专题02 有关绝对值的探索（8大基本题型） 期末专项复习讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

该初中数学讲义以“定义-性质-应用”为主线构建绝对值知识体系，通过分点梳理几何意义与代数意义，结合性质归纳表呈现非负性、双值性等核心要点，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“题型+方法”双轨训练，涵盖求绝对值、化简表达式等7大题型，创新融入“奇点偶段法”指导，通过找零点、判奇偶确定多绝对值和的最小值，培养抽象能力与推理意识。典例与变式题组满足分层需求，助力学生自主突破难点，为教师精准教学提供系统支持。

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年度北师大数学七年级上册期末专项复习讲义 专题02有关绝对值的探索(7大基本题型) 专题概览 题型1：求一个数的绝对值 题型2：化简绝对值表达式 题型3：相反数的相关题型 题型4：绝对值的非负性应用 题型5：利用绝对值比较大小 题型6：绝对值的几何意义应用 题型7：分类讨论与奇点偶段法 核心知识点总结 一、绝对值的定义 1.几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离，记作d 2.代数意义： (I)正数的绝对值是它本身(a=a,a>0) (2)负数的绝对值是它的相反数(a=-a,a<0) (3)0的绝对值是0(0=0) 二、绝对值的性质 1.非负性：lal≥0，且绝对值最小为0 2.双值性：若x≥0(a>0),则x=±a 3.相反数性质：互为相反数的两数绝对值相等(a=-ad)。 4. 运算性质：(a=a2 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 题型归纳 【题型1】求一个数的绝对值 题型特点：直接根据绝对值定义求解正数、负数或零的绝对值。 7 【典例1】 的倒数是 2 【变式1】计算下列各题： (+- (2)-1P×(-5列÷[(-3)2+2×-5] 【变式2】计算：-3十 【变式3】在-22，（-22，-(-2)，-2，-π-3.14中，负数的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型2】化简绝对值表达式 题型特点：根据数轴上点的位置判断绝对值内式子的正负，进而化简。 【典例1】在数轴上表示下列各数，并用“<”号把这些数按从小到大连接起来. -2分1，-+15，-4. -5-4-3-21012345→ 【变式1】已知a,b,c的位置如图，化简：2a-b+2b+c-a-c= 0b→ 【变式2】有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，下列式子：①a<0<b;②a<b；③ab<0;④ <0;⑤6-a<b+a;⑥la-bl+a=-b,其中结论正确的有（） 6 a b A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【变式3】如果回+A+.-1,那么b+bc+d,abc的值为 a b c ab be ac abc 【题型3】相反数的相关题型 / 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型特点：涉及相反数的定义、性质及应用。 【典例1】在-2，-2，(-2)°，-(-2)，-22这五个数中，负数有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式1】在-3，(-3)2,3到，--3，--3)这5个数中，正整数有()个 A.2 B.3 C.4 D.5 【变式2】若a与b互为相反数，c和d互为倒数，m的绝对值是2，则15(a+b)-m2+cd的值为() A.3 B.-3 C.3或-3 D.-5 【变式3】诺x-2,a是最大的负整数，(6-3引与k+4互为相反数，则代数式2a-名+S+2x的值为 3”2 【题型4】绝对值的非负性应用 题型特点：利用“绝对值非负”性质求解参数或代数式的值。 【典例1】若|x-2+|y-3=0,则|x|+|y= 【变式1】若a+2+(b-4)2=0,则ab=· 【变式2】若(1-m)）2+n-2=0,则(m-n2025的值为() A.2025 B.-1 C.1 D.2 【变式3】若a是任意的有理数，则式子2025-a-2025的最大值是 【题型5】利用绝对值比较大小 题型特点：通过绝对值比较负数的大小或确定取值范围。 【典例1】比较大小：-+8) 9 【变式1】比较大小： ②--2.7 23 9 【变式2】比较大小：-0.5 4 (填“>“<”或“=”)》 【变式3】下列各数0,4,2分-十小，2，+(-列中，最小的数是() A.--3 B.-2 C.0 D.+-5) 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【题型6】绝对值的几何意义应用 题型特点：结合数轴上的距离公式a-b解题。 【典例1】有理数α，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是() 06 A.a <b B.ab>0 C.-b<a D.-a>b 【变式1】绝对值小于4的所有整数的和是 【变式2】实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是() 0 0 6 A.c(b+a<o B.(b+a(c-a<0 C.(a-c)(c+b)>0 D.（a-b)b-c)>0 【变式3】同学们都知道，5-(-2表示5与-2的差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上 所对应的两点之间的距离，试探索：当x= 时，-1+x+3=5. 【题型7】分类讨论与奇点偶段法 题型特点：处理含多个绝对值的复杂表达式，需分段讨论。 【方法详解】奇点偶段法是解决多个绝对值之和最小值问题的技巧，核心是通过零点（使绝对值为0的 x值)的奇偶性确定最小值位置： 1.找零点：令每个绝对值为0，解出x值并排序。 2.判奇偶： (1)奇数个零点：最小值在中间零点处取得。 (2)偶数个零点：最小值在中间两个零点之间的区间内取得（含端点）。 3.算最小值：根据确定的x值或区间计算表达式的最小值。 【原理】基于绝对值的几何意义（数轴上点到定点的距离和），通过平衡左右距离和找到最优解。 【典例1】【阅读理解】3-1表示3与1的差的绝对值，也可以理解为3与1两数在数轴上所对应的两 点之间的距离：3+2可以看作3-(-2)，表示3与-2的差的绝对值，也可以理解为3与-2两数在数轴 上所对应的两点之间的距离. 厨学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)x+3可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离： (2)利用如图所示的数轴求出所有符合条件的整数x,使得x+3=5; 8可65432十0234对→ 【解决问题】己知数轴上两点A、B对应的数分别为一8和3，数轴上另有一个点P对应的数为x,试探 索： (3)当点P在点A、B两点之间时，则有x+8+x-3=11;当点P不在点A、B两点之间时，若 x+8+x-3=13,则点P表示的数x为；由此可得，点P到A、B两点的距离之和的最小值为11， 若P表示的x为整数，且点P不与A、B两点重合，这样的P点有个： (4)当点P到点A的距离等于点P到点B的距离的2倍时，直接写出x的值 【变式1】【阅读理解】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法.我国著名数学家华罗庚曾说“数 缺形时少直观，形少数时难入微”，通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助 数的目的. 【探究发现】式子|x一3的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此， 若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,则A、B两点之间的距离ABa-b1. (1)若式子|x-2=3,则x的值为 (2)当|x+1川+x-3有最小值时，x可以取整数 (请写全符合条件的答案)； (3)当x+1+|x-3=5时，则x的值为 (4)如图，三个居民区A、B、C和市民广场O在同一条直线上.其中A在O左侧7km处，B在O左 侧2km处，C在O右侧4km处.现要在该直线上建一个便民服务点P,请问P建在何处，能使P到A、 B、C的总路程最短？最短路程是多少？请说明理由 【变式2】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间 的内在联系，它是“数形结合”的基础.我们知道，@表示数α在数轴上的对应点与原点的距离.如图， 5表示5在数轴上的对应点到原点的距离，而5=5-0，即5-0也可理解为5与0两数在数轴上对应的 两点之间的距离类似的，5-3表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两 点之间的距离、如x-3引的几何意义是数轴上表示3的点与表示x的点之间的距离.一般地，点A、B在 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 数轴上分别表示数a、b,那么A、B之间的距离可表示为a-b 5-01 -3-2-1012345 -3-2-1012345 【学以致用】 (1)计算：1-（-3)=，若x-（-1=3,则x= (2)若x-5+x+1=8,则x=; (3)x-2+x+4的最小值为； 【拓展延伸】 如果数轴上有三个点且其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个 点的“二倍点”.例如，数轴上点M,NP所表示的数分别为2,4,5，此时4-2=2×5-4，因 此点N是M、P的“二倍点”. (4)若点C表示的数是-10，点D表示的数是6，直接写出点C,D的二倍点”所对应的数值. 【变式3】点A、B在数轴上分别对应数a、b,则A、B两点之间距离AB=a-b,，利用数形结合思想回 答下列问题： -11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-101234567891011 (1)数轴上表示2和-1的两点之间的距离为，表示x和-1两点之间的距离为； (2)若-2=8，则x=; (3)若-4≤x≤2，则-2+k+4=;若k-2+r+4=8,则x= (4)若x-2+x+4+y-5+y+3=14,则x-y最大值=： (⑤)若在数轴上点A表示数-3，点B表示数1，点C表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位 长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为1秒(1>0).当点C 在点B右侧时，是否存在常数m,使mBC-2AB的值为定值？若存在，求m的值，若不存在，请说明 理由 2025-2026学年度北师大数学七年级上册期末专项复习讲义 专题02 有关绝对值的探索（7大基本题型） 题型1：求一个数的绝对值 题型2：化简绝对值表达式 题型3：相反数的相关题型 题型4：绝对值的非负性应用 题型5：利用绝对值比较大小 题型6：绝对值的几何意义应用 题型7：分类讨论与奇点偶段法 一、绝对值的定义 1. 几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离，记作 2. 代数意义： (1) 正数的绝对值是它本身（|） (2) 负数的绝对值是它的相反数（） (3) 0的绝对值是0（） 二、绝对值的性质 1. 非负性：，且绝对值最小为0 2. 双值性：若，则 3. 相反数性质：互为相反数的两数绝对值相等（）。 4. 运算性质： 【题型1】求一个数的绝对值 题型特点：直接根据绝对值定义求解正数、负数或零的绝对值。 【典例1】的倒数是______． 【答案】 【分析】该题考查了绝对值和倒数，先计算绝对值，再求其倒数． 【详解】解：，的倒数是． 故答案为：． 【变式1】计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先算绝对值，再利用加法交换律与结合律计算即可； （2）先算乘方，再算括号里面的，然后算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算：． 【答案】2 【分析】本题考查有理数的混合运算，按照有理数混合运算的顺序运算即可． 【详解】解： 【变式3】在，，，，中，负数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查负数的识别，先根据有理数的乘方、相反数的意义、绝对值的意义计算出每个表达式的值，然后判断其正负性，再统计负数的个数．解题的关键是掌握相应运算法则、性质、正数的定义（大于的数叫做正数）和负数的定义（在正数前加上符号负号的数叫做负数，负数小于）． 【详解】解：∵，则是负数； ∵，则是正数； ∵，则是正数； ∵，则是负数； ∵， ∴， ∴， ∴，则是负数； ∴ 负数个数是个． 故选：C． 【题型2】化简绝对值表达式 题型特点：根据数轴上点的位置判断绝对值内式子的正负，进而化简。 【典例1】在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． ，，，． 【答案】在数轴上表示下列各数见解析，． 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，求一个数的绝对值和化简多重符号，先计算绝对值和化简多重符号，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：，，， 在数轴上表示下列各数如图所示： 从小到大：． 【变式1】已知a，b，c的位置如图，化简：___________ 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，数轴的应用与绝对值的性质，关键是判断出绝对值符号里面的式子的正负．结合数轴可得，，从而可去掉绝对值计算． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 【变式2】有理数、在数轴上的对应点如图所示，下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】此题考查了数轴与有理数在数轴上的大小比较，有理数四则运算，绝对值的意义等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据数轴可得：，根据相关定义、法则依次判断各个式子即可得． 【详解】解：由数轴可知：，到原点的距离小于到原点的距离， ∴①、②正确， ∵因为、异号，故，， ∴③、④正确， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴⑤错误， ∵， ∴⑥错误， ∴结论正确的有①②③④． 故选：B． 【变式3】如果，那么 的值为______． 【答案】0 【分析】本题考查有理数的除法，绝对值的意义，利用，得出有一个正数，二个负数是解题关键．根据，得出中有1个正数，2个负数，设，，，化简绝对值即可求解． 【详解】解：∵， ∴中有1个正数，2个负数． 不妨设，，，则 ． 故答案为：0． 【题型3】相反数的相关题型 题型特点：涉及相反数的定义、性质及应用。 【典例1】在，，，，这五个数中，负数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了求乘方，求绝对值，求相反数，负数的定义． 先计算乘方，绝对值，相反数，再根据负数的定义作答即可． 【详解】解：，为正数； ，为负数； ，为负数； ，为正数； ，为负数． ∴负数有3个：，，． 故选：B． 【变式1】在，，，，这5个数中，正整数有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值，相反数，正整数的定义． 先计算乘方，绝对值，相反数，再根据正整数的定义作答即可． 【详解】解： ，不是正整数； ，是正整数； ，是正整数； ，不是正整数； ，是正整数； ∴正整数有 、、，共3个． 故选：B． 【变式2】若a与b互为相反数，c和d互为倒数，m的绝对值是2，则的值为（   ） A．3 B． C．3或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值的相关知识点．熟记相关结论是解题关键．由a与b互为相反数，c和d互为倒数，m的绝对值是2，得出，，，代入计算即可． 【详解】解：与b互为相反数， ． 和d互为倒数， ． 的绝对值是2， ． 故选：B． 【变式3】若，是最大的负整数，与互为相反数，则代数式的值为_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数的定义，绝对值和平方的非负性，相反数的意义，有理数的混合运算，解题的关键是掌握以上性质和定义． 根据求一个数的绝对值法则，有理数的定义，绝对值和平方的非负性，相反数的意义，求出的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴或； ∵ a是最大的负整数， ∴； ∵与互为相反数，且， ∴且， 解得； 代数式为： 代入，得： ， 当时，； 当时，； 故答案为：或． 【题型4】绝对值的非负性应用 题型特点：利用“绝对值非负”性质求解参数或代数式的值。 【典例1】若，则________． 【答案】5 【分析】本题考查绝对值的非负性，解题的关键是利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求解未知数． 根据绝对值的非负性，由得出、的值，再计算． 【详解】因为且，且， 所以且， 解得，， 因此． 故答案为：5． 【变式1】若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值非负性，平方非负性的性质，代数式求值，由，得 ，，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2】若，则的值为（   ） A．2025 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了非负数的性质（平方数与绝对值的非负性），熟练掌握“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”是解题的关键． 根据非负数的性质（平方数和绝对值均为非负数），由它们的和为0得出每个非负数均为0，求出、的值后代入计算． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 【变式3】若a是任意的有理数，则式子的最大值是_________． 【答案】2025 【分析】本题考查了绝对值的性质及有理数的大小比较．根据绝对值的非负性，，当取最小值0时，原式取得最大值． 【详解】解：当时，， ∵， ∴； 当时，； 当时，， 综上所述，的最大值为2025， 故答案为：2025． 【题型5】利用绝对值比较大小 题型特点：通过绝对值比较负数的大小或确定取值范围。 【典例1】比较大小：_____；_____． 【答案】 < < 【分析】本题考查了有理数的大小比较及绝对值，对于第一个比较，先计算两个表达式的值，再比较大小；对于第二个比较，先求绝对值，再取相反数，然后根据负数比较法则比较． 【详解】解：计算 ，．由于负数小于正数，因此 ，即； 计算 ，所以 ． 比较 和 ，它们的绝对值分别为 2.5 和 2.25， 由于 2.5 > 2.25，根据负数比较法则，绝对值大的反而小， 因此 ，即． 故答案为：<，<． 【变式1】比较大小：①________；②________． 【答案】 > < 【分析】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是掌握①正数大于负数②两个负数比较，绝对值大的反而小的规则． 对于①，先计算绝对值，得到正数，与负数比较，正数大于负数；对于②，先化简绝对值，得到负数，再比较两个负数的大小，绝对值大的负数反而小． 【详解】①比较与： 因为是正数，是负数． 根据“正数大于负数”，所以，以； ②因为和都是负数，且，， 根据“两个负数比较，绝对值大的反而小”，由于， 所以，即． 故答案为：①；②． 【变式2】比较大小：______（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，先化简有理数，再根据两个负数，绝对值大的反而小比较即可求解，掌握有理数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵，， ∴， 又∵两个负数，绝对值大的反而小， ∴， 即， 故答案为：． 【变式3】下列各数0，，，，，中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的比较大小，先将每个数计算其数值，然后比较大小，找出最小值即可． 【详解】解：， ∵， ∴, ∴最小的数是， 故选：D． 【题型6】绝对值的几何意义应用 题型特点：结合数轴上的距离公式解题。 【典例1】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值与有理数的运算法则，掌握有理数与数轴的基本知识是解题的关键． 根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，进而判断出式子的符号即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴，故A、B错误，不符合题意； 将标记在数轴上： 由数轴可得，， 故C错误，D正确， 故选：D． 【变式1】绝对值小于4的所有整数的和是__________． 【答案】0 【分析】本题考查有理数加法和绝对值的意义，确定出绝对值小于4的所有整数是解题的关键． 找出绝对值小于4的所有整数，再计算这些数的和即可． 【详解】解：绝对值小于4的所有整数有：0，，，， ， 故答案为：0． 【变式2】实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，判断式子正负，实数的运算，由数轴得到，，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、由数轴得：，， ∴， ∴，故选项不符合题意； B、由数轴得：，， ∴，， ∴，故选项不符合题意； C、由数轴得：， ∴，， ∴，故选项不符合题意； D、由数轴得：， ∴，， ∴，故选项符合题意； 故选：D． 【变式3】同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：当________时，． 【答案】或1.5 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，表示x与1的距离，表示x与的距离，因此表示x到1和的距离之和，当x在和1之间时，距离之和为4；当或时，距离之和大于4，通过解方程求解x的值． 【详解】解：当时，， 令， 解得； 当时，， 令， 解得； 当时，，不等于5， 故答案为：或1.5． 【题型7】分类讨论与奇点偶段法 题型特点：处理含多个绝对值的复杂表达式，需分段讨论。 【方法详解】奇点偶段法是解决多个绝对值之和最小值问题的技巧，核心是通过零点（使绝对值为0的x值）的奇偶性确定最小值位置： 1. 找零点：令每个绝对值为0，解出x值并排序。 2. 判奇偶： (1) 奇数个零点：最小值在中间零点处取得。 (2) 偶数个零点：最小值在中间两个零点之间的区间内取得（含端点）。 3. 算最小值：根据确定的x值或区间计算表达式的最小值。 【原理】基于绝对值的几何意义（数轴上点到定点的距离和），通过平衡左右距离和找到最优解。 【典例1】【阅读理解】表示3与1的差的绝对值，也可以理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可以理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）可以理解为_____与_____两数在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）利用如图所示的数轴求出所有符合条件的整数，使得； 【解决问题】已知数轴上两点、对应的数分别为－8和3，数轴上另有一个点对应的数为，试探索： （3）当点在点、两点之间时，则有；当点不在点、两点之间时，若，则点表示的数为_____；由此可得，点到、两点的距离之和的最小值为11，若表示的为整数，且点不与、两点重合，这样的点有_____个； （4）当点到点的距离等于点到点的距离的2倍时，直接写出的值． 【答案】（1），－3；（2）或；（3）－9或4．（4）或14． 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点距离，解一元一次方程； （1）根据题意即可得出结果； （2）可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离等于，即可求解； （3）根据题意分两种情况分析：当时，当时，然后化为一元一次方程求解即可； （4）由（3）得点A表示的数为，点B表示的数为3，根据题意得：，然后求解绝对值方程即可． 【详解】解：（1）可以理解为x与两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：，－3； （2）因为， 所以可以理解为：与两数在数轴上所对应的两点之间的距离为5， 结合数轴可得：或； （3）表示x到和到3的距离之和为13， ∵点不在点、两点之间， ∴当时， ∴， 解得：； 当时， ∴， 解得：； ∴点表示的数为或4； 当时，， ∴这样的点有共计10个； 故答案为：或4；10； （4）由（3）得点A表示的数为，点B表示的数为3， 根据题意得：， 解得：或． 【变式1】【阅读理解】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微”，通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的． 【探究发现】式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离． （1）若式子，则x的值为________； （2）当有最小值时，x可以取整数________（请写全符合条件的答案）； （3）当时，则x的值为________． （4）如图，三个居民区A、B、C和市民广场O在同一条直线上．其中A在O左侧处，B在O左侧处，C在O右侧处．现要在该直线上建一个便民服务点P，请问P建在何处，能使P到A、B、C的总路程最短？最短路程是多少？请说明理由． 【答案】【探究发现】（1）或5；（2）；（3）或． （4）P建在B处，P到A、B、C的总路程最短，最短路程为 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值，熟练掌握绝对值的意义，根据“数形结合”的基础是解题的关键，由题意中定义逐一分析即可得到答案． （1）利用绝对值的几何意义（表示数轴上两点距离），由得，求解得； （2）根据的几何意义（到、的距离和），当在与之间时和最小，找出此区间内的整数； （3） 分、、三类讨论，去掉绝对值符号解方程，得到的值． （4）点A对应的数为，点B对应的数为，点C对应的数为，总路程对应（是的位置），根据绝对值几何意义，当取中间点（，即处）时，距离和最小，计算此时的和即为最短路程． 【详解】解：（1）∵， ∴或， 解得或， 故答案为：或． （2）可以理解为数轴表示点到和到的距离之和， 当时，取最小值，最小值为， x可以取整数 （3）当时，有， 解得：； 当时，有，方程无解； 当时，有， 解得：； 综上所述，的值为或． （4）建在处，能使到A、B、C的总路程最 短，最短路程是．理由如下： 设O原点，便民服务点P对应的数为， 则点A对应的数为，点B对应的数为，点C对应的数为， 总路程为， 根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示有理数的点到表示有理数的点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为． 当时，； 当时，． 所以当时，有最小值，最小值为，即最短路程为． 所以建在处，能使到A、B、C的总路程最短，最短路程是． 【变式2】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如图，表示5在数轴上的对应点到原点的距离，而，即也可理解为5与0两数在数轴上对应的两点之间的距离 类似的，表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离、如的几何意义是数轴上表示3 的点与表示x的点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为 【学以致用】 （1）计算：_， 若， 则_ （2）若， 则_； （3）的最小值为_； 【拓展延伸】 如果数轴上有三个点且其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“二倍点”． 例如， 数轴上点M， N， P 所表示的数分别为2， 4， 5， 此时， 因此点 N 是 M、P的“二倍点”． （4）若点C表示的数是，点D 表示的数是6，直接写出点C，D的“二倍点”所对应的数值． 【答案】（1）4；2或；（2）或6；（3）6；（4），，或． 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据绝对值的几何意义进行求解即可； （2）分和两种情况，进行讨论求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，得到当时，的值最小，为数轴上到的距离； （4）设点为点C，D的“二倍点”，点表示的数为，根据新定义，分2种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）； ，即数轴上到数的距离为3，所表示的数， ∴或； （2）当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上：或； （3）表示数到和2的距离和， 故当时，的值最小，为数轴上到的距离， ∴的最小值为； （4）设点为点C，D的“二倍点”，点表示的数为， 则：或， 当时，即，解得或； 当时，即，解得或； 综上，点C，D的“二倍点”所对应的数值为，，或． 【变式3】点A、B在数轴上分别对应数a、b，则A、B两点之间距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离为______，表示x和两点之间的距离为______； (2)若，则______； (3)若，则______；若，则______； (4)若，则最大值＝______； (5)若在数轴上点A表示数，点B表示数1，点C表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒．当点C在点B右侧时，是否存在常数m，使的值为定值？若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或10 (3)；或 (4)5 (5)存在， 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，绝对值的意义，有理数的加减运算，以及整式的加减，掌握绝对值的意义是解题的关键． （）根据两点之间距离的定义直接求解即可； （）根据两点之间距离的定义分两种情况求解即可； （3）根据绝对值的性质化简，再计算即可求解； （4）根据的几何意义得出当时，取到最小值6，根据的几何意义得出当时，取到最小值5， 根据，推出且，据此即可求解； （5）使的值为定值，列出等式中的含的项合并为0，从而求出． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离为，数轴上表示和两点之间的距离为， 故答案为：，； （2）解：表示数表示的点到数2表示的点的距离等于8， 当x在2的右边时：， 当x在2的左边时：， 综上可知，x的值为或10； （3）解：∵， ∴； 当时，， ∴； 当时，，该种情况不存在； 当时，， ∴； 综上，或； 故答案为：；或； （4）解：的几何意义为：数表示的点到数2表示的点与到数表示的点的距离之和， ∴，当时，取到最小值6； 同理，的几何意义为：数表示的点到数5表示的点与到数表示的点的距离之和， ∴，当时，取到最小值8； ∵， ∴且， ∴当，时，有最大值；且最大值为； 故答案为：5． （5）假设存在． 在右侧，在右侧， ， ， ， 当即时， 为定值， 存在常数，使的值为定值． / 学科网（北京）股份有限公司 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