…； ③－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…，依次排成一列数：－，，－，，…. 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？ 提示：我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.对于①我们发现＝9，＝9，＝9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于②＝，…；对于③＝－，…；也有相同的取值规律. 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0). 学生用书⬇第20页 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比. (1)1，，，，，…； (2)10，10，10，10，10，…； (3)，()2，()3，()4，…； (4)1，0，1，0，1，0，…； (5)1，－4，16，－64，256，…. 解：(1)不是等比数列；(2)是等比数列，公比为1；(3)是等比数列，公比为；(4)不是等比数列；(5)是等比数列，公比为－4. 判断一个数列是否为等比数列的方法 　　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论. 对点练1.以下数列中，能判定数列是等比数列的有(　　) ①数列1，2，6，18，…；②数列{an}中，已知＝2，＝2；③常数列a，a，…，a，…；④数列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N＋. A.1个　　　 B.2个　　　 C.3个　　　 D.4个 答案：A 解析：①数列不符合等比数列的定义，不是等比数列； ②前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列； ③当a＝0时，不是等比数列； ④该数列符合等比数列的定义，是等比数列. 任务二　等比数列的通项公式 问题2.类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示：设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N＋且n≥2). 法一：an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1， 当n＝1时，上式也成立. 法二：a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， … 由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立. 一般地，如果数列{an}的首项为a1，公比为q，那么等比数列的通项公式为an＝a1qn－1. 在等比数列{an}中， (1)若a1＝3，q＝－3，求an； (2)若a2＝，a6＝8，求q； (3)a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an. 解：(1)因为a1＝3，q＝－3，{an}为等比数列， 所以an＝a1·qn－1＝3·(－3)n－1＝－(－3)n. (2)法一：因为{an}为等比数列，设公比为q， 所以　将得q4＝16，所以q＝±2. 法二：因为{an}为等比数列，设公比为q， 又a6＝a2·q4，所以q4＝＝16，所以q＝±2. (3)因为 由＝，解得q＝或q＝2. 当q＝时，a1＝－16， 当q＝2时，a1＝1， 所以an＝－16·()n－1＝－25－n或an＝2n－1. 等比数列通项公式的求法 1.根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法. 2.充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算. 对点练2.已知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则log3a2 020等于(　　) A.2 017　　 B.2 018 　　 C.2 019　　 D.2 020 答案：C 解析：由已知可得a1＝1，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝3n－1，则log3a2 020＝log332 019＝2 019. 对点练3.若{an}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比是(　　) A.0 B.1或－2 C.－1或2 D.－1或－2 答案：C 解析：设首项为a1，公比为q，显然a1q≠0.由已知得2a1q3＝a1q5－a1q4，即2＝q2－q，解得q＝－1或q＝2. 对点练4.在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案：D 解析：因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7. 学生用书⬇第21页 任务三　等比中项 问题3.我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？ 提示：不能成立，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设－1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有＝，即x2＝－1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项.若1，x，4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2；或－1，x，－4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2，我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数. 在两个数a，b之间插入数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项. (1)若三个实数a，b，c成等比数列，其中a＝3－，c＝3＋，则b＝(　　) A.2　　　　 B.－2　　　　 C.±2　　　　 D.4 (2)设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)三个实数a，b，c成等比数列，则b2＝ac＝(3－)(3＋)＝9－5＝4，则b＝±2. (2)因为a1＝9d，an＝a1＋(n－1)d， 所以an＝(n＋8)d， 又因为＝a1·a2k， 所以[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d， 解得k＝－2(舍去)或k＝4. 1.在等比数列{an}中，任取相邻的三项，an－1，an，an＋1，则an是an＋1与an－1的等比中项，即＝an－1·an＋1； 2.a，G，b成等比数列是G2＝ab的充分不必要条件； 3.等比数列中的任一项(除首、末两项)都是数列中距该“距离”相等的两项的等比中项，即＝an－k·an＋k(n＞k). 对点练5.若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为(　　) A.± B. C.1 D.±1 答案：D 解析：因为1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列， 所以a＝＝2，b＝±＝±2， 所以的值为±1， 故选D. 对点练6.已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝　　　　. 答案：4× 解析：由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)， 解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6， 所以q＝＝＝， 所以an＝4×. 1.下列数列为等比数列的是(　　) A.0，0，0，0，… B.22，42，62，82，… C.q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，… D.，，，，… 答案：D 解析：A选项中，由于等比数列中的各项都不能为0，所以该数列不是等比数列；B选项中，，所以该数列不是等比数列；C选项中，当q＝1时，数列为0，0，0，0，…，不是等比数列；D选项中的数列是首项为，公比为的等比数列，故选D. 2.等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：B 解析：因为＝·，所以＝，即＝， 所以n－1＝3，所以n＝4. 3.(多选)已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于(　　) A.6 B.－6 C.－12 D.12 答案：AB 解析：因为a＝＝，b2＝(－1)×(－16)＝16，b＝±4，所以ab＝±6. 4.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，则它的第1项与第2项分别为(　　) A.2和8 B.6和8 C.8和10 D.和8 答案：D 解析：设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么a1q2＝12，①　a1q3＝18，②　由②÷①可得q＝，③　把③代入①可得a1＝，所以a2＝a1q＝8. 5.已知数列{an}满足＝λan＋2，若{an＋3}是等比数列，则公比λ＝　　　　. 答案： 解析：因为{an＋3}是等比数列，＝λan＋2，所以＋3＝λ(an＋3)，即＝λan＋3λ－3，所以3λ－3＝2，所以λ＝. 课时测评8　等比数列及其通项公式 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.数列1，－，，－，，…的一个通项公式为(　　) A. (－)n－1　　　　　　 B.(－)n C.(－1)n()n－1 D.(－1)n＋1()n－1 答案：D 解析：根据数列可知，该数列是一个以1为首项，－为公比的等比数列，所以该数列的通项公式为1×(－)n－1＝(－1)2×(－1)n－1×()n－1 ＝(－1)n＋1×()n－1. 2.公比q＝2的等比数列{an}满足a3＋a5＝4，则a4＋a6＝(　　) A.8　　　　 B.10　　　　 C.12　　　　 D.16 答案：A 解析：公比q＝2的等比数列{an}满足a3＋a5＝4，则a4＋a6＝q(a3＋a5)＝2×4＝8. 3.在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于(　　) A.16 B.16或－16 C.32 D.32或－32 答案：C 解析：由a4＝a1q3，得q3＝8，即q＝2，所以a3＝＝32. 4.在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4为(　　) A.108 B.54 C.36 D.18 答案：B 解析：因为an＋1＝3an， 所以数列{an}是公比为3的等比数列， 则a4＝33a1＝54. 5.等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第4项等于(　　) A.－24 B.0 C.12 D.24 答案：A 解析：由x，3x＋3，6x＋6成等比数列得，(3x＋3)2＝x(6x＋6)， 解得x1＝－3或x2＝－1(不合题意，舍去)，第2项为－6. 第3项为－12，公比为＝2， 故数列的第4项为－24. 6.已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　) A.b＝3，ac＝9 B.b＝－3，ac＝9 C.b＝3，ac＝－9 D.b＝－3，ac＝－9 答案：B 解析：因为b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号， 所以b＝－3，且a，c必同号，所以ac＝b2＝9. 7.若{an}为等比数列，且a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q＝　　　　. 答案：1或－2 解析：根据题意， 解得 8.等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝　　　　. 答案：(－2)n或－2n 解析：因为＝q2，所以q2＝＝4，即q＝±2. 当q＝－2时，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1 ＝(－2)n； 当q＝2时，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n. 9.(10分)在等比数列{an}中a3＝32，a5＝8， (1)求数列{an}的通项公式an； (2)若an＝，求n. 解：(1)因为a5＝a3q2， 所以q2＝＝.所以q＝±. 当q＝时，an＝a3qn－3＝32×()n－3＝28－n； 当q＝－时，an＝a3qn－3 ＝32×(－)n－3＝(－1)n＋1·28－n. 所以an＝28－n或an＝(－1)n＋1·28－n. (2)当an＝时，28－n＝或32×(－)n－3＝， 解得n＝9. 10.(10分)在等比数列{an}中. (1)已知a3＝4，a7＝16，且q＞0，求an； (2)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式. 解：(1)因为＝＝q4＝4， 所以q2＝2，又q＞0，所以q＝， 所以an＝a3·qn－3＝4·()n－3＝(n∈N＋). (2)因为a3＝a1·q2，即8＝2q2， 所以q2＝4，所以q＝±2. 当q＝2时，an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n， 当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2(－2)n－1 ＝(－1)n－12n， 所以数列{an}的公比为2或－2， 对应的通项公式分别为an＝2n或an＝ (－1)n－12n. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的(　　) A.充分不必要条件　　 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：C 解析：因为a，b，c是△ABC的三边，所以a，b，c均不为0， 则由b2＝ac，可得＝，所以a，b，c成等比数列， 反之：当a，b，c成等比数列，可得b2＝ac， 所以“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件. 12.已知不等式x2－5x－6＜0的解集中有三个整数解，构成等比数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项是(　　) A.8 B. C.8或2 D.8或 答案：D 解析：不等式x2－5x－6＜0的解集为{x｜－1＜x＜6}，其中成等比数列的三个整数为1，2，4， 若数列前3项为1，2，4，则第4项为8，若数列前3项为4，2，1，则第4项为. 13.已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1， ＝a11，则k＝　　　　. 答案：21 解析：＝a1＝a1＝a1q10，因为a1＞0，q≠1，所以＝10，所以k＝21. 14.(13分)在等比数列{an}中. (1)已知a3＝2，a5＝8，求a7； (2)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求通项公式an. 解：(1)因为＝＝q2＝＝4，所以q2＝4， 所以a7＝a5q2＝8×4＝32. (2)a3＋a1＝a1(q2＋1)＝5，a5－a1＝a1(q4－1)＝15，所以q2－1＝3， 所以q2＝4， 所以a1＝1，q＝±2， 所以an＝a1qn－1＝(±2)n－1. 15.(5分)已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为　　　　. 答案：275或8 解析：设公差为d， 由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，① 由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列， 得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，解得d＝3或d＝0，② 当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92＝3×92－1＝275. 当d＝0时，an＝8，a92＝8. 16.(17分)在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 已知等差数列{an}的公差为d(d＞1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，　　　　；求数列{an}，{bn}的通项公式. 解：选条件①： 因为a3＝5，所以a1＋2d＝5， 因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，所以2a1＋5d＝6a1d， 联立(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1. 选条件②： 因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2， 因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2， 联立(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1. 选条件③： 因为S3＝9， 所以3a1＋3d＝9， 因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q，所以2a1＋7d＝8a1d， 联立(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1. 学生用书⬇第22页 学科网（北京）股份有限公司 $