1 1.1　第1课时　数列的概念及其通项公式-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

本讲义聚焦数列的概念及其通项公式核心知识点，通过古埃及阶梯数字、一尺之棰等实例引入，梳理数列的定义、分类（有穷与无穷数列），再到表示方法（列表、图象、通项公式）及应用，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以实例驱动教学，通过分析数列项数与变化规律培养数学抽象，结合通项公式推导与应用发展逻辑推理。课中问题引导提升互动，课后练习题与测评助力学生巩固知识，有效查漏补缺。

1.1　数列的概念 第1课时　数列的概念及其通项公式 学习目标 1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)，培养数学抽象的核心素养. 2.了解数列是一种特殊函数，培养数学抽象的核心素养. 3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，培养数学抽象的核心素养. 4.掌握数列的通项公式及其应用，发展逻辑推理与数学运算的核心素养. 任务一　数列的概念 问题1.观察以下几列数： ①古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807； ②战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭.这句话中隐藏着一列数：1，，，，，…； ③从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 023，2 023，…，2 023； ④小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7，0，2，5，7，0，2，5，…； ⑤－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－，，－，，…. 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 提示：共同点：都是按照确定的顺序进行排列的.不同点：从项数上来看：①③项数有限，②④⑤项数无限；从项的变化上来看：①每一项在依次变大，②每一项在依次变小，③项没有发生变化，④项呈现周期性的变化，⑤项的大小交替变化. 1.数列与数列的项 (1)数列：按照一定顺序排成的一列数叫作数列. (2)数列的项：数列中的每一个数叫作这个数列的项，排在第一位的数叫作数列的首项或叫作数列的第1项，排在第二位的数叫作数列的第2项，…，排在第n位的数叫作数列的第n项. 2.数列的一般形式 数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}. 3.数列的分类 项数有限的数列称为有穷数列；项数无限的数列称为无穷数列. (1)下列说法中正确的是(　　) A.数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} B.数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列 C.数列－1，3，6，－5的第三项为6 D.数列可以看成是一个定义域为正整数集N＋的函数 (2)下列数列： ①1，2，22，23，…，263； ②1，0.5，0.52，0.53，…； 学生用书⬇第2页 ③0，10，20，30，…，1 000； ④2，4，6，8，10，…； ⑤－1，1，－1，1，－1，…； ⑥7，7，7，7，…； ⑦，，，，…. 其中有穷数列是　　　　，无穷数列是　　　　(填序号). 答案：(1)C　(2)①③　②④⑤⑥⑦ 解析：(1)由数列定义知，A，B不正确；D不正确的原因是数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值. (2)根据数列的概念知有穷数列是①③，无穷数列是②④⑤⑥⑦. 1.数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别. 2.判断数列是有穷或无穷数列，只需要看项的个数是有限还是无限即可. 对点练1.数列{1，2，3，…，n}和数列{1，2，3，…}都是正整数数列，项数分别是多少？ 解：第一个数列是有穷数列，共n项；第二个数列是无穷数列. 任务二　数列的表示方法 问题2.我们发现任务一问题导思中的①②③⑤，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？ 提示：对于①，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈； 对于②，an＝，n∈N＋； 对于③，an＝2 023，n∈； 对于⑤，an＝，n∈N＋. 1.数列的表示方法 (1)分类：解析式法、表格法、图象法. (2)数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an可以用关于n的一个公式表示，那么这个公式就称为数列{an}的通项公式. 2.数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如表： 定义域 正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成的集合 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，－，，－，…； (2)，2，，8，…； (3)9，99，999，9 999，…； (4)－2，0，－2，0，…. 解：(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数的一半，并且奇数项为正，偶数项为负， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，…， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (3)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N＋. (4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是－2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为an＝(－1)n－1，n∈N＋. 学生用书⬇第3页 由数列的前n项求通项公式的解题策略 1.用观察法求数列通项公式的策略 2.对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k处理符号问题. 3.对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等. 对点练2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－，，－，，…； (2)，，，，…； (3)7，77，777，7 777，…. 解：(1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (3)这个数列的前4项可以变为×9，×99，×999，×9 999，即×(10－1)，×(100－1)，×(1 000－1)，×(10 000－1)， 即×(10－1)，×(102－1)，×(103－1)，×(104－1)， 所以它的一个通项公式为an＝×(10n－1)，n∈N＋. 任务三　数列通项公式的应用 已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)求a10； (2)判断是否为该数列中的项.若是，它为第几项？若不是，请说明理由； (3)求证：0＜an＜1. 解：(1)根据题意可得a10＝＝. (2)令an＝，即＝，解得n＝3，所以为数列{an}中的项，为第3项. (3)证明：由题知an＝＝1－， 因为n∈N＋，所以3n＋1＞3，所以0＜＜1， 所以0＜1－＜1，即0＜an＜1. 1.利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项. 2.判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项. 对点练3.(2025·江西部分学校高二联考)已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)求a4； (2)是不是该数列中的项？为什么？ (3)在区间(，)内是否有该数列中的项？若有，求出有几项；若没有，请说明理由. 解：(1)因为an＝＝＝， 所以a4＝＝. (2)由(1)知an＝，令＝，解得n＝. 因为n∈N*，所以＝无正整数解，即不是该数列中的项. (3)由(1)知an＝， 令， 则＜n＜. 因为n∈N*，所以n＝3. 所以在区间(，)内有该数列中的项，且只有一项. 学生用书⬇第4页 1.(多选)下列数列是无穷数列的是(　　) A.1，，，，… B.－1，－2，－3，－4，… C.－1，－，－，－，… D.1，，，…， 答案：ABC 2.下列说法正确的是(　　) A.数列中不能重复出现同一个数 B.1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列 C.1，1，1，1不是数列 D.若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同 答案：D 解析：由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1，1，1，1，故A，C不正确；B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确；由数列的定义可知，D正确. 3.已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋n，则下面哪一个数是这个数列的一项(　　) A.18　　　 B.21　　　 C.25　　　 D.30 答案：D 解析：因为an＝n2＋n＝(n＋)2－，所以数列{an}是递增数列，当n＝3时，a3＝32＋3＝12，当n＝4时，a4＝42＋4＝20，当n＝5时，a5＝52＋5＝30，当n＝6时，a6＝62＋6＝42，故选D. 4.在数列{an}中，an＝51－n，则a3等于　　　　. 答案： 解析：由已知得a3＝51－3＝. 课时测评1　数列的概念及其通项公式 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.数列4，7，3，4的首项是4 B.数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C.数列1，2，3，…就是数列{n} D.数列中的项不能是三角形 答案：ACD 解析：由数列的相关概念可知，数列4，7，3，4的首项是4，故A正确；同一个数在数列中可以重复出现，故B错误；按一定顺序排列的一列数称为数列，所以数列1，2，3，…就是数列{n}，故C正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确. 2.(2025·吉林长春期中)数列－，3，－3，9，…的一个通项公式是(　　) A.an＝(－1)n(n∈N＋) B.an＝(－1)n(n∈N＋) C.an＝(－1)n＋1(n∈N＋) D.an＝(－1)n＋1(n∈N＋) 答案：B 解析：把数列的前4项统一形式为－，，－，，数列的一个通项公式为an＝(－1)n(n∈N＋). 3.(多选)数列{an}的通项公式为an＝25－2n，在下列各数中，是{an}的项的是(　　) A.1　　　　 B.－1　　　　 C.3　　　　 D.2 答案：ABC 解析：25－2n不可能是偶数，经验证，1，－1，3均是{an}中的项. 4.已知数列－1，，－，…，(－1)n，…，则它的第5项为(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：D 解析：易知，数列的通项公式为an＝(－1)n·，当n＝5时，该项为(－1)5·＝－.故选D. 5.数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的通项公式为(　　) A.an＝(10n－1)，n∈N＋ B.an＝(10n－1)，n∈N＋ C.an＝(1－)，n∈N＋ D.an＝(10n－1)，n∈N＋ 答案：C 解析：因为数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的通项公式为1－，而数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的，所以an＝(1－)，n∈N＋. 6.数列{an}的通项公式为an＝则a2a3＝(　　) A.70 B.28 C.20 D.8 答案：C 解析：由通项公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2a3＝20. 7.已知数列2，，2，…的通项公式为an＝，则a4＝　　　　，a5＝　　　　. 答案：　 解析：将a1＝2，a2＝代入通项公式，得 所以an＝，所以a4＝＝，a5＝＝. 8.数列－1，1，－2，2，－3，3，…的一个通项公式为　　　　. 答案：an＝ 解析：注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得 an＝ 9.(10分)写出下列各数列的一个通项公式： (1)4，6，8，10，…； (2)，，，，，…； (3)－1，，－，，…. 解：(1)各项是从4开始的偶数，所以an＝2n＋2，n∈N＋. (2)每一项分子比分母少1，而分母可写成21，22，23，24，25，…，分子分别比分母少1，故所求数列的通项公式可写为an＝，n∈N＋. (3)通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择(－1)n.又第1项可改写成分数－，则每一项的分母依次为3，5，7，9，…，可写成(2n＋1)的形式.分子为3＝1×3，8＝2×4，15＝3×5，24＝4×6，…，可写成n(n＋2)的形式. 所以此数列的一个通项公式为an＝(－1)n·，n∈N＋. 10.(10分)已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出此数列的第4项和第6项； (2)－49是不是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68呢？ 解：(1)a4＝3×42－28×4＝－64， a6＝3×62－28×6＝－60. (2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)， 所以－49是该数列的第7项； 令3n2－28n＝68，解得n＝－2或n＝， 均不合题意，所以68不是该数列的项. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.设an＝＋＋＋＋…＋(n∈N＋)，则a2等于(　　) A. B.＋ C.＋＋ D.＋＋＋ 答案：C 解析：因为an＝＋＋＋＋…＋(n∈N＋)， 所以a2＝＋＋. 12.已知数列{an}的通项公式为an＝n－，an的最小值为　　　　. 答案：1－ 解析：因为an＝n－＝＝－，易知数列{an}为递增数列，则数列{an}的最小项为a1，即最小值为1－. 13.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝　　　　. 答案：61 解析：f(1)＝1＝2×1×0＋1， f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1， f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1， f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1， 故f(n)＝2n(n－1)＋1. 当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61. 14.(13分)已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋n＋110. (1)20是不是{an}中的一项？ (2)当n取何值时，an＝0. 解：(1)令an＝－n2＋n＋110＝20， 即n2－n－90＝0，所以(n＋9)(n－10)＝0， 所以n＝10或n＝－9(舍)， 所以20是数列{an}中的一项，且为数列{an}中的第10项. (2)令an＝－n2＋n＋110＝0，即n2－n－110＝0， 所以(n－11)(n＋10)＝0，所以n＝11或n＝－10(舍)， 所以当n＝11时，an＝0. 15.(5分)如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为(　　) A.an＝n，n∈N＋ B.an＝，n∈N＋ C.an＝，n∈N＋ D.an＝n2，n∈N＋ 答案：C 解析：因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…， 所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝，…. 16.(17分)在数列{an}中，an＝. (1)求证：此数列的各项都在区间(0，1)内； (2)区间内有没有数列中的项？若有，有几项？ 解：(1)证明：因为an＝＝1－(n∈N＋)， 所以0＜an＜1， 故数列的各项都在区间(0，1)内. (2)令，则＜n2＜2，n∈N＋， 解得n＝1，即在区间内有且只有1项数列中的项，为a1. 学科网（北京）股份有限公司 $