4.3 用一元一次方程解决问题 学案 2025--2026学年苏科版七年级数学上册

2025年七上数学第14周《用方程解决问题》 【知识梳理】 如图,将x1,x2,x3,....,x9九个数填入九宫格,使得每行、每列以及对角线的三个数的和相等,把这个和记作S. (1)幻和等于中心数的三倍：中心数x5＝S; 如：使用 1-9 这九个数时，总和为 45，幻和为 15，中心数就是5 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 (2)黄金三角形两底角数之和=顶角数的两倍x2＋x4＝2x9;类似的还有 (3)米字格成等差数列 技巧： 1.弹弓法： 利用角格数等于不相邻的两个边格数之和的性质。 例如，若已知一个角格和两个不相邻的边格数，可以计算出另一个边格数。 2.拉丁方算法： 适用于构造更高阶的幻方。 通过排列数字，使得每行、每列中每个数字只出现一次，然后调整对角线的数字以满足幻和相等的条件。 【课前热身】 1．幻方是中国古代的一种谜题，又称九宫图，即在正方形网格中填上9个整数，使每行、每列及对角线上的数字之和都相等．图中给出了幻方的部分数字，则x＝　 　 ． 第1题 第2题 第3题 2．在如图的九个方格中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则n＝　 　 ，a+b+c+d＝　 　 ． 3．幻方是中国古代的一种谜题，又称九宫图，即在正方形网格中填上9个整数，使每行、每列及对角线上的数字之和都相等，图中给出了幻方的部分数字，则m＝ 　 　 ． 4．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图1，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为7+3+5＝15，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15，图2是这种特殊的三角形幻方． （1）若n＝7，则A处的数值为　 　 ；（2）x的值为　 　 ． 第4题 第5题 5．幻方是一类数字方阵，是流行于欧亚的世界性文化．在如图所示的图形中，每个字母分别代表不同的数字，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若A＝2n+1，C＝4n，F＝2n，则H＝　 　 ． 6．将16个数字填入4×4的正方形方格内，如果每行、每列、每条对角线上的4个数字的和都相等，那么这个正方形就叫做4阶幻方．如图是由1，2，…，16这16个自然数构成的4阶幻方的一部分，则灰色格子内应填入的数字为 　 　 ． 第6题 第7题 第8题 第9题 7．如图所示，在长方形ABCD中放入8个完全相同的小长方形，若AB＝5，则图中阴影部分面积之和为 　 　 ． 8．为了进一步落实国务院《关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见》的精神，某校计划为学生购买一些篮球和跳绳．调查了某商店的价格情况后，已知一个篮球的价格比一根跳绳的价格的4倍多50元，w1、w2分别表示购买篮球和跳绳所需费用w（元）与数量n（单位：个或根）的关系，如图所示．若设一根跳绳的单价为x元，则可列方程为　 　 ． 9．如图，正五边形主题公园步道总长度为2000米，小李和小张分别从A，C处同时开始沿着步道顺时针方向步行．若小李和小张步行的速度分别为50米/分，46米/分，则两人首次处于同一段步道（正五边形的同一边）的时间为 　 　 分． 10．如图，已知数轴上的点A表示的数为﹣8，点C表示的数为6，点B是AC的中点，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为t秒（t＞0），另一动点Q从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，且P，Q同时出发，当t为 　 　 秒时，点P与点Q之间的距离为3个单位长度． 11．一套精装《红楼梦》原价若干元，如果每套降价8元出售，销量就增加，收入增加，一套精装《红楼梦》原价　 　 元． 12．灌满一个水池，只打开A管要8小时，只打开B管要10小时，只打开C管要15小时，开始时只打开A管和B管，中途关掉A、B两管，然后打开C管，前后共用了10小时15分钟，那么C管打开了　 　 小时． 13．定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程3x+9＝0中，3﹣9＝﹣6，方程的解为x＝﹣3，则方程3x+9＝0为妙解方程．请根据上述定义解答：关于x的一元一次方程3x+a﹣b＝0是妙解方程，则b﹣a＝　 　 ． 14．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”．若关于x的一元一次方程x+3＝2x+k和x+1＝0是“美好方程”，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2y+k+2的解为　 　 ． 15．一艘轮船从甲港开往乙港，第一天行了全程的多16千米，第二天行的路程是第一天的，这时离乙港还有15千米，甲、乙两港之间的距离是多少千米？ 【典型例题】 1．有两块地共72亩，第一块地的和第二块地的种西红柿，两块地余下的共39亩种茄子，每一块地分别是多少亩？ 2．如图（1），A，B两地间的公路长360km，其中有一段长10km的施工道路MN，M距离A地200km．甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发20min．在非施工道路（其限速情况如图（2）所示），甲车始终以100km/h的速度行驶，乙车始终以Vkm/h的速度行驶；在施工道路，两车均以40km/h的速度行驶． （1）若V＝90． ①甲车出发2h时，甲车行至　 　 处，乙车行至　 　 处；（填“M”“N”或“MN的中点”） ②甲车行至MN的中点时，乙车行驶的时间为　 　 h． （2）已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上（P不与M，N重合），直接写出V的取值范围． 3．在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，大人门票是每张35元．学生门票是5折优惠．团体票（16人以上含16人）：按成人票6折优惠．我们一共12人，共需350元． （1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？ （2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由． 4．已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数﹣12、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，试回答以下问题： （1）经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ （2）如图： 当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 5．某车间组装一种电子相册，每个电子相册需要屏幕和电池各一个．该公司有4条流水线生产这两种组件．流水线需要提前设定，所以每条流水线一天只能生产同一种组件，但第二天可以更换组件类型．每条流水线一天的生产数量如表： 组件 流水线1 流水线2 流水线3 流水线4 屏幕/个 30 50 40 30 电池/个 40 40 30 60 （1）如果只开通其中一条流水线，6天最多生产该电子相册 　 　 个； （2）如果4条流水线都开通，6天最多生产该电子相册 　 　 个． 【巩固练习】 1．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．将9个数填在三行三列的方格中，若每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，就构成一个三阶幻方．图1是一个三阶幻方，图2是一个未完成的三阶幻方，则m•n＝　 　 ． 第1题 第2题 第3题 2．小李同学学习幻方后，自己设计了一个新的“幻方”，他将，1，2，4，8，16，32这九个数填入3×3的格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的积都相等，如图是他填写了一部分的“幻方”，则m的值是 　 　 ；x的值是 　 　 ． 3．你对生活中常见的月历了解吗？月历中存在许多数字奥秘，你知道吗？ （1）在如图所示的月历中，横行、竖列上相邻的两数之间有什么关系？ （2）如果告诉你一竖列上连续三个数的和为72，你能知道是哪几天吗？ （3）如果用一个正方形圈出2×2个数的和为56，那么圈出的四天你知道分别是几号吗？ 4．小刚、小强两人沿同一直道匀速从A地去B地．小刚骑自行车，小强步行，小刚的速度是小强的2倍．若小强比小刚早1min从A地出发，晚5min到达B地，则小强整个行程所用的时间为 　 　 ． 5．我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”，请根据上述规定解答下列问题：若关于x的一元一次方程﹣3x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n（n≠0），则m+n＝　 　 ． 6．我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”，例如：2x＝4的解为2，且2＝4﹣2，则该方程2x＝4是“差解方程”．若关于x的一元一次方程5x＝m+1是“差解方程”，则m的值为　 　 ． 7．如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足|a+2|+（c﹣7）2＝0． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）若点A、点B和点C分别以每秒1个单位长度、4个单位长度和2个单位长度的速度在数轴上同时向右运动． ①假设t秒钟后，A，B，C三点中其中的一点是另外两点的中点，求此时t的值； ②假设t秒钟后，用AB表示A、B两点的距离，用AC表示A、C两点的距离，是否存在常数m，使mAC﹣AB的值为定值？若存在，求m的值，并写出该定值；若不存在，请说明理由． ∵每行、每列上的数字之和都相等， ∴a+（﹣1）+7＝a+m+（﹣3）， ∴（﹣1）+7＝m+（﹣3）， 解得：m＝9， 故答案为：9． 4．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图1，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为7+3+5＝15，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15，图2是这种特殊的三角形幻方． （1）若n＝7，则A处的数值为　1　 ； （2）x的值为　﹣10　 ． 【解答】解：（1）由图可知，每个三角形三个顶点处数的和是m+n﹣4， ∴m+n﹣4＝A+m+2， ∵n＝7， ∴m+7﹣4＝A+m+2， ∴A＝1， 故答案为：1； （2）B＝（m+n﹣4）﹣（A﹣4） ＝m+n﹣4﹣（n﹣6﹣4） ＝m+6， x＝（m+n﹣4）﹣（B+n） ＝（m+n﹣4）﹣（m+6+n） ＝﹣10． 故答案为：﹣10． 5．幻方是一类数字方阵，是流行于欧亚的世界性文化．在如图所示的图形中，每个字母分别代表不同的数字，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若A＝2n+1，C＝4n，F＝2n，则H＝　4n﹣1　 ． A+6+x+I＝34， A+I＝28﹣x， 第一行（含1、A、B、C），其和为34： 1+A+B+C＝34， A+B+C＝33， ∵考虑所有数字的唯一性（1到16不重复），结合行、列的交叉关系，最终通过行列和的等量代换， 从第二列和第四行的关系，结合H+I＝16， 可推导出x＝10， 综上，灰色格子内应填入的数字为10． 故答案为：10． 7．如图所示，在长方形ABCD中放入8个完全相同的小长方形，若AB＝5，则图中阴影部分面积之和为 　6　 ． 【解答】解：设小长方形的长为x，则宽为x，AD＝2x， 由题意得：x+2x＝5， 解得：x＝3， ∴x3＝1，AD＝2x＝2×3＝6， ∴图中阴影部分面积之和为：AB•AD﹣8×3×1＝5×6﹣24＝6， 故答案为：6． 8．为了进一步落实国务院《关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见》的精神，某校计划为学生购买一些篮球和跳绳．调查了某商店的价格情况后，已知一个篮球的价格比一根跳绳的价格的4倍多50元，w1、w2分别表示购买篮球和跳绳所需费用w（元）与数量n（单位：个或根）的关系，如图所示．若设一根跳绳的单价为x元，则可列方程为　　 ． 【解答】解：设一根跳绳的单价为x元，则一个篮球的单价为（4x+50）元， 故可列方程为； 故答案为：． 9．如图，正五边形主题公园步道总长度为2000米，小李和小张分别从A，C处同时开始沿着步道顺时针方向步行．若小李和小张步行的速度分别为50米/分，46米/分，则两人首次处于同一段步道（正五边形的同一边）的时间为 　104　 分． 【解答】解：正五边形步道总长度为2000米， ∵正五边形五条边相等， ∴每条边的长度为2000÷5＝400（米）． 开始时小李和小张的距离差为400×2＝800（米）．小李每分钟比小张多走50﹣46＝4（米）． 当小李比小张多走 800﹣400＝400（米）时，两人有可能处于同一段步道． 此时所用时间为400÷4＝100（分钟）． 在100分钟时，小李走了50×100＝5000（米），5000÷2000＝2......1000（米）， 即小李走了2圈又1000米，1000÷400＝2......200（米）， 说明小李在距离A点200米处．小张走了46×100＝4600（米）， 4600÷2000＝2......600（米）， 即小张走了2圈又600米， 600÷400＝1......200（米），说明小张在距离 C 点 200 米处．此时两人不在同一边上． 当小李再走200米到达下一条边时，所用时间为 200÷50＝4（分钟）． 在这 4 分钟内，小张走了46×4＝184（米）．此时小李一共走了50×（100+4）＝5200（米），5200÷2000＝ 2......1200（米），1200÷400＝3， 说明小李在距离A点1200米处，即在某一条边的起点．小张一共走了46×（100+4）＝4784（米），4784÷2000＝2......784（米），784÷400＝1......384（米），说明小张在距离C点384 米处，两人处于同一段步道．所以总共用时100+4＝104（分钟）． 故答案为：104． 10．如图，已知数轴上的点A表示的数为﹣8，点C表示的数为6，点B是AC的中点，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为t秒（t＞0），另一动点Q从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，且P，Q同时出发，当t为 　5或2　 秒时，点P与点Q之间的距离为3个单位长度． 【解答】解：∵数轴上的点A表示的数为﹣8，点C表示的数为6，点B是AC的中点， ∴点B表示的数为， ∴运动时间为t秒后，点P表示的数为﹣8+3t，点Q表示的数为﹣1+t， ∵点P与点Q之间的距离为3个单位长度， ∴|﹣8+3t﹣（﹣1+t）|＝3，即|﹣7+2t|＝3， ∴﹣7+2t＝3或﹣7+2t＝﹣3， 解得：t＝5或2， ∴当t为5秒或2秒时，点P与点Q之间的距离为3个单位长度． 故答案为：5或2． 11．一套精装《红楼梦》原价若干元，如果每套降价8元出售，销量就增加，收入增加，一套精装《红楼梦》原价　200　 元． 【解答】解：设一套精装《红楼梦》原价为x元， 根据题意列一元一次方程得，， 整理得，， 解得x＝200， 则一套精装《红楼梦》原价为200元， 故答案为：200． 12．某车间组装一种电子相册，每个电子相册需要屏幕和电池各一个．该公司有4条流水线生产这两种组件．流水线需要提前设定，所以每条流水线一天只能生产同一种组件，但第二天可以更换组件类型．每条流水线一天的生产数量如表： 组件 流水线1 流水线2 流水线3 流水线4 屏幕/个 30 50 40 30 电池/个 40 40 30 60 （1）如果只开通其中一条流水线，6天最多生产该电子相册 　120　 个； （2）如果4条流水线都开通，6天最多生产该电子相册 　560　 个． 【解答】解：（1）如果只开通一条流水线，比较可知，开通流水线2或4能生产更多的组件， 流水线2生产屏幕3天共生产150个，生产电池3天共120个，则6天可以生产120个电子相册， 流水线4生产屏幕4天共生产120个，生产电池2天共120个，6天正好可以生产120个电子相册， 故答案为：120； （2）由（1）可得流水线2或4能生产更多的组件， 4条流水线生产屏幕与电池个数的比值分别为3：4＝0.75，5：4＝1.25，4：3≈1.33；1：2＝0.5 ∴流水线2生产屏幕6天，生产50×6＝300个，流水线4生产电池6天，生产60×6＝360个， 此时电池比屏幕多60个， 流水线1和流水线3的产能可以互补，但要消耗多余的屏幕，两条流水线不能生产相同的天数， 假设流水线3生产屏幕6天，则生产屏幕40×6＝240个， 设流水线1生产屏幕x天，生产电池（6﹣x）天，则生产屏幕30x个，生产电池40（6﹣x）个， 30x+240+300＝360+40（6﹣x）， ∴， ∴当x＝1时，流水线1生产屏幕1天，生产电池5天，则生产屏幕30个，生产电池200个， ∴4条都开通，6天生产屏幕数量为：300+240+30＝570个，电池：360+200＝560个， 故答案为：560． 13．灌满一个水池，只打开A管要8小时，只打开B管要10小时，只打开C管要15小时，开始时只打开A管和B管，中途关掉A、B两管，然后打开C管，前后共用了10小时15分钟，那么C管打开了　8.25　 小时． 【解答】解：A管的流速为：，B管的流速为：，C管的流速为：， 10小时15分钟＝10.25小时， 设C管打开了x小时，则根据题意列一元一次方程， ， 整理得，9x＝74.25， 解得x＝8.25 即C管打开了8.25小时， 故答案为：8.25． 14．定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程3x+9＝0中，3﹣9＝﹣6，方程的解为x＝﹣3，则方程3x+9＝0为妙解方程．请根据上述定义解答：关于x的一元一次方程3x+a﹣b＝0是妙解方程，则b﹣a＝　﹣9　 ． 【解答】解：解关于x的一元一次方程3x+a﹣b＝0，得x， ∵关于x的一元一次方程3x+a﹣b＝0是妙解方程， 3﹣（a﹣b）＝2， 9+3（b﹣a）＝2（b﹣a）， ∴b﹣a＝﹣9． 故答案为：﹣9． 15．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”．若关于x的一元一次方程x+3＝2x+k和x+1＝0是“美好方程”，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2y+k+2的解为y＝2024　 ． 【解答】解：∵x+1＝0， ∴x＝﹣2024， ∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+k和x+1＝0是“美好方程”， ∴方程x+3＝2x+k的解为：x＝1﹣（﹣2024）＝2025， ∵关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2y+k+2可化为：（y+1）+3＝2（y+1）+k， ∴y+1＝2025， ∴y＝2024． 故答案为：y＝2024． 16．一艘轮船从甲港开往乙港，第一天行了全程的多16千米，第二天行的路程是第一天的，这时离乙港还有15千米，甲、乙两港之间的距离是多少千米？ 【解答】解：设甲、乙两港之间的距离是x千米， 可得：， 解得：x＝720， 答：甲、乙两港之间的距离是720千米． 17．有两块地共72亩，第一块地的和第二块地的种西红柿，两块地余下的共39亩种茄子，每一块地分别是多少亩？ 【解答】解：设第一块地的面积为x亩，则第二块地的面积为（72﹣x）亩， 可得：， 解得：x＝45， 72﹣45＝27（亩）， 答：第一块地的面积为45亩，第二块地的面积为27亩． 18．如图（1），A，B两地间的公路长360km，其中有一段长10km的施工道路MN，M距离A地200km．甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发20min．在非施工道路（其限速情况如图（2）所示），甲车始终以100km/h的速度行驶，乙车始终以Vkm/h的速度行驶；在施工道路，两车均以40km/h的速度行驶． （1）若V＝90． ①甲车出发2h时，甲车行至M 处，乙车行至N 处；（填“M”“N”或“MN的中点”） ②甲车行至MN的中点时，乙车行驶的时间为　　 h． （2）已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上（P不与M，N重合），直接写出V的取值范围． 【解答】解：（1）①∵依题意，MA＝200km，MN＝10km，AB＝360km， ∴NB＝150km， ∵甲车从A地出发，始终以100km/h的速度行驶， ∴甲车2小时共行驶了2×100＝200（km）， ∴甲车出发2小时，行至M处， ∵乙车从B地出发，比甲车晚出发20min小时，以90km/h的速度行驶， ∴乙车共行驶了90×（2）＝150（km）， ∴乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至MN的中点时，所用时间为：（h）， 此时乙车行驶所用时间：（h）， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为（h）， 此时乙车所用时间为（h）， ∴乙车的速度为V＝150（km/h）； ②P在非施工道路上（P不与M，N重合）， 若P在AM上，设甲的行驶时间为t，则0＜t＜2， 此时甲行驶路程为100t，乙行驶的路程为150+10+V（t）， ∴100t+150+10+V（t）＝360， ∴t， ∴02， 解得V， ∵限速为60≤V≤120， ∴V≤120， 若P在NB上，设甲的行驶时间为t，则t， 此时甲行驶路程为200+10+100（t），乙行驶的路程为V（t）， ∴200+10+100（t）+V（t）＝360， ∴t， ∴， 解得0＜V， ∵限速为60≤V≤120， ∴60≤V， 综上所述60≤V或V≤120． 19．在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题： 票价 成人：每张35元； 学生：按成人票价5折优惠； 团体票（16人以上含16人）：按成人票6折优惠． 大人门票是每张35元．学生门票是5折优惠．我们一共12人，共需350元． 爸爸，等一下，让我算一算，换一种方式买票是否可以省钱． （1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？ （2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由． 【解答】解：（1）设小明他们一共去了x个成人，则（12﹣x）个学生， 则：35x+17.5×（12﹣x）＝350， 解得：x＝8， ∴12﹣x＝4， 答：小明他们一共去了8个成人，4个学生； （2）购买16张门票更省钱； 理由：当买16张票需要花费：16×35×0.6＝336（元）， ∵336＜350， 所以购买16张门票更省钱． 20．已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数﹣12、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，试回答以下问题： 此时点Q在点O的左侧，点P在点O的右侧，同在点B的左侧，且QB＝PQ+PB＞PB，所以P、Q两点到点B的距离不可能相等； ⑤当t＞15时，如图，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15）＝2t﹣21，Q表示的数是﹣（t﹣14）＝14﹣t， ∴（2t﹣21）﹣9＝9﹣（14﹣t）， 解得t＝25； 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为12秒或25秒．故答案为：12或25． 21．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．将9个数填在三行三列的方格中，若每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，就构成一个三阶幻方．图1是一个三阶幻方，图2是一个未完成的三阶幻方，则m•n＝　48　 ． 【解答】解：如图， 由题可知11+9+n＝b+15+n， 解得b＝5， ∵11+d+b＝m+d+n， ∴m+n＝11+b＝11+5＝16， ∵c+d+15＝m+d+n， ∴c＝m+n﹣15＝1， ∵m+a+b＝m+c+11， ∴a＝c+11﹣b＝1+11﹣5＝7， ∵m+a+b＝n+15+b， ∴m﹣n＝15﹣a＝8， 结合m+n＝16可得，m＝12，n＝4， ∴m•n＝48， 故答案为：48． 22．你对生活中常见的月历了解吗？月历中存在许多数字奥秘，你知道吗？ （1）在如图所示的月历中，横行、竖列上相邻的两数之间有什么关系？ （2）如果告诉你一竖列上连续三个数的和为72，你能知道是哪几天吗？ （3）如果用一个正方形圈出2×2个数的和为56，那么圈出的四天你知道分别是几号吗？ 【解答】解：（1）月历中，横行上相邻两数之差（大数减去小数）为1， 竖列上相邻两数之差（大数减去小数）为7； （2）设这一竖列上连续的三个数分别为x﹣7、x、x+7， 根据题意得：（x﹣7）+x+（x+7）＝72， 解得x＝24， ∴x﹣7＝24﹣7＝17，x+7＝24+7＝31， 答：这三天分别是17号、24号、31号． （3）设圈出的四个数中，最小的数为y，则另三个数分别为y+1，y+7，y+8， 由题意得：y+（y+1）+（y+7）+（y+8）＝56， 解得：y＝10， 则y+1＝11，y+7＝17，y+8＝18， 答：圈出的四天分别是10号、11号、17号、18号． 23．小李同学学习幻方后，自己设计了一个新的“幻方”，他将，1，2，4，8，16，32这九个数填入3×3的格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的积都相等，如图是他填写了一部分的“幻方”，则m的值是 　2　 ；x的值是 　4　 ． 【解答】解：如图，依题意有16x＝32m， 解得x＝2m， 则a，b，c， 则32mc， m3＝23， 解得m＝2， 则x＝4． 故答案为：2，4． 24．小刚、小强两人沿同一直道匀速从A地去B地．小刚骑自行车，小强步行，小刚的速度是小强的2倍．若小强比小刚早1min从A地出发，晚5min到达B地，则小强整个行程所用的时间为 　12min ． 解得：t＝﹣3（不符合题意，舍去）； 当点B为线段AC的中点时，1+4t﹣（﹣2+t）＝7+2t﹣（1+4t）， 解得：t； 当点C为线段AB的中点时，7+2t﹣（﹣2+t）＝1+4t﹣（7+2t）， 解得：t＝15． 答：t的值为或15； ②存在，当运动时间为t秒时，点A表示的数为﹣2+t，点B表示的数为1+4t，点C表示的数为7+2t， ∴AB＝1+4t﹣（﹣2+t）＝3+3t，AC＝7+2t﹣（﹣2+t）＝9+t， ∴mAC﹣AB＝m（9+t）﹣（3+3t）＝（m﹣3）t+9m﹣3， ∵mAC﹣AB的值为定值， ∴m﹣3＝0， 解得：m＝3， ∴9m﹣3＝9×3﹣3＝24， ∴存在常数m，使mAC﹣AB的值为定值，m的值为3，该定值为24． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/1 11:52:17；用户：纪老师；邮箱：19962060260；学号：40085985 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $