第4章 一元一次方程的应用压轴训练（单元复习 7类压轴）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（苏科版2024）

第4章 一元一次方程的应用压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　一元一次方程解决配套问题 1 压轴题型二　一元一次方程解决工程问题 5 压轴题型三　一元一次方程解决销售问题 10 压轴题型四　一元一次方程解决积分问题 15 压轴题型五　一元一次方程解决方案问题 18 压轴题型六　一元一次方程解决电费和水费问题 22 压轴题型七　一元一次方程解决数轴上的动点问题 27 02 压轴题型 压轴题型一　一元一次方程解决配套问题 例题：（2024上·广东肇庆·七年级统考期末）广东鸿图科技股份有限公司某车间名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉个或螺母个，一个螺钉要配三个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？ 【答案】分配名工人生产螺钉，名工人生产螺母 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程． 设分配名工人生产螺钉，根据“一个螺钉要配三个螺母”，生产螺母的数量应是螺钉的倍，所以本题中的等量关系是：每人每天平均生产螺钉的个数×生产螺钉的人数×=每人每天平均生产螺母的个数×生产螺母的人数．据此等量关系式可列方程解答． 【详解】解：设分配名工人生产螺钉，则：分配名工人生产螺母， 由题意，得：， 解得：； ∴人； 故应该分配名工人生产螺钉，名工人生产螺母． 巩固训练 1．（2024上·重庆渝中·七年级统考期末）春节在即，公司计划安排甲、乙两个小组分别生产和包装某种礼品，已知两组共人，且甲组人数比乙组人数的2倍少4人． (1)求甲、乙两组各多少人； (2)若每个工人每天可生产个礼品或包装个礼品，为使每天生产的礼品恰好包装完，应从乙组中调配几个人到甲组？ 【答案】(1)甲、乙两组各，人 (2)从乙组中调配个人到甲组 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． （1）设乙组人，则甲组人，根据两组人数总和列方程，计算求解，然后作答即可； （2）设从乙组中调配个人到甲组，则乙组人数为，甲组人数为人，根据生产礼品和包装礼品数量相同，列方程，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：设乙组人，则甲组人， 依题意得，， 解得，， ∴， ∴甲、乙两组各，人； （2）解：设从乙组中调配个人到甲组，则乙组人数为，甲组人数为人， 依题意得，， 解得，， ∴从乙组中调配个人到甲组． 2．（2024上·河北廊坊·七年级统考期末）某校七（1）班共有学生52人，其中女生上比男生多4人，该班在社会实践课上准备用硬纸板制作茶盒子的盒身和盒底，规定：每个学生在一定时间范围内剪盒身40个或剪盒底50个． (1)该班男生、女生各有多少人． (2)该班原计划男生负责剪盒底，女生负责剪盒身，若一个盒身配2个盒底，则这节课做出的盒身和盒底配套吗？如果不配套，那么女生需要支援男生几人，才能使本节社会实践课制作的盒身和盒底刚好配套？ 【答案】(1)男生24人、女生28人 (2)不配套；女生需要支援男生人 【分析】本题考查一元一次方程的应用： （1）设男生有x人，则女生有 人，根据共有学生52人，可以列出相应的方程，从而可以得到该班分别有男生、女生各多少人； （2）设a人制作盒身，则人制作盒底，根据一个盒身配2个盒底，可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：设男生有x人，则女生有人，根据题意得： ， 解得：， ∴， 答：该班分别有男生24人、女生28人； （2）解：男生负责剪盒底有， ∴这节课做出的盒身和盒底不配套． 设a人制作盒身，则人制作盒底，根据题意得： ， 解得：， ∴女生需要支援男生人，才能使本节社会实践课制作的盒身和盒底刚好配套， 答：女生需要支援男生人，才能使本节社会实践课制作的盒身和盒底刚好配套． 3．（2023上·江苏南通·七年级校考阶段练习）某工厂需要在20天内生产1200台电子产品．已知每台电子产品由4个装置和3个装置配套组成．工厂现有80名工人，每名工人每天能生产6个装置或者3个装置． (1)该工厂安排多少名工人生产装置，剩余工人生产装置，才能使每天生产的、装置刚好配套？ (2)工厂补充40名新工人，这些新工人只能独立生产装置，且每人每天只能生产4个装置，则补充新工人后每天能配套生产多少产品？补充新工人后20天内能完成总任务吗？ 【答案】(1)安排32名工人生产装置，48名工人生产装置 (2)补充新工人后每天能配套生产64套产品，补充新工人后20天内能完成总任务 【分析】本题考查了一元一次方程的应用 （1）设安排名工人生产型装置，则安排名工人生产型装置，根据“生产的装置总数每人每天生产的数量人数”结合每台、型产品由4个型装置和3个型装置配套组成，即可得出关于的一元一次方程，解之可得出的值，即可求出结论； （2）设安排名工人生产型装置，则安排名工人及40名新工人生产型装置，同（1）可得出关于的一元一次方程，解之可得出的值，即可求出补充新工人后每天能配套生产的套数，进而可求出20天生产的总数，与1200比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设安排名工人生产型装置，则安排名工人生产型装置， 依题意，得：， 解得：， ． 答：应安排32名工人生产装置，48名工人生产装置，才能使每天生产的、装置刚好配套． （2）解：设安排名工人生产B型装置，则安排名工人及40名新工人生产型装置， 依题意，得：， 解得：， ． ， 补充新工人后20天内能完成总任务． 答：补充新工人后每天能配套生产64套产品，补充新工人后20天内能完成总任务． 4．（2023上·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期中）第届亚洲夏季运动会于年月日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事，现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为、两种包装，该工厂共有名工人． (1)若该工厂生产盲盒的人数比生产盲盒的人数的倍少人，请求出生产盲盒的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由个盲盒和个盲盒组成，已知每个工人平均每天可以生产个盲盒或个盲盒，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒，多少名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】(1)生产盲盒的工人人数为人 (2)该工厂应该安排名工人生产，名工人生产才能使每天生产的盲盒正好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （）设生产盲盒的工人人数为人，则生产盲盒的工人人数为人，根据该工厂共有名工人，列出一元一次方程，解方程即可； （）设安排人生产盲盒，则安排人生产盲盒，根据盲盒大礼包由个盲盒和个盲盒组成．列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设生产的人数为人，则生产的人数为人， 于是 解得： （人） 答：生产盲盒的工人人数为人． （2）解：设安排人生产，则安排人生产 于是 解得： （人） 答：该工厂应该安排名工人生产，名工人生产才能使每天生产的盲盒正好配套． 压轴题型二　一元一次方程解决工程问题 例题：（2024上·重庆渝北·七年级统考期末）近期流感高发，接种疫苗是阻断流感的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产．计划全体工人每天工作8小时，每人每小时生产疫苗400剂．受其它因素影响，实际参与生产的工人比原计划少10名，为了应对市场需要，实际参与生产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到每天工作10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样恰好能完成每天预定产量． (1)求该制药厂实际参加生产的工人有多少人？ (2)生产5天后，接到通知，再生产25天，加上这5天的生产量共需完成800万剂的生产任务．为保证按时完成任务，该厂决定招聘熟练工人立即到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时，每人每小时完成的工作量不变，问该车间还需要招聘多少熟练工人？ 【答案】(1)该制药厂实际参加生产的工人有人； (2)该车间还需要招聘名熟练工人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题关键． （1）设该制药厂实际参加生产的工人有人，根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设该车间还需要招聘名熟练工人，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设该制药厂实际参加生产的工人有人， 由题意得：， 解得：， 答：该制药厂实际参加生产的工人有人； （2）解：设该车间还需要招聘名熟练工人， 由题意得：， 解得：， 答：该车间还需要招聘名熟练工人 巩固训练 1．（2024上·福建漳州·七年级统考期末）漳州平和享有“中国琯溪蜜柚之乡”的美誉，平和琯溪蜜柚热销全国，今年平和琯溪蜜柚迎来大丰收，果农李叔叔对一批红、白两种蜜柚进行装箱打包，第一天完成了这批蜜柚总量的，第二天完成了剩余量的，最后还剩下60千克在第三天完成装箱． (1)求这批蜜柚有多少千克？ (2)某水果店用970元购进这批蜜柚，这两种蜜柚的进价、售价如下表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 红蜜柚 5 白蜜柚 求这家水果店销售完这批蜜柚可以获得多少利润？ 【答案】(1)这批蜜柚有400千克 (2)这家水果店销售完这批蜜柚可以获得655元利润 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）设这批蜜柚有千克，再利用三天完成的量等于总量建立方程求解即可； （2）设这批蜜柚有红蜜柚千克，则白蜜柚有千克，利用970元购进这批蜜柚，建立方程求解进价，再列式计算利润即可． 【详解】（1）解：设这批蜜柚有千克． 根据题意，得． 解这个方程，得． 答：这批蜜柚有400千克． （2）设这批蜜柚有红蜜柚千克，则白蜜柚有千克． 根据题意，得． 解这个方程，得． 所以这批蜜柚有红蜜柚150千克，白蜜柚250千克． 所以销售完这批蜜柚的利润（元）． 答：这家水果店销售完这批蜜柚可以获得655元利润． 2．（2023上·内蒙古乌兰察布·七年级校联考期末）一项工程，甲队单独完成需要20天，乙队单独完成需要40天，现甲队单独做5天后两队合作. (1)求甲、乙两队合作多少天才能完成该工程； (2)在（1）的条件下，甲队每天的施工费为2000元，乙队每天的施工费为3000元，求完成此项工程需付甲、乙两队共多少元？ 【答案】(1)10 (2)60000 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数四则混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出方程和算式，准确计算； （1）设甲、乙两队合作天才能完成该工程，将整个工程看作单位1，然后列方程，解方程即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）.解：设甲、乙两队合作天才能完成该工程， 依题意可列方程：， 解得：， 所以甲、乙两队合作10天才能完成该工程； （2）解：由（1）知甲队一共做了15天，乙队一共做了10天， 所以， 即需付甲、乙两队共60000元． 3．（2024上·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考期末）列方程解应用题：甲、乙两个工程队共同承包了一项总长度为5400米的修路工程，原计划由甲、乙两个工程队分别从两端同时开始施工，恰好9天完成整个工程，已知乙队平均每天比甲队多施工120米． (1)求甲、乙两个工程队原计划平均每天分别施工多少米？ (2)若甲、乙两个工程队共同施工6天后，因另有紧急任务，乙工程队被调离该工程，剩余部分由甲工程队单独完成．为尽量减少延误工期，甲工程队提高工作效率后继续施工，结果比原计划延迟2天完成整个工程．求甲工程队提高工作效率后平均每天施工多少米？ 【答案】(1)甲原计划每天修，乙原计划每天修 (2)甲工程队提高效率后平均每天施工 【分析】本题考查的是一元次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键． （1）设甲原计划每天修米．则乙为米．利用“原计划由甲、乙两个工程队分别从两端同时开始施工，恰好9天完成整个工程”建立一元一次方程求解即可； （2）设甲提高后速度为米/天，由各部分的工作量之和等于总工作量列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲原计划每天修米．则乙为米． , 解得：, 乙：, 答：甲原计划每天修，乙原计划每天修． （2）设甲提高后速度为米/天 解得： 答：甲工程队提高效率后平均每天施工． 4．（2024上·湖北黄冈·七年级统考期末）列方程解应用题： 今年暑假期间，黄冈市某校区对校园进行了整改，整个校园面貌焕然一新． (1)7月份甲工程队先接到了铺设地砖的施工任务，铺设了后，为了赶工期，提高了铺设速度，又施工4天后，完成全部任务，求甲工程队提速后每天铺设地砖多少？ (2)8月份增加乙工程队与甲工程队同时施工．若甲工程队按（1）中提速后的施工速度进行施工，则两队需要13天完工．为了不影响正常开学，实际施工时，甲工程队的施工速度提高了，乙工程队的施工速度提高了，结果11天完工，求乙工程队原计划每天铺设地砖多少？ 【答案】(1)甲工程队提速后每天铺设地砖； (2)乙工程队原计划每天铺设地砖 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． （1）用剩余的工作量除以4即可求出甲工程队提速后的工作效率； （2）设乙工程队原计划每天铺设地砖，根据计划和实际所干的工作量相等列方程求解即可． 【详解】（1）根据题意得：（/天）， 答：甲工程队提速后每天铺设地砖； （2）设乙工程队原计划每天铺设地砖， 根据题意的： 解得：， 答：乙工程队原计划每天铺设地砖． 5．（2024上·福建宁德·七年级统考期末）为建设文明城市，某社区计划将社区内一条东西走向的水泥道路铺设成柏油路，俗称“白改黑”．甲工程队负责这条道路的铺设，他们从西头开始铺，计划6天内完成．第一天铺了全长的，第二天铺的比第一天的2倍少60米，此村还剩下全长的没铺． (1)若用线段图1表示前两天进度情况，请将线段图上的信息补充完整，写出图中所表示的实际意义，并求出它的值；    (2)为按时完成铺路任务，从第三天开始，甲工程队加快速度，同时乙工程队加入铺路，从东头开始铺．两队的进展情况如线段图2所示，请根据线段图提出一个问题并进行解答．    【答案】(1)x表示道路的全长， (2)①加速后，甲工程队每天铺多少米？ 【分析】本题考查一元一次方程实际应用． （1）根据题意用含表示式，再列方程即可求得； （2）根据题意提出问题（不唯一），计算总长后再列式即可． 【详解】（1）解： ∵第一天铺了全长的，第二天铺的比第一天的2倍少60米， ∴第二天铺：，整理得：，即：①：， ∴x表示道路的全长， ∴根据题意列式：， ， ， 解得：； （2）解：提出的问题：①加速后，甲工程队每天铺多少米？ （米）， ， ， ， ， 答：加速后甲工程队每天铺93米． 压轴题型三　一元一次方程解决销售问题 例题：（2024上·陕西西安·七年级统考期末）某商场分别购进了甲、乙两种品牌的净水机40台和20台，已知甲品牌净水机的进价比乙品牌净水机的进价便宜10％，甲品牌净水机的标价是1100元／台，乙品牌净水机的标价是1500元／台.“元旦”期间商场促销，乙品牌净水机按标价的八折销售，甲品牌净水机按原价销售. (1)某公司在“元旦”期间花了9100元共买了8台甲、乙两种品牌的净水机.问该公司购买甲、乙两种品牌的净水机各多少台？ (2)若商场在“元旦”期间将甲、乙两种品牌的净水机全部销售完，其中甲品牌净水机的全部利润是乙品牌净水机全部利润的2倍.问甲、乙两种品牌净水机的进价各是多少元／台？ 【答案】(1)该公司购买了甲品牌的净水机5台，乙品牌的净水机3台. (2)甲品牌的净水机进价为900元/台，乙品牌的净水机进价为1000元/台 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； （1）设该公司购买甲品牌的净水机台，则购买乙品牌的净水机台，根据总价=单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设乙品牌净水机的进价是元/台，则甲品牌净水机的进价是元/台，根据总利润=单台利润×销售数量结合甲型净水机利润是乙型净水机利润的2倍，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）设该公司购买甲品牌的净水机台，则购买乙品牌的净水机台. 依据题意，得， 解得， ， 答：该公司购买了甲品牌的净水机5台，乙品牌的净水机3台； （2）设乙品牌净水机的进价是元/台，则甲品牌净水机的进价是元/台， 根据题意，得， 解得， ， 答：甲品牌的净水机进价为900元/台，乙品牌的净水机进价为1000元/台． 巩固训练 1．（2024上·陕西汉中·七年级统考期末）某特产专卖店购进了、两个品种的核桃，其中品种的进价比品种的进价每千克贵5元，购进5千克品种核桃与购进6千克品种核桃的进价相同． (1)求、两个品种核桃的进价分别是多少元/千克? (2)该特产专卖店购进了、两个品种的核桃共100千克，花了2725元．出售时，品种核桃按标价出售每千克的利润率为，品种核桃按标价出售每千克可获利15元．若按标价出售、两个品种的核桃，则全部售完特产专卖店共可获利多少元? 【答案】(1)品种核桃的进价30元/千克，则品种核桃的进价是25元/千克 (2)元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用； （1）设品种核桃的进价元/千克，则品种核桃的进价是元/千克．根据购进5千克品种核桃与购进6千克品种核桃的进价相同列出方程求解即可； （2）设购进品种核桃千克，则购进品种核桃千克．根据一共花费花了2725元列出方程求出A、B两种核桃的重量，再根据利润每千克利润重量进行求解即可。 【详解】（1）解：设品种核桃的进价元/千克，则品种核桃的进价是元/千克． 根据题意，得， 解得， ∴（元）． 答：品种核桃的进价30元/千克，则品种核桃的进价是25元/千克． （2）解：设购进品种核桃千克，则购进品种核桃千克． 根据题意，得， 解得， ∴（千克）． ∴全部售完共可获利（元）． 2．（2024上·湖南岳阳·七年级统考期末）某超市用6800元购进甲、乙两种商品共120件，这两种商品的进价，标价如右表： 价格\类型 甲种 乙种 进价（元/件） 30 70 标价（元/件） 50 100 (1)这两种商品各购进多少件？ (2)若甲种商品按标价的80%出售，乙种商品按标价下降a元出售，那么这批商品全部售出后，超市共获利2000元，求a的值． 【答案】(1)购进甲乙两种商品各40件，80件 (2)10 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用． （1）设购进甲种商品件，根据某超市用6800元购进甲、乙两种商品共120件，列出方程求解即可； （2）根据甲的利润加上乙的利润等于2000元，列出方程进行求解即可． 读懂题意，找准等量关系，列出方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：设购进甲种商品件，则购进甲乙种商品件 列方程得 解得 所以 答：购进甲乙两种商品各40件，80件； （2）由题意得： 解得： 答：的值为10． 3．（2024上·陕西渭南·七年级统考期末）小王看到两个商场的促销信息如图所示． (1)当标价总额是多少元时，在甲、乙商场购物实际付款一样多？ (2)小王两次到乙商场分别购买标价98元和150元的商品，如果他想只去一次该商场购买这些商品，你能帮他计算可以节省多少元吗？ 【答案】(1)240元 (2)18.1元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）由图中的信息可知，只有当购物标价总额超过200元时，两家超市才可能付款总金额相等，设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样，由题意易得，然后求解即可； （2）由题意可得，小王两次到乙超市分别购物标价98元和150元时，然后问题可求解 【详解】（1）解：由图中的信息可知，只有当购物标价总额超过200元时，两家超市才可能付款总金额相等，设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样， 由题意可得：， 解得， 答：当标价总额是240时，甲、乙超市实付款一样； （2）解：由题意可得，小王两次到乙超市分别购物标价98元和150元时， 需要付款：（元）， 小王一次性到乙超市购物标价元的商品， 需要付款：（元）， （元）， 答：可以节省18.1元． 4．（2024上·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）列一元一次方程解决实际问题：银欧海鲜店在去年12月份购进了60千克罗氏虾和50千克生蚝两种海鲜，共花费5150元，其中每千克罗氏虾的进价比每千克生蚝的进价高40元． (1)每千克罗氏虾和生蚝的进价分别多少元？ (2)银欧海鲜店把每千克罗氏虾在进价的基础上提高标价，按标价销售了一部分罗氏虾后，为了吸引更多的顾客，把剩余的罗氏虾每千克降价6元进行销售；每千克生蚝在进价的基础上提高进行销售．海鲜店把所有购进的罗氏虾和生蚝全部销售完后获得的总利润率为，求罗氏虾按标价销售了多少千克？ 【答案】(1)每千克罗氏虾的进价为65元，每千克生蚝的进价为25元 (2)33千克 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）设每千克罗氏虾的进价为元，则每千克生蚝的进价为元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）先求出罗氏虾每千克利润，生蚝每千克，设罗氏虾按标价销售了千克，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设每千克罗氏虾的进价为元，则每千克生蚝的进价为元，由题得： ， 解得：， ， 答：每千克罗氏虾的进价为65元，每千克生蚝的进价为25元． （2）解：罗氏虾每千克利润分别为： 元，元， 生蚝每千克利润：元 设罗氏虾按标价销售了千克，由题得： 解得：， 答：罗氏虾按标价销售了33千克． 压轴题型四　一元一次方程解决积分问题 例题：（2023上·江西新余·七年级统考期末）12月4日为全国法制宣传日，当天某初中组织4名学生参加法制知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了其中2名参赛学生的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 17 3 79 (1)从表中可以看出，答对一题得______分，答错一题得______分； (2)参赛学生得了58分，他答对了几道题？答错了几道题？ 【答案】(1)； (2)参赛学生答对了14道题，答错了6道题 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用； （1）根据表格中参赛者A的成绩和参赛者B的成绩即可求出每答对一道题得分和每答错一道题扣分； （2）设参赛学生答对了x道题，则答错了道题，根据题意列一元一次方程即可求出结论. 【详解】（1）解：由表格中参赛者A的成绩可知：每答对一道题得分， 由表格中参赛者B的成绩可知：每答错一道题扣分， 故答案为：，． （2）设参赛学生答对了x道题，则答错了道题， 根据题意：， 解得：， 答错了：道， 答：参赛学生答对了14道题，答错了6道题． 巩固训练 1．（2024上·福建福州·七年级统考期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道题选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 根据以上信息，请你算出： (1)填空：答对一题得______分，答错一题扣______分； (2)参赛者F得76分，他答对了几题？ (3)参赛者G说他得了36分，你认为可能吗？试说明理由． 【答案】(1)5，1； (2)他答对了16题； (3)不可能，理由见解析． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意读懂积分的计算方式并列出方程是解题的关键． （1）根据参赛者A的分数可得答对一题得5分，再根据参赛者B的分数方程求解即可； （2）设参赛者F答对了x题，根据（1）的结论列方程求解即可； （3）利用（2）的方法，求出他答对的题数，看是否为整数即可得解． 【详解】（1）解：根据参赛者A的分数可得答对一题的得分是：100÷20=5， 设答错一题扣a分，则：， 解得：， 故答案为：5，1； （2）由（1）可知答对一题得5分，答错一题扣1分，设参赛者F答对了x题，依题意可得 ，解得， 答：他答对了16题． （3）不可能，理由如下： 设参赛者G答对了y题，则， 解得， ∵不是整数， ∴参赛者G不可能得36分 2．（2023上·山西太原·七年级统考期末）阳光体育季，赛场展风采．七年级组织迎新拔河比赛，每班代表队都需比赛10场，如图是此次拔河比赛积分榜的部分信息，请解决下列问题： (1)由积分榜可知，胜一场得__________分，负一场得__________分； (2)已知积分榜中4班的积分是24分，求4班胜了几场比赛． 【答案】(1)3，1 (2)4班胜了7场比赛 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用： （1）先由6班的胜和负场情况，得出负一场得1分，接着由5班的胜和负场情况，胜一场得3分，即可作答． （2）设4班胜了场比赛，根据场数10，积分24分，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，负一场得分：（分）； 胜一场得分：（分）； 故答案为：3，1； （2）解：设4班胜了场比赛，则负了场比赛， 解得 答：4班胜了7场比赛 压轴题型五　一元一次方程解决方案问题 例题：（2024上·湖南邵阳·七年级统考期末）为准备春节文艺汇演，甲、乙两所学校共92名学生（其中甲校学生多于乙校学生，且甲校学生不够90名）准备统一购买服装参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46至90套 由91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元． (1)甲、乙两校各有多少名学生准备参加演出？ (2)如果两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ (3)如果甲校有6名学生被调去参加书法比赛不能参加演出，请你为两校设计购买服装方案，并说明哪一种最省钱． 【答案】(1)甲校有52名学生参加演出，乙校有40名学生参加演出 (2)可以节省1320元钱 (3)两所学校购买91套服装最省钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用: （1）设甲校有x名学生参加演出，则乙校有名学生参加演出，根据总价=单价×数量结合他们一共应付5000元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）用套服装所需费用，即可求出结论； （3）分别求出购买服装、一起购买及购买91套服装所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲校有x名学生参加演出，则乙校有名学生参加演出， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：甲校有52名学生参加演出，乙校有40名学生参加演出． （2）解： （元）． 答：如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省1320元钱． （3）解：有三种购买方案： ①如果买套， 则花费为：（元）； ②如果买91套，则花费：（元）； ③各自买服装需要（元）； ∵， ∴买91套服装最省钱； ∴甲、乙两校应该联合起来按单价40元一次购买91套服装最省钱． 巩固训练 1．（2024上·浙江宁波·七年级统考期末）一家电信公司推出两种移动电话计费方法：计费方法A是每月收月租费58元，通话时间不超过150分钟的部分免费，超过150分的按每分钟0.25元加收通话费；计费方式B是每月收月租费88元，通话时间不超过350分钟的部分免费，超过350分的按每分钟0.20元收通话费． (1)若朵朵爸爸采用计费方法A一个月累计通话362分钟，求朵朵爸爸这个月所需的移动电话费用是多少？ (2)在（1）条件下所需的费用，若朵朵爸爸改用计费方法B，则比计费方法A多通话多少分钟？ 【答案】(1)111元 (2)103分钟 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，首先读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系是解题的关键． （1）根据提议，按照计费方法A的方式计算即可． （2）设按计费方法B可通话x分钟，根据两种方式话费相同列方程，求出x的值，再计算它们的差即可． 【详解】（1）根据题意，采用计费方法一个月累计通话362分钟，所需的移动电话费用是 （元）； （2）设按计费方法B可通话x分钟，则： ， 解得 ， （分钟）， ∴若朵朵爸爸改用计费方法B，则比计费方法A多通话103分钟． 2．（2024上·宁夏吴忠·七年级统考期末）“书籍是人类进步的阶梯”，自开展全区读书宣传活动以来，某图书出租店为此开设两种租书方式．方式一：零星租书，每本收费元；方式二：会员卡租书，会员每月交会员费6元，租书费每本元．小李同学经常来该店为自己和本班同学租书，若小李同学每月租书数量为x本． (1)分别写出两种租书方式下，小李同学每月应付的租书金额（用含x的式子表示）； (2)若小李同学在一月内为班级租20本书，试问选用哪种租书方式合算？ (3)小李同学每月如何根据租书需求灵活选择省钱的租书方式？请通过计算验证你的看法． 【答案】(1)方式一：元；方式二：元 (2)选用方式二合算 (3)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用， （1）根据题意列出代数式即可，方式一是元，方式二是元； （2）把代入两种方式下的代数式求值比大小即可； （3）先计算出两种租书方式收费一样多的租书数量x，然后分“租书数量，租书数量，租书数量”三种情况制定方案即可． 【详解】（1）解：方式一：元；方式二：元 （2）方式一：元， 方式二：元， ∴选用方式二合算． （3）解：令， 解得：， ∴当每月租书15本时，方式一和方式二都一样，当每月租书大于15本时选择方式二，当每月租书小于15本时选择方式一． 3．（2024上·甘肃酒泉·七年级统考期末）合肥庐阳区实验学校七（6）班为迎接学校秋季运动会计划购买30支签字笔，若干本笔记本（笔记本数量超过签字笔数量），用来奖励运动会中表现出色的运动员和志愿者，甲、乙两家文具店的标价都是签字笔8元/支、笔记本2元/本，甲店的优惠方式是签字笔打九折，笔记本打八折；乙店的优惠方式是每买5支签字笔送1本笔记本，签字笔不打折，购买的笔记本打七五折． (1)请用含x的代数式分别表示学校在甲、乙两家店购物所付的费用； (2)如果购买笔记本数量为60本，并且只在一家店购买的话，请通过计算说明，到哪家店购买更合算？ (3)若都在同一家店购买签字笔和笔记本，试问购买笔记本数量是多少时，两家店的费用一样？ 【答案】(1)； (2)到甲店购买更合算，见解析 (3)购买150本笔记本时，两家店的费用一样 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）求出分别需要的费用，比较大小即可得到答案； （3）设购买x本笔记本，根据题意列出方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ． （2）解：到甲店购买所需费用为（元）， 到乙店购买所需费用为（元）， ， 到甲店购买更合算； （3）解：（本）． 设购买x本笔记本时，两家店的费用一样， 依题意，得：， 解得：． 答：购买本笔记本时，两家店的费用一样． 压轴题型六　一元一次方程解决电费和水费问题 例题：（2023上·广东深圳·七年级红岭中学校联考期末）为节约用水，某市规定四口之家每月标准用水量为15立方米，超过部分加价收费，假设不超过部分水费为元/立方米，超过部分水费为3元/立方米． (1)如果小明家6月份用水20立方米，则应缴水费多少元？ (2)如果小明家某月的用水为m 立方米，那么这个月应缴水费多少元？（用含m 的代数式表示） (3)如果小明家某月的应缴水费元，，那么这个月用水为多少立方米？ 【答案】(1)元． (2)元； (3)25立方米． 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际运用，根据实际情况分段讨论，掌握一元一次方程的分段讨论是解题的关键． （1）根据题干中的计费方法列式求解即可； （2）用水为m立方米，一部分是标准用水量与单价的乘积，另一部分是超出的水量与超出的单价的乘积，最后两部求和，即可求出答案； （3）根据（2）中的代数式，把用水量代入列出方程，即可求出答案． 【详解】（1）（元）． 答：这个月应缴水费元． （2）这个月应缴水费为元； （3）∵， ∴ ∴            解得 答：这个月用水25立方米． 巩固训练 1．（2023上·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格如表： 每月用水量 单价（元/立方米） 不超过22立方米的部分 超过22立方米的部分 (1)某用户4月份用水10立方米，共交费24元，求的值； (2)在（1）的前提下，该用户5月份交水费78元，请问该用户5月份用水多少立方米？ 【答案】(1) (2)该用户5月份用水29立方米 【分析】本题主要考查一次方程的应用，读懂题意，找准等量关系是解题的关键． （1）由题意得到即可得到答案； （2）首先由计算得到5月份用水超过立方米，列方程计算即可． 【详解】（1）解： 解得：； （2）解：设该用户5月份用水立方米． 解得． 2．（2023上·河南商丘·七年级校联考阶段练习）某公司推出两种流量计费业务（语音版均不含赠送流量）：若张明一个月使用流量MB，则： 项目                  计费方式 月使用费（元） 流量计费（元/MB） 甲种 0 乙种 18 (1)按照甲种计费方式，共需______元；按照乙种计费方式，共需______元（均用含的式子表示）． (2)当两种计费方式相等时，求． (3)当每月使用流量超过400MB时，选择______（填“甲”或“乙”）种计费方式更省钱． 【答案】(1)；； (2) (3)乙 【分析】此题主要考查了最优化问题的应用，解答此题的关键是求出不同的计费方式下花费分别是多少． （1）根据两种方式的收费标准分别进行计算即可； （2）根据两种方式的收费标准相等，列出方程计算即可； （3）根据（2）可知：当时，，即甲种计费方式多，乙种计费方式省钱；当时，，即乙种计费方式多，甲种计费方式省钱，进而可得出答案． 【详解】（1）解：按照甲种计费方式，共需；按照乙种计费方式，共需元； 故答案为：；； （2）解：根据题意得出：， 解得：； （3）解：根据（2）可知： 当时，，即甲种计费方式多，乙种计费方式省钱； 当时，，即乙种计费方式多，甲种计费方式省钱； 当每月使用流量超过400MB时，选择乙种计费方式省钱， 故答案为：乙． 3．（2023上·湖南娄底·七年级统考阶段练习）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元. (1)表中的值为________； (2)求老李家9月份的用电量； (3)若8月份老李家用电的平均电价为元/度，求老李家8月份的用电量. 【答案】(1) (2)300 (3)800 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解分档用电量的计算是解题的关键． （1）利用电费=电价×月用电量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值． （2）设老李家9月份的用电量为x度，先求出月用电量为240度时的电费，由该值小于183，可得出，再利用电费超过240度的部分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． （3）设老李家8月份的用电量为y度，根据8月份老李家用电的平均电价为元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）依题意得：， 解得：． 故答案为：． （2）设老李家9月份的用电量为x度， ∵（元），， ∴． 依题意得：， 解得：． 答：老李家9月份的用电量为300度． （3）．∵三个档次的平均价格为（元），8月份老李家用电的平均电价为元/度， ∴老李家8月份用电量一定超过400度， 设老李家8月份的用电量为y度， 依题意得：， 解得：． 答：老李家8月份的用电量为800度． 4．（2023上·浙江宁波·七年级校考阶段练习）某市居民生活用电峰谷电价如下表： 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰电价（元/千瓦时） 低谷用电电量（千瓦时） 低谷电价（元/千瓦时） 100及以下部分 超过100的部分 （注：用电总量＝高峰用电量＋低谷用电量） (1)小明家3月份用电量中，高峰用电量为50千瓦时，低谷用电量为30千瓦时，这个月他家需付电费多少元？ (2)小明家5月份用电量中，高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为a千瓦时（），请用含字母a的整式表示他家6月份需付的电费． (3)如果小明家9月用电总量为350千瓦时，需付电费156元，那么这个月小明家高峰用电量和低谷用电量分别用了多少千瓦时？ 【答案】(1)他家需付电费元； (2)他家6月份需付的电费为元； (3)这个月小明家低谷用电量为150千瓦时，高峰用电量200千瓦时． 【分析】本题主要考查列代数式、一元一次方程的应用． （1）根据“总电费=高峰用电量的费用+低谷用电量的费用”求解即可； （2）根据分段付费的方法进行计算电费即可； （3）首先判断低谷用电量超过100千瓦时，然后再根据分段付费列方程求解即可． 【详解】（1）解：（元） 答：他家需付电费元； （2）解：由于，需付的电费： ； 答：他家6月份需付的电费为元； （3）解：当低谷用电量为100千瓦时，需付电费为： 元>156元 当总用电量一定时，低谷用电量越多，电费越小， 因此，低谷用电量超过100千瓦时， 设低谷用电量为千瓦时，则高峰用电量为千瓦时，可列方程为： 解得 所以这个月小明家低谷用电量为150千瓦时，高峰用电量200千瓦时． 压轴题型七　一元一次方程解决数轴上的动点问题 例题：（2024上·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，点A，B在数轴上表示的数分别为与4 ，若数轴上A，B两点之间存在点 C，使得 ．    (1)点C所表示的数为________． (2)动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，当时，求t的值． 【答案】(1)2 (2)或． 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，熟练的利用方程解题是关键． （1）先求解，，，再结合C的位置可得答案； （2）先表示运动中对应的数为，对应的数为，再利用建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A，B在数轴上表示的数分别为与4 ， ∴， ∵数轴上A，B两点之间存在点 C，使得 ． ∴，， ∴点C所表示的数为2； （2）∵运动中对应的数为，对应的数为， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得：或． 巩固训练 1．（2023上·陕西西安·七年级统考期末）如图，A，B是数轴上的两个点（B在A的右侧），点为原点，点A表示的数为，且． (1)若点C为数轴上一动点，当时，求点C表示的数． (2)动点P，Q分别从点B和点A同时出发向左匀速运动，点P，Q的速度分别为每秒3个单位长度和每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，点M为P，Q的中点，试探究点P，Q运动过程中，且点M在原点右边时，的值是否会发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由． 【答案】(1)或 (2)的值不会发生变化，为定值12，理由见解析 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，一元一次方程的应用： （1）设点C表示的数为x，先求出，进而得到，再分当点C在点A左侧时，当点C在A、B之间时，当点C在点B右侧时，三种情况根据数轴上两点距离计算公式建立方程求解即可； （2）由题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为，则点M表示的数为，由点M在原点右边，得到，则，，可得，据此可得结论. 【详解】（1）解：设点C表示的数为x， ∵点A表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点B表示的数为； 当点C在点A左侧时，∵， ∴， 解得； 当点C在A、B之间时，则，不符合题意； 当点C在点B右侧时，∵， ∴， 解得； 综上所述，或， ∴点C表示的数为或； （2）解：的值不会发生变化，为定值12，理由如下： 由题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点M为P，Q的中点， ∴点M表示的数为， ∵点M在原点右边， ∴，即， ∴，， ∴， ∴的值不会发生变化，为定值12． 2．（2024上·安徽芜湖·七年级统考期末）【新知理解】 如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）． （2）若，点C是线段的“巧点”，则______； 【解决问题】 （3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为ts．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并说明理由．    【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）t为或或，理由见详解 【分析】（1）由“巧点”的定义进行判断即可求解； （2）由“巧点”的定义，按的位置进行分类讨论①，② ，③，即可求解； （3）①当是、的“巧点”，(ⅰ) 由“巧点”的定义得，列方程即可求解； (ⅱ) 由“巧点”的定义得， ②当是、的“巧点”，(ⅰ) 由“巧点”的定义得， (ⅱ) 由“巧点”的定义得，即可求解． 【详解】（1）解：C是线段的中点， ， C是线段的“巧点”； 故答案：是； （2）解：①如图，点C是线段的“巧点”，    ， ； ②如图，点C是线段的“巧点”，    ， ； ③如图，点C是线段的“巧点”，    ， ； 故答案：或或； （3）解：t为或或，理由如下： ①当是、的“巧点”， (ⅰ)如图，    ， ，， ， ， 解得：， (ⅱ)如图，    ， ，， ， ， 解得：； ②当是、的“巧点”， (ⅰ)如图，    ， ，， ， ， ， ， 解得：； (ⅱ)如图，    ， 同理可得： ， 解得：； 此种情况不合题意，舍去； 综上所示：当t为或或时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”． 【点睛】本题考查了新定义，线段的和差，一元一次方程的应用，理解新定义，将为题转化为一元一次方程进行求解是解题关键． 3．（2024上·浙江·七年级专题练习）已知A，B两点在数轴上对应的有理数分别为a，b，且a，b满足：．    (1)则___________，___________； (2)定义：若点M为数轴上A，B两点之间一点，且到A，B两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离的2倍，则称M为A，B两点的“友好点”． ①求A，B两点的“友好点”M在数轴上对应的有理数； ②点P以每秒4个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿数轴向右运动，当点P、Q相遇则停止运动．设运动时间为t秒，若整个运动过程中，B，P，Q三点中有一点是另两点的“友好点”，求t值． 【答案】(1)，12； (2)①6或0；②3或4或或． 【分析】（1）根据绝对值及偶次方的非负性解答即可； （2）①设数轴上点M表示的数为x，由题意得或，根据数轴上两点之间的距离公式列出关于x的方程解答； ②由题意得点P表示的数为，点Q表示的数为，根据当P、Q相遇时求出t的取值范围，再分两种情况：当点B是P、Q的“友好点”时，有，或；当点P是B、Q的“友好点”时，有或，根据数轴上两点之间的距离公式列出关于x的方程解答． 【详解】（1）∵，且， ∴， ∴ ∴， 故答案为：，12． （2）①设数轴上点M表示的数为x， 由题意得或， ∴或， 解得或， ∴数轴上点M对应的有理数是6或0； ②由题意得点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴当P、Q相遇时，， 解得， ∴， 当点B是P、Q的“友好点”时，有（如图1），或（如图2）    或， 解得或， 此时，P表示的数为6或10，均在B的左侧，符合题意； 当点P是B、Q的“友好点”时，有（如图3）或（如图4），    ∴或， 解得或， 综上，当B，P，Q三点中有一点是另两点的“友好点”时，t的值为3或4或或． 【点睛】本题考查了新定义，数轴的应用，一元一次方程的应用，绝对值及偶次方的非负性等知识，分类讨论是解题关键． 4．（2024上·湖北襄阳·七年级统考期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动． 设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______；点Q表示的数为______． (2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)求当t为何值时，； (4)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①10，2；② (2)相遇点表示的数为1 (3)当或2.5， (4)5 【分析】本题考查一元一次方程的应用、数轴、两点间的距离、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用方程和数形结合的思想解答． （1）①根据点表示的数为，点表示的数为7，即可得到、两点间的距离以及线段的中点表示的数；②依据点，的运动速度以及方向，即可得到结论； （2）根据当、两点相遇时，、表示的数相等，可以得到关于的方程，然后求出的值，本题得以解决； （3）根据，可以求得相应的的值； （4）根据题意可以表示出点和点，从而可以解答本题． 【详解】（1）①A、B两点间的距离，线段的中点表示的数为； ②用含t的代数式表示：秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 故答案为：①10，2；②； （2）当、两点相遇时，、表示的数相等， ， 解得：， 当时，、相遇， 此时，， 相遇点表示的数为1； （3）秒后，点表示的数，点表示的数为， ， 又， ， 解得：或2.5， 当或2.5时，； （4）点在运动过程中，线段的长度不发生变化， 理由如下：点表示的数为：， 点表示的数为：， ， 点在运动过程中，线段的长度不发生变化，长为5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 一元一次方程的应用压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　一元一次方程解决配套问题 1 压轴题型二　一元一次方程解决工程问题 5 压轴题型三　一元一次方程解决销售问题 10 压轴题型四　一元一次方程解决积分问题 15 压轴题型五　一元一次方程解决方案问题 18 压轴题型六　一元一次方程解决电费和水费问题 22 压轴题型七　一元一次方程解决数轴上的动点问题 27 02 压轴题型 压轴题型一　一元一次方程解决配套问题 例题：（2024上·广东肇庆·七年级统考期末）广东鸿图科技股份有限公司某车间名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉个或螺母个，一个螺钉要配三个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？ 巩固训练 1．（2024上·重庆渝中·七年级统考期末）春节在即，公司计划安排甲、乙两个小组分别生产和包装某种礼品，已知两组共人，且甲组人数比乙组人数的2倍少4人． (1)求甲、乙两组各多少人； (2)若每个工人每天可生产个礼品或包装个礼品，为使每天生产的礼品恰好包装完，应从乙组中调配几个人到甲组？ 2．（2024上·河北廊坊·七年级统考期末）某校七（1）班共有学生52人，其中女生上比男生多4人，该班在社会实践课上准备用硬纸板制作茶盒子的盒身和盒底，规定：每个学生在一定时间范围内剪盒身40个或剪盒底50个． (1)该班男生、女生各有多少人． (2)该班原计划男生负责剪盒底，女生负责剪盒身，若一个盒身配2个盒底，则这节课做出的盒身和盒底配套吗？如果不配套，那么女生需要支援男生几人，才能使本节社会实践课制作的盒身和盒底刚好配套？ 3．（2023上·江苏南通·七年级校考阶段练习）某工厂需要在20天内生产1200台电子产品．已知每台电子产品由4个装置和3个装置配套组成．工厂现有80名工人，每名工人每天能生产6个装置或者3个装置． (1)该工厂安排多少名工人生产装置，剩余工人生产装置，才能使每天生产的、装置刚好配套？ (2)工厂补充40名新工人，这些新工人只能独立生产装置，且每人每天只能生产4个装置，则补充新工人后每天能配套生产多少产品？补充新工人后20天内能完成总任务吗？ 4．（2023上·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期中）第届亚洲夏季运动会于年月日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事，现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为、两种包装，该工厂共有名工人． (1)若该工厂生产盲盒的人数比生产盲盒的人数的倍少人，请求出生产盲盒的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由个盲盒和个盲盒组成，已知每个工人平均每天可以生产个盲盒或个盲盒，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒，多少名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套？ 压轴题型二　一元一次方程解决工程问题 例题：（2024上·重庆渝北·七年级统考期末）近期流感高发，接种疫苗是阻断流感的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产．计划全体工人每天工作8小时，每人每小时生产疫苗400剂．受其它因素影响，实际参与生产的工人比原计划少10名，为了应对市场需要，实际参与生产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到每天工作10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样恰好能完成每天预定产量． (1)求该制药厂实际参加生产的工人有多少人？ (2)生产5天后，接到通知，再生产25天，加上这5天的生产量共需完成800万剂的生产任务．为保证按时完成任务，该厂决定招聘熟练工人立即到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时，每人每小时完成的工作量不变，问该车间还需要招聘多少熟练工人？ 巩固训练 1．（2024上·福建漳州·七年级统考期末）漳州平和享有“中国琯溪蜜柚之乡”的美誉，平和琯溪蜜柚热销全国，今年平和琯溪蜜柚迎来大丰收，果农李叔叔对一批红、白两种蜜柚进行装箱打包，第一天完成了这批蜜柚总量的，第二天完成了剩余量的，最后还剩下60千克在第三天完成装箱． (1)求这批蜜柚有多少千克？ (2)某水果店用970元购进这批蜜柚，这两种蜜柚的进价、售价如下表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 红蜜柚 5 白蜜柚 求这家水果店销售完这批蜜柚可以获得多少利润？ 2．（2023上·内蒙古乌兰察布·七年级校联考期末）一项工程，甲队单独完成需要20天，乙队单独完成需要40天，现甲队单独做5天后两队合作. (1)求甲、乙两队合作多少天才能完成该工程； (2)在（1）的条件下，甲队每天的施工费为2000元，乙队每天的施工费为3000元，求完成此项工程需付甲、乙两队共多少元？ 3．（2024上·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考期末）列方程解应用题：甲、乙两个工程队共同承包了一项总长度为5400米的修路工程，原计划由甲、乙两个工程队分别从两端同时开始施工，恰好9天完成整个工程，已知乙队平均每天比甲队多施工120米． (1)求甲、乙两个工程队原计划平均每天分别施工多少米？ (2)若甲、乙两个工程队共同施工6天后，因另有紧急任务，乙工程队被调离该工程，剩余部分由甲工程队单独完成．为尽量减少延误工期，甲工程队提高工作效率后继续施工，结果比原计划延迟2天完成整个工程．求甲工程队提高工作效率后平均每天施工多少米？ 4．（2024上·湖北黄冈·七年级统考期末）列方程解应用题： 今年暑假期间，黄冈市某校区对校园进行了整改，整个校园面貌焕然一新． (1)7月份甲工程队先接到了铺设地砖的施工任务，铺设了后，为了赶工期，提高了铺设速度，又施工4天后，完成全部任务，求甲工程队提速后每天铺设地砖多少？ (2)8月份增加乙工程队与甲工程队同时施工．若甲工程队按（1）中提速后的施工速度进行施工，则两队需要13天完工．为了不影响正常开学，实际施工时，甲工程队的施工速度提高了，乙工程队的施工速度提高了，结果11天完工，求乙工程队原计划每天铺设地砖多少？ 5．（2024上·福建宁德·七年级统考期末）为建设文明城市，某社区计划将社区内一条东西走向的水泥道路铺设成柏油路，俗称“白改黑”．甲工程队负责这条道路的铺设，他们从西头开始铺，计划6天内完成．第一天铺了全长的，第二天铺的比第一天的2倍少60米，此村还剩下全长的没铺． (1)若用线段图1表示前两天进度情况，请将线段图上的信息补充完整，写出图中所表示的实际意义，并求出它的值；    (2)为按时完成铺路任务，从第三天开始，甲工程队加快速度，同时乙工程队加入铺路，从东头开始铺．两队的进展情况如线段图2所示，请根据线段图提出一个问题并进行解答．    压轴题型三　一元一次方程解决销售问题 例题：（2024上·陕西西安·七年级统考期末）某商场分别购进了甲、乙两种品牌的净水机40台和20台，已知甲品牌净水机的进价比乙品牌净水机的进价便宜10％，甲品牌净水机的标价是1100元／台，乙品牌净水机的标价是1500元／台.“元旦”期间商场促销，乙品牌净水机按标价的八折销售，甲品牌净水机按原价销售. (1)某公司在“元旦”期间花了9100元共买了8台甲、乙两种品牌的净水机.问该公司购买甲、乙两种品牌的净水机各多少台？ (2)若商场在“元旦”期间将甲、乙两种品牌的净水机全部销售完，其中甲品牌净水机的全部利润是乙品牌净水机全部利润的2倍.问甲、乙两种品牌净水机的进价各是多少元／台？ 巩固训练 1．（2024上·陕西汉中·七年级统考期末）某特产专卖店购进了、两个品种的核桃，其中品种的进价比品种的进价每千克贵5元，购进5千克品种核桃与购进6千克品种核桃的进价相同． (1)求、两个品种核桃的进价分别是多少元/千克? (2)该特产专卖店购进了、两个品种的核桃共100千克，花了2725元．出售时，品种核桃按标价出售每千克的利润率为，品种核桃按标价出售每千克可获利15元．若按标价出售、两个品种的核桃，则全部售完特产专卖店共可获利多少元? 2．（2024上·湖南岳阳·七年级统考期末）某超市用6800元购进甲、乙两种商品共120件，这两种商品的进价，标价如右表： 价格\类型 甲种 乙种 进价（元/件） 30 70 标价（元/件） 50 100 (1)这两种商品各购进多少件？ (2)若甲种商品按标价的80%出售，乙种商品按标价下降a元出售，那么这批商品全部售出后，超市共获利2000元，求a的值． 3．（2024上·陕西渭南·七年级统考期末）小王看到两个商场的促销信息如图所示． (1)当标价总额是多少元时，在甲、乙商场购物实际付款一样多？ (2)小王两次到乙商场分别购买标价98元和150元的商品，如果他想只去一次该商场购买这些商品，你能帮他计算可以节省多少元吗？ 4．（2024上·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）列一元一次方程解决实际问题：银欧海鲜店在去年12月份购进了60千克罗氏虾和50千克生蚝两种海鲜，共花费5150元，其中每千克罗氏虾的进价比每千克生蚝的进价高40元． (1)每千克罗氏虾和生蚝的进价分别多少元？ (2)银欧海鲜店把每千克罗氏虾在进价的基础上提高标价，按标价销售了一部分罗氏虾后，为了吸引更多的顾客，把剩余的罗氏虾每千克降价6元进行销售；每千克生蚝在进价的基础上提高进行销售．海鲜店把所有购进的罗氏虾和生蚝全部销售完后获得的总利润率为，求罗氏虾按标价销售了多少千克？ 压轴题型四　一元一次方程解决积分问题 例题：（2023上·江西新余·七年级统考期末）12月4日为全国法制宣传日，当天某初中组织4名学生参加法制知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了其中2名参赛学生的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 17 3 79 (1)从表中可以看出，答对一题得______分，答错一题得______分； (2)参赛学生得了58分，他答对了几道题？答错了几道题？ 巩固训练 1．（2024上·福建福州·七年级统考期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道题选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 根据以上信息，请你算出： (1)填空：答对一题得______分，答错一题扣______分； (2)参赛者F得76分，他答对了几题？ (3)参赛者G说他得了36分，你认为可能吗？试说明理由． 2．（2023上·山西太原·七年级统考期末）阳光体育季，赛场展风采．七年级组织迎新拔河比赛，每班代表队都需比赛10场，如图是此次拔河比赛积分榜的部分信息，请解决下列问题： (1)由积分榜可知，胜一场得__________分，负一场得__________分； (2)已知积分榜中4班的积分是24分，求4班胜了几场比赛． 压轴题型五　一元一次方程解决方案问题 例题：（2024上·湖南邵阳·七年级统考期末）为准备春节文艺汇演，甲、乙两所学校共92名学生（其中甲校学生多于乙校学生，且甲校学生不够90名）准备统一购买服装参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46至90套 由91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元． (1)甲、乙两校各有多少名学生准备参加演出？ (2)如果两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ (3)如果甲校有6名学生被调去参加书法比赛不能参加演出，请你为两校设计购买服装方案，并说明哪一种最省钱． 巩固训练 1．（2024上·浙江宁波·七年级统考期末）一家电信公司推出两种移动电话计费方法：计费方法A是每月收月租费58元，通话时间不超过150分钟的部分免费，超过150分的按每分钟0.25元加收通话费；计费方式B是每月收月租费88元，通话时间不超过350分钟的部分免费，超过350分的按每分钟0.20元收通话费． (1)若朵朵爸爸采用计费方法A一个月累计通话362分钟，求朵朵爸爸这个月所需的移动电话费用是多少？ (2)在（1）条件下所需的费用，若朵朵爸爸改用计费方法B，则比计费方法A多通话多少分钟？ 2．（2024上·宁夏吴忠·七年级统考期末）“书籍是人类进步的阶梯”，自开展全区读书宣传活动以来，某图书出租店为此开设两种租书方式．方式一：零星租书，每本收费元；方式二：会员卡租书，会员每月交会员费6元，租书费每本元．小李同学经常来该店为自己和本班同学租书，若小李同学每月租书数量为x本． (1)分别写出两种租书方式下，小李同学每月应付的租书金额（用含x的式子表示）； (2)若小李同学在一月内为班级租20本书，试问选用哪种租书方式合算？ (3)小李同学每月如何根据租书需求灵活选择省钱的租书方式？请通过计算验证你的看法． 3．（2024上·甘肃酒泉·七年级统考期末）合肥庐阳区实验学校七（6）班为迎接学校秋季运动会计划购买30支签字笔，若干本笔记本（笔记本数量超过签字笔数量），用来奖励运动会中表现出色的运动员和志愿者，甲、乙两家文具店的标价都是签字笔8元/支、笔记本2元/本，甲店的优惠方式是签字笔打九折，笔记本打八折；乙店的优惠方式是每买5支签字笔送1本笔记本，签字笔不打折，购买的笔记本打七五折． (1)请用含x的代数式分别表示学校在甲、乙两家店购物所付的费用； (2)如果购买笔记本数量为60本，并且只在一家店购买的话，请通过计算说明，到哪家店购买更合算？ (3)若都在同一家店购买签字笔和笔记本，试问购买笔记本数量是多少时，两家店的费用一样？ 压轴题型六　一元一次方程解决电费和水费问题 例题：（2023上·广东深圳·七年级红岭中学校联考期末）为节约用水，某市规定四口之家每月标准用水量为15立方米，超过部分加价收费，假设不超过部分水费为元/立方米，超过部分水费为3元/立方米． (1)如果小明家6月份用水20立方米，则应缴水费多少元？ (2)如果小明家某月的用水为m 立方米，那么这个月应缴水费多少元？（用含m 的代数式表示） (3)如果小明家某月的应缴水费元，，那么这个月用水为多少立方米？ 巩固训练 1．（2023上·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格如表： 每月用水量 单价（元/立方米） 不超过22立方米的部分 超过22立方米的部分 (1)某用户4月份用水10立方米，共交费24元，求的值； (2)在（1）的前提下，该用户5月份交水费78元，请问该用户5月份用水多少立方米？ 2．（2023上·河南商丘·七年级校联考阶段练习）某公司推出两种流量计费业务（语音版均不含赠送流量）：若张明一个月使用流量MB，则： 项目                  计费方式 月使用费（元） 流量计费（元/MB） 甲种 0 乙种 18 (1)按照甲种计费方式，共需______元；按照乙种计费方式，共需______元（均用含的式子表示）． (2)当两种计费方式相等时，求． (3)当每月使用流量超过400MB时，选择______（填“甲”或“乙”）种计费方式更省钱． 3．（2023上·湖南娄底·七年级统考阶段练习）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元. (1)表中的值为________； (2)求老李家9月份的用电量； (3)若8月份老李家用电的平均电价为元/度，求老李家8月份的用电量. 4．（2023上·浙江宁波·七年级校考阶段练习）某市居民生活用电峰谷电价如下表： 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰电价（元/千瓦时） 低谷用电电量（千瓦时） 低谷电价（元/千瓦时） 100及以下部分 超过100的部分 （注：用电总量＝高峰用电量＋低谷用电量） (1)小明家3月份用电量中，高峰用电量为50千瓦时，低谷用电量为30千瓦时，这个月他家需付电费多少元？ (2)小明家5月份用电量中，高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为a千瓦时（），请用含字母a的整式表示他家6月份需付的电费． (3)如果小明家9月用电总量为350千瓦时，需付电费156元，那么这个月小明家高峰用电量和低谷用电量分别用了多少千瓦时？ 压轴题型七　一元一次方程解决数轴上的动点问题 例题：（2024上·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，点A，B在数轴上表示的数分别为与4 ，若数轴上A，B两点之间存在点 C，使得 ．    (1)点C所表示的数为________． (2)动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，当时，求t的值． 巩固训练 1．（2023上·陕西西安·七年级统考期末）如图，A，B是数轴上的两个点（B在A的右侧），点为原点，点A表示的数为，且． (1)若点C为数轴上一动点，当时，求点C表示的数． (2)动点P，Q分别从点B和点A同时出发向左匀速运动，点P，Q的速度分别为每秒3个单位长度和每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，点M为P，Q的中点，试探究点P，Q运动过程中，且点M在原点右边时，的值是否会发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由． 2．（2024上·安徽芜湖·七年级统考期末）【新知理解】 如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）． （2）若，点C是线段的“巧点”，则______； 【解决问题】 （3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为ts．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并说明理由．    3．（2024上·浙江·七年级专题练习）已知A，B两点在数轴上对应的有理数分别为a，b，且a，b满足：．    (1)则___________，___________； (2)定义：若点M为数轴上A，B两点之间一点，且到A，B两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离的2倍，则称M为A，B两点的“友好点”． ①求A，B两点的“友好点”M在数轴上对应的有理数； ②点P以每秒4个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿数轴向右运动，当点P、Q相遇则停止运动．设运动时间为t秒，若整个运动过程中，B，P，Q三点中有一点是另两点的“友好点”，求t值． 4．（2024上·湖北襄阳·七年级统考期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动． 设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______；点Q表示的数为______． (2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)求当t为何值时，； (4)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$