课时测评2 数列的递推公式、单调性及an和Sn的关系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评2　数列的递推公式、单调性及an和Sn的关系 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.数列－11，－20，－27，…，n2－12n，…是(　　) A.递增数列　　　　　　　　 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 答案：D 解析：该数列从第2项起，第n项与第n－1项的差为(n2－12n)－[(n－1)2－12(n－1)]＝2n－13，所以该数列的前6项单调递减，从第6项往后单调递增，故选D. 2.已知数列{an}满足an＝4an－1－2(n≥2，n∈N＋)，且a1＝1，则此数列的第5项是(　　) A.6　　　　 B.86　　　　 C.22　　　　 D.63 答案：B 解析：由递推公式，得a2＝2，a3＝6，a4＝22，a5＝86. 3.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的一个通项公式是(　　) A.an＝n B.an＝n＋1 C.an＝2n D.an＝2n－1 答案：D 解析：由题a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，经验证，an＝2n－1. 4.如图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两点之间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图有化学键(　　) A.6n个 B.(4n＋2)个 C.(5n－1)个 D.(5n＋1)个 答案：D 解析：由题中图形知，各图中“短线”个数依次为6，6＋5，6＋5＋5，…，若把6看作1＋5，则上述数列为1＋5，1＋2×5，1＋3×5，…，于是第n个图形有(5n＋1)个化学键.故选D. 5.(多选)若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1(n＞3)，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法正确的是(　　) A.Tn无最大值 B.an有最大值 C.T2 025＝4 D.a2 025＝2 答案：BCD 解析：因为a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1(n＞3)， 所以a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，…， 因此数列{an}是周期为6的周期数列，an＋6＝an， 所以an有最大值2，a2 025＝a3＝2， 又因为T1＝1，T2＝2，T3＝4，T4＝4，T5＝2，T6＝1，T7＝1，T8＝2，…， 所以{Tn}是周期为6的周期数列，Tn＋6＝Tn， 所以Tn有最大值4，T2 025＝T3＝4.故选BCD. 6.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是(　　) A.an＋1＝an＋n，n∈N＋ B.an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2 C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋，n≥2 D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2 答案：B 解析：由题中图形知，a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，a4＝a3＋4，所以an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2，故选B. 7.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n(n∈N＋)，则a4＝　　　　. 答案：13 解析：当n＝1时，a2＝a1＋1×2＝3， 当n＝2时，a3＝a2＋2×2＝3＋4＝7， 当n＝3时，a4＝a3＋3×2＝7＋6＝13. 8.已知在数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N＋)，则a9＝　　　. 答案： 解析：a1a2…a8＝82，① a1a2…a9＝92，② ②÷①得，a9＝＝. 9.(10分)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，求数列{an}的通项公式. 解：由条件＝，分别令n＝1，2，3，…，n－1，代入上式得n－1个等式，即＝，＝，＝，…，＝. 将以上各式等号两边分别相乘，得···…·＝×××…×， 所以＝. 又因为a1＝，所以an＝. 10.(10分)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6. (1)设bn＝an＋1－an，求数列{bn}的通项公式； (2)求n为何值时an最小. 解：(1)由an＋2－2an＋1＋an＝2n－6， 得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2n－6， 所以bn＋1－bn＝2n－6. 当n≥2时，bn－bn－1＝2(n－1)－6， bn－1－bn－2＝2(n－2)－6， … b3－b2＝2×2－6， b2－b1＝2×1－6， 累加得bn－b1＝2(1＋2＋…＋n－1)－6(n－1) ＝n(n－1)－6n＋6＝n2－7n＋6. 又b1＝a2－a1＝－14， 所以bn＝n2－7n－8. (2)由bn＝(n－8)(n＋1)， 得an＋1－an＝(n－8)(n＋1). 所以当n＜8时，an＋1＜an； 当n＝8时，a9＝a8； 当n＞8时，an＋1＞an. 所以当n＝8或n＝9时，an的值最小. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N＋)，则a2 021的值为(　　) A.2 B.1 C. D. 答案：C 解析：an·an＋2＝an＋1(n∈N＋)， 由a1＝1，a2＝2，得a3＝2， 由a2＝2，a3＝2，得a4＝1， 由a3＝2，a4＝1，得a5＝， 由a4＝1，a5＝，得a6＝， 由a5＝，a6＝，得a7＝1， 由a6＝，a7＝1，得a8＝2， 由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列， 所以a2 021＝a336×6＋5＝a5＝. 12.设是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意的n∈N＋，均有an＋k＜an，则称是间隔递减数列，k是的间隔数.已知an＝－n2＋tn＋9，若是间隔递减数列，且最小间隔数是4，则t的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由题意可得，an＋k－an＝－＋t＋9－＝k－k2＜0对任意的n∈N＋成立， 则存在k≥4，使k－k2＜0成立，且存在k≤3，使k－k2≥0成立. 因为k是正整数，所以t－2－4＜0，且t－2－3≥0，解得5≤t＜6.故选D. 13.(多选)数列{an}的通项公式为an＝n＋，则(　　) A.当a＝2时，数列{an}的最小值是a1＝a2＝3 B.当a＝－1时，数列{an}的最小值是a1＝0 C.当0＜a＜4时，a不是数列{an}中的项 D.当a＜2时，{an}为递增数列 答案：ABCD 解析：当a＝2时，an＝n＋，由f(x)＝x＋的单调性及a1＝3，a2＝3，可知A正确；当a＝－1时，an＝n－，显然是递增数列，故最小值为a1＝0，B正确； 令an＝n＋＝a，得n2－na＋a＝0，当0＜a＜4时，Δ＝a2－4a＜0，故方程无解，所以a不是数列{an}中的项，C正确；若{an}是递增数列，则an＋1＞an，即n＋1＋＞n＋，得a＜n2＋n，又n2＋n≥2，所以a＜2，D正确.故选ABCD. 14.(13分)已知数列满足2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝n，求数列的通项公式. 解：因为2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝n(n∈N＋)①， 所以2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n－1an－1＝n－1②， ①－②得2nan＝1(n≥2)，即an＝， 当n＝1时，a1＝，满足an＝，所以an＝. 15.(5分)雪花曲线是一种模样古怪的曲线，但它是真实存在的.这条曲线可以从一个等边三角形开始来画.你可以想象，有一位可爱的小天使正在画雪花曲线，她把一个蓝色的等边三角形的每边分成相同的三份，再在中间的那个三分之一上向外画出一个粉红色的等边三角形，这样一来就做成了一个六角星，六角星的每一条边再向外画一个绿色等边三角形，…，以此类推. 设第n个雪花曲线的边数为an，则a3＝　　　　，an＋1与an的关系是　　　　. 答案：48　an＋1＝4an 解析：a1＝3，a2＝3×4＝12，a3＝3×42＝48，…，an＋1＝4an. 16.(17分)已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bn＝3n－λ，若数列{bn}为递增数列，求实数λ的取值范围. 解：(1)法一：因为2Sn＝(n＋1)an， 所以2Sn＋1＝(n＋2)an＋1， 所以2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an， 即nan＋1＝(n＋1)an，所以＝， 所以＝＝…＝＝1， 所以an＝n. 法二：因为2Sn＝(n＋1)an， 所以2Sn＋1＝(n＋2)an＋1， 所以2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an， 即nan＋1＝(n＋1)an，所以＝， 所以当n≥2时，an＝a1···…·＝1×××…×＝n. 又a1＝1也满足an＝n， 所以数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由(1)知bn＝3n－λn2， 由bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1)， 因为数列{bn}为递增数列， 所以2·3n－λ(2n＋1)＞0，即λ＜. 令cn＝，则＝·＝＞1， 所以{cn}为递增数列，所以λ＜c1＝2， 即λ的取值范围为(－∞，2). 学科网（北京）股份有限公司 $