2.8 直线与圆锥曲线的位置关系课件-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线与圆锥曲线的位置关系，涵盖相交、相切、相离的判断及弦长、切线方程等应用。通过类比直线与圆的位置关系，以方程组解的问题为支架，衔接前后知识，引导学生构建逻辑认知。 其亮点在于以例题为载体，通过例1联立方程求交点和弦长、例2用判别式分析位置关系等，培养逻辑推理和数学思维能力。拓展切线方程公式与课堂练习结合，强化数学语言表达，助力学生提升解题能力，也为教师提供系统教学案例。

人教B版(2019)选择性必修第一册 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 第二章 平面解析几何 1 学习目标 理解直线与圆锥曲线的位置关系，体现逻辑推理能力（重点） 会求与圆锥曲线有关的弦长、最值、定点、范围等问题，体现逻辑推理能力（重难点） 2 新课导入 通过直线的方程、圆的方程可以探讨直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，而且这些问题都可以转化为方程组的解的题．类似地，因为平面直角坐标系中的点在椭圆、双曲线、抛物线上的充要条件是点的坐标满足对应的方程，所以我们同样可以通过方程组的解的问题来探讨直线与这些曲线的位置关系的问题． 3 新课学习 联立直线与椭圆的方程，可得方程组 解方程组可得 4 新课学习 联立直线l的方程与椭圆C的方程得方程组 消去y ，整理得9x2+8mx+2m2−4=0，① 因为①的判别式为 ∆=(8m)2−4×9×(2m2−4)=−8m2+144 5 新课学习 6 新课学习 直线与椭圆的位置关系 当直线与椭圆有两个公共点时，称直线与椭圆相交； 当直线与椭圆有且只有一个公共点时，称直线与椭圆相切； 当直线与椭圆没有公共点时，称直线与椭圆相离. 如图所示的图中，l1与椭圆相交，l2与椭圆相切，l3与椭圆相离. 7 新课学习 例3：判断直线l:y=x+1 与双曲线C:x2−y2=1 是否有公共点. 如果有，求出公共点的坐标. 联立直线与双曲线的方程，可得方程组 消去y，可得x2−(x+1)2=1，由此可解得x=−1. 此时，y=0.因此直线与双曲线有一个公共点，且公共点的坐标为(-1,0) 如图所示是例3中的直线与双曲线，图中还作出了双曲线的渐近线. 从图中可以看出，直线l与双曲线C相交于双曲线的左顶点. 此时，虽然直线l与双曲线C 只有一个公共点，但并不给人以“相切”的形象. 8 新课学习 直线与圆锥曲线相切的概念 一般地，给定直线l与圆锥曲线C（圆、椭圆、双曲线、抛物线），如果联立它们的方程并消去一个未知数后，得到的是一个一元二次方程且该方程只有一个实数解（即有两个相等的实数解），则称直线与圆锥曲线相切. 9 新课学习 注意： 由定义可知，例3中的直线与双曲线不相切，而且可以看出，直线与圆、直线与椭圆只有一个公共点是直线与它们相切的充要条件； 但直线与双曲线、直线与抛物线只有一个公共点不是直线与它们相切的充分条件. 10 新课学习 拓展：直线与圆锥曲线相切的切线方程： 11 新课学习 例4：已知点A(0,2)和抛物线C:y2=6x，求过点A且与抛物线C相切的直线l的方程. 当直线l的斜率不存在时，由直线l过点A(0,2) 可知，直线l就是y轴，其方程为x=0. 这是一个一元二次方程且只有唯一的实数解，所以直线x=0 与抛物线C相切. 如果直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=kx+2. 12 新课学习 例4：已知点A(0,2)和抛物线C:y2=6x，求过点A且与抛物线C相切的直线l的方程. 为了使得这个方程是一元二次方程且只有一个实数解，必须有k≠0且(−6)2−4×12k=0， 综上可知，直线l的方程为x=0 或3x−4y+8=0. 13 新课学习 圆锥曲线的弦长 一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长．简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段． 14 新课学习 例5：已知直线l:y=x−2与抛物线C:x2=−6y相交于A，B两点，且O为坐标原点. (1)求弦长|AB|； 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则|AB|2=(x2−x1)2+(y2−y1)2. 因为A(x1,y1)，B(x2,y2)都是直线y=x−2上的点，所以 第二式减去第一式可得y2−y1=x2−x1，从而|AB|2=(x2−x1)2+(x2−x1)2=2(x2−x1)2. 15 新课学习 例5：已知直线l:y=x−2与抛物线C:x2=−6y相交于A，B两点，且O为坐标原点. (1)求弦长|AB|； 所以(x2−x1)2=(x2+x1)2−4x1x2=(−6)2−4×(−12)=84， 因此|AB|2=2×84=168， 16 新课学习 例5：已知直线l:y=x−2与抛物线C:x2=−6y相交于A，B两点，且O为坐标原点. 又因为由(1)可知x1+x2=-6，x1x2=-12， 17 新课学习 拓展：求弦长的步骤： 设点 联立 公式 代入 设交点为A(x1,y1)，B(x1,y1) 得到关于x的一元二次方程 若方程形式简单，可直接求出交点坐标，否则，根据两根和与积的公式得到 选择适当的弦长公式代入 18 课堂练习 B 19 课堂练习 20 课堂练习 C 21 课堂练习 22 课堂练习 D 23 课堂练习 24 课堂练习 B 25 课堂练习 26 课堂练习 A 27 课堂练习 28 课堂总结 1.直线与椭圆的位置关系 2.直线与圆锥曲线相切的概念 3.圆锥曲线的弦长 29 谢 谢 观 看 30 从而可知所求线段长为 . 例1：判断直线y=2x-2与椭圆 是否有公共点. 如有，求出公共点的坐标，如公共点有两个，求出以这两个公共点为端点的线段长. 或 所以：当 即 时，方程①有两个不同的实数解，此时原方程组的实数解集中有两个元素，直线l与椭圆C有两个公共点； ， 当 即 时，方程①有两个相等的实数解，此时原方程组的实数解集中只有一个元素，直线l与椭圆C有且只有一个公共点； 当 即 或 时，方程①无实数解，此时原方程组的实数解集为空集，直线l与椭圆C没有公共点. 1.椭圆 (a>b>0)上一点 处的切线方程是 . 2.双曲线 (a>0，b>0)上一点 处的切线方程是 . 3.抛物线y2=2px上一点 处的切线方程是y0y=p(x+x0). 由 消去未知数x得y2=0. 由方程组 消去x，整理得ky2-6y+12=0 . 因此可解得 . 此时直线l的方程为 ，即 . 所以 不成立. (2)判断 是否成立，并说明理由. 将 ， 代入上式可得 解析：当 时，曲线 的方程为 ，表示椭圆的上半部分(含与x轴的交点)，此时曲线与 的交点为(0，3)，(4，0)，当 时，曲线 的方程为 ，表示双曲线在x轴下方的部分，其一条渐近线方程为： ，故直线 与 无交点， 曲线 与直线 的公共点的个数为2.故选：B 解析：方法一：联立直线l与双曲线C的方程得 解得 或 所以直线l与双曲线C的右支有两个公共点.故选C. 方法二：直线l的斜率为2， ，又直线l与x轴的交点 在双曲线右顶点的右侧，故直线l与双曲线C的右支有两个交点.故选C. 解析：联立 消去x可得 .由抛物线与直线相切可得 ，由 可知 ，即 .故选D. 解析：由 可得 ，故 ， 当 ，则 ，方程只有一个实数解，满足题设要求，此时双曲线方程为 ， ， ；当 时， ，此时 ，此时双曲线方程为 ， ， ， . 解析：由题意得椭圆焦点为 ， ，因此焦点在x轴上， ， 由 ，得 ，椭圆标准方程为 . 将直线 代入椭圆方程，整理得 ， 因为椭圆与直线相切，因此一元二次方程判别式 ，整理得 ， 解得 （ 舍去，因 ），因此 ， 离心率 . $