2.6.2 双曲线的几何性质(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第二章 平面解析几何 2.6　双曲线及其方程 2.6.2　双曲线的几何性质 2.6.2　双曲线的几何性质 学习任务 1．了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)．(直观想象) 2．理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(数学抽象) 3．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．(数学运算) 2.6.2　双曲线的几何性质 我们知道，椭圆是一条封闭的曲线，而双曲线是两支“开放式”的曲线，椭圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有四个顶点，离心率的范围是(0，1)，它的大小决定着椭圆的扁圆程度．双曲线和椭圆有着相似之处，那双曲线又有怎样的性质呢？让我们一起对双曲线的性质进行探究吧！ 必备知识·情境导学探新知 2.6.2　双曲线的几何性质 知识点1　双曲线的几何性质 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 性质 图形     焦点 ____________________ ____________________ 焦距 __ 范围 _______或_____，y∈__ _______或_____，x∈___ (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) 2c x≤－a x≥a R y≤－a y≥a R 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 性质 对称性 对称轴：_______；对称中心：_____ 顶点 _______________________ _______________________ 轴 实轴：线段_____，长：___； 虚轴：线段_____，长：___ 离心率 e＝___∈__________ 渐近线 ______________ ____________ 坐标轴 原点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) A1A2 2a B1B2 2b (1，＋∞) y＝± x 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 思考1．能否用a，b表示双曲线的离心率？ [提示]　能．e＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 思考2．双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线斜率的绝对值与离心率e有何关系？双曲线的离心率e的几何意义是什么？ [提示]　由等式c2＝a2＋b2，得． 因此e越大，也越大，即渐近线y＝±x的斜率的绝对值越大，这时双曲线的开口就越大，因此离心率e可以用来表示双曲线开口的广阔程度． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 知识点2　等轴双曲线 实轴长与虚轴长____的双曲线称为等轴双曲线，它的渐近线方程是________，离心率e＝____． 提醒 等轴双曲线方程的特征是a＝b，则等轴双曲线的方程可以设为x2－y2＝λ(λ≠0)，当λ>0时，焦点在x轴上；当λ<0时，焦点在y轴上． 相等 y＝±x 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 × √ 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝． (　　) (2)双曲线＝1与＝1(a＞0，b＞0)的形状相同． (　　) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 [提示]　(1)由＝1，得y＝±x， 所以渐近线方程为y＝±x． (2)双曲线＝1与＝1(a＞0，b＞0)的位置不一样，但是形状相同． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 2．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则它的标准方程是(　　) A．＝1　　 B．＝1 C．＝1 　 D．＝1 √ B　[因为等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)， 所以设等轴双曲线的标准方程为＝1，a＞0， 且a2＋a2＝36，解得a2＝18． 故等轴双曲线的标准方程是＝1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 3．已知双曲线的方程为＝1，则该双曲线的离心率e等于________． 　[] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 关键能力·合作探究释疑难 类型1　根据双曲线的方程研究其几何性质 【例1】　【链接教材P153例1】 求双曲线＝1的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率． 2.6.2　双曲线的几何性质 [解]　由双曲线方程可得实半轴长a＝3，虚半轴长b＝4， c＝＝5，于是焦点坐标为(－5，0)，(5，0)． 渐近线方程为y＝±x＝±x，离心率e＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 [母题探究]　(变条件)若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． [解]　把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程＝1(m＞0，n＞0)，由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝；c＝，焦点坐标为； 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 离心率e＝； 顶点坐标为； 渐近线方程为y＝±x，即y＝±x． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 【教材原题·P153例1】 【例1】　求下列方程表示的双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率以及渐近线方程： (1)＝1； (2)x2－y2＝－9． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 [解]　(1)由标准方程可知双曲线的焦点在x轴上，且a2＝9，b2＝16，因此实轴长2a＝6． 又因为c2＝a2＋b2＝9＋16＝25，即c＝5．因此，双曲线的焦点坐标为(－5，0)，(5，0)． 离心率e＝． 渐近线方程为y＝±x． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 (2)已知双曲线的方程可化为＝1， 由此可知这个双曲线的焦点在y轴上，且a2＝b2＝9，因此实轴长2a＝6． 又因为c2＝a2＋b2＝9＋9＝18，即c＝3．因此，双曲线的焦点坐标为． 离心率e＝． 渐近线方程为y＝±x． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 反思领悟　由双曲线方程研究其几何性质的注意点 (1)把双曲线方程化为标准形式，确定a，b的值是关键． (2)由方程可以求焦距、实(虚)轴长、离心率、渐近线方程． (3)渐近线是双曲线的重要性质：先画渐近线可使图形更准确，焦点到渐近线距离为半虚轴长． (4)注意双曲线中一些特殊线段(值)的应用．如过双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F1(－c，0)垂直于x轴的弦AB，则|AB|＝． (5)双曲线中c2＝a2＋b2，易与椭圆中a2＝b2＋c2混淆． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 [跟进训练] 1．求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． [解]　双曲线的方程化为标准形式是＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝． 又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，焦点坐标为，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 类型2　由双曲线的几何性质确定标准方程 【例2】　求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)虚轴长为12，离心率为； (2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x； (3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程． [思路导引] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 [解]　(1)设双曲线的标准方程为＝1或＝1(a＞0，b＞0)． 由题知2b＝12，且c2＝a2＋b2， ∴b＝6，c＝10，a＝8， ∴双曲线的标准方程为＝1或＝1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 (2)(法一)当焦点在x轴上时，由且a＝3， ∴b＝． ∴所求双曲线的标准方程为＝1． 当焦点在y轴上时，由且a＝3， ∴b＝2． ∴所求双曲线的标准方程为＝1． ∴双曲线的标准方程为＝1或＝1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 (法二)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为＝λ(λ≠0)， 当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝， 当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝－1． ∴双曲线的标准方程为＝1或＝1． (3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝λ， 将点(2，－2)代入得λ＝－(－2)2＝－2， ∴双曲线的标准方程为＝1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 发现规律　利用双曲线的几何性质求方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)几种特殊的双曲线方程的设法： ①已知渐近线方程 渐近线方程为y＝±x的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0)； 渐近线方程为Ax±By＝0的双曲线的方程可设为__________________． A2x2－B2y2＝λ(λ≠0) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 ②共渐近线(离心率)的方程 与双曲线＝1(a>0，b>0)共渐近线(离心率)的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0)； 与双曲线＝1(a>0，b>0)共渐近线(离心率)的双曲线方程可设为． ③与双曲线＝1共焦点的双曲线方程可设为____________________ ____________________． ＝λ(λ≠0) ＝1 (λ≠0，－b2<λ<a2) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 [跟进训练] 2．求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，中心为坐标原点，焦距为6，实轴长为4； (2)焦点在x轴上，中心为坐标原点，渐近线方程为y＝±x，且过点． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 [解]　(1)设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，焦距为2c． 由题意有 解得a＝2，c＝3，b2＝c2－a2＝9－4＝5． 故所求双曲线的标准方程为＝1． (2)设所求双曲线的标准方程为＝1(m>0)． 由题意有＝1，解得m＝4． 故所求双曲线的标准方程为＝1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 类型3　求双曲线离心率的值或取值范围 【例3】　已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，求E的离心率． [解]　设双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)，如图所示， |AB|＝|BM|，∠ABM＝120°，过点M作MN⊥x轴， 垂足为N，在Rt△BMN中，|BN|＝a，|MN|＝， 故点M的坐标为M，代入双曲线方程得 a2＝b2，所以e＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 [母题探究] (变条件)设F1，F2是双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2且∠PF1F2＝30°，求C的离心率． [解]　在Rt△PF1F2中，由题设可知：|F1F2|＝2c，|PF2|＝c，|PF1|＝＝2a，所以2a＝＋1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 反思领悟　求双曲线离心率的方法 (1)利用a，b求．若已知a，b，则直接利用e＝得解． (2)利用a，c求．若可求得a，c，则直接利用e＝得解． (3)利用方程求．若得到的是关于a，c的齐次方程，即p·c2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程p·e2＋q·e＋r＝0求解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 [跟进训练] 3．已知双曲线＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 [解]　由题意可知直线l的方程为＝1，即bx＋ay－ab＝0．点(1，0)到直线l的距离d1＝，点(－1，0)到直线l的距离d2＝，所以s＝d1＋d2＝． 由s≥c，得c， 即5a≥2c2，则5≥2e2， 即4e4－25e2＋25≤0，得≤e2≤5． 因为e>1，所以e的取值范围是． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 类型4　求双曲线的渐近线方程 【例4】　如图，已知F1，F2为双曲线＝1(a＞0，b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，则双曲线的渐近线方程为______________． y＝±x 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 y＝±x　[设F2(c，0)(c＞0)，P(c，y0)， 则＝1，解得y0＝±． 所以|PF2|＝． 在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，则|PF1|＝2|PF2|． ① 由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a． ② 由①②，得|PF2|＝2a． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 因为|PF2|＝， 所以2a＝，即b2＝2a2． 所以． 所以渐近线方程为y＝±x．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 反思领悟　双曲线＝1的渐近线方程为y＝，双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 [跟进训练] 4．双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　) A．y＝±x　　　 B．y＝±x C．y＝±x 　 D．y＝±x √ A　[因为e＝，所以＝e2－1＝3－1＝2，所以．因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以渐近线方程为y＝±x，故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 学习效果·课堂评估夯基础 √ 1．已知双曲线的方程为＝1，则下列关于双曲线说法正确的是(　　) A．虚轴长为4 B．焦距为2 C．离心率为 D．渐近线方程为2x±3y＝0 2.6.2　双曲线的几何性质 D　[双曲线的方程为＝1，其中a＝2，b＝3，则c＝，则焦距为2，虚轴长为6，离心率e＝，渐近线方程为2x±3y＝0．故D正确．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 2．已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　) A．4　　 B．3 C．2 　 D． √ C　[设F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)，则|F1F2|＝2c＝8，|PF1|＝＝＝6， 则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，则e＝＝2．故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 3．写出一个渐近线方程为y＝±x的双曲线的标准方程：__________ _____________． x2－y2＝1(答案不唯一)　[渐近线方程为y＝±x的双曲线，可知a＝b，不妨设a＝b＝1，所以一个渐近线方程为y＝±x的双曲线的标准方程为x2－y2＝1．] x2－y2＝1 (答案不唯一) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 4．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为_____________． y2＝1　[双曲线右顶点为(a，0)，一条渐近线为y＝0，所以1＝．所以a＝2， 又，所以b＝， 所以双曲线方程为y2＝1．] y2＝1　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．如何用几何图形解释c2＝a2＋b2？a，b，c在双曲线中分别表示哪些线段的长？ [提示]　由于c2＝a2＋b2，则a，b，c就是图中Rt△OAB的三边长，其中a为半实轴长，b为半虚轴长，c＝．这从另一个角度反映了参数a，b，c的几何意义． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 2．双曲线的渐近线确定时，其标准方程能确定吗？ [提示]　不能，每条双曲线对应唯一一组渐近线，但当渐近线确定时，它对应无数条双曲线且焦点可能在x轴上，也可能在y轴上． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 3．双曲线的焦点到渐近线的距离是否为定值？ [提示]　双曲线的焦点到渐近线的距离为定值b． 设双曲线＝1(a＞0，b＞0)，一条渐近线为y＝x，即bx－ay＝0，一个焦点为(c，0)， 则焦点到渐近线的距离d＝＝b． 此结论在解题时可直接应用． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 课时分层作业(二十二)　双曲线的几何性质 一、选择题 1．(教材P156习题2-6AT2改编)双曲线x2－4y2＝－8的渐近线方程为(　　) A．y＝±2x　 B．y＝±x C．y＝±x 　 D．y＝±x 48 B　[根据题意，双曲线的方程为x2－4y2＝－8，变形可得＝1， 则其焦点在y轴上，且a＝， 则其渐近线方程为y＝±x＝±x．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．(多选题)双曲线＝λ(λ≠0)的离心率可以是(　　) A．　　　 B． C．　　　 D． √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 AB　[当λ>0时，方程化为＝1， 所以双曲线焦点在x轴上， 所以a2＝2λ，b2＝4λ，c2＝a2＋b2＝6λ， 所以离心率e＝． 当λ<0时，方程化为＝1， 所以双曲线焦点在y轴上， 所以a2＝－4λ，b2＝－2λ，c2＝a2＋b2＝－6λ， 所以离心率e＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A．　　　 B． C．　　　 D． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[根据双曲线的离心率e＝，得c＝a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交． (法一)由得5x2－16x＋12＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝． 所以|AB|＝＝，故选D． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (法二)圆心(2，3)到渐近线y＝2x的距离d＝， 所以|AB|＝2，故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．(多选题)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：的离心率为，则(　　) A．C的右顶点坐标为 B．C的焦距为4 C．C的渐近线方程为y＝±2x D．直线y＝3x与C有两个交点 √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ABC　[双曲线中b＝4，c＝，离心率⇒a＝2，则c＝2，双曲线C的右顶点为，A选项正确；双曲线的焦距为2c＝4，B选项正确；双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±2x，C选项正确；直线y＝3x过原点，且斜率为3，大于渐近线的斜率2，所以直线y＝3x与双曲线没有交点，D选项错误．故选ABC．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 56 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 5．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的焦距为8，直线x－2y＝0与双曲线C交于A，B两点，定点M(－a，2b)，若|MA|＝|MB|，则双曲线C的方程为(　　) A．＝1 　 B．＝1 C．＝1 　 D．＝1 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 57 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[如图所示，不妨设直线与双曲线的左支交于点A，与双曲线的右支交于点B．因为双曲线C的焦距为8，所以c＝4，所以a2＋b2＝c2＝16．连接OM，因为直线x－2y＝0与双曲线C交于A，B两点，所以点A，B关于坐标原点O对称，因此|OA|＝|OB|，又|MA|＝|MB|，所以在△MAB中，OM⊥AB，因此kOM·kAB＝－1，即＝－1，所以a＝b． 由解得a2＝b2＝8，故所求双曲线的方 程为＝1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 58 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．若点O和F分别为双曲线－y2＝1的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为_______________． 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 59 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[设P(x，y)，则＝(x，y)，由题意得a＝，b＝1，所以c＝2，即F(－2，0)，所以＝(x＋2，y)，所以＝x(x＋2)＋y2＝，又x≥，所以当x＝时，有最小值3＋2，所以的取值范围为 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 60 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为_____________． 　[由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝k(x－3)过定点(3，0)．因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝±．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 61 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点到渐近线的距离为3．现有如下条件： ①双曲线C的离心率为；②双曲线C与椭圆C′：＝1共焦点；③双曲线右支上的一点P到F1，F2的距离之差是虚轴长的倍． 请从上述三个条件中任选一个，得到双曲线C的方程为_________． ＝1　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 62 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ＝1　[依题意，双曲线C：＝1(a>0，b>0)，渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0， 右焦点(c，0)到渐近线的距离为3， 故＝3，即b＝3． 若选①，双曲线C的离心率为，故． 又b＝3，且a2＋b2＝c2，所以a＝4，c＝5， 故双曲线C的方程为＝1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 63 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 若选②，椭圆C′：＝1的焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，故c＝5；又a2＋b2＝c2，故a＝4， 故双曲线C的方程为＝1． 若选③，依题意，设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，故|PF1|－|PF2|＝·2b，故a＝4， 故双曲线C的方程为＝1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 64 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点在双曲线C上． (1)求双曲线C的标准方程； (2)直线l过点F2且与双曲线C交于A，B两点，且AB的中点的横坐标为－2，求直线l的方程． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 65 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)由题意有 解得 因此，双曲线C的标准方程为－y2＝1． (2)由题意知，直线l的斜率存在， 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 66 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 并设直线l的方程为y＝k， 联立方程 消去y整理得(1－4k2)x2＋8k2x－(20k2＋4)＝0，所以x1＋x2＝， 得k＝±，满足直线与双曲线相交， 因此，直线l的方程为y＝±． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 67 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 10．中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图(1)，这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部(图(2))外形上下对称，基本可看作是离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面．若该颈部中最细处直径为16 cm，瓶口直 径为20 cm，则颈部高为(　　) A．10 cm 　 B．20 cm C．30 cm 　 D．40 cm 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 68 B　[依题意建立平面直角坐标系(图略)，并设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，由双曲线的性质可知，该颈部中最细处直径为实轴长，即2a＝16，可得a＝8，又离心率e＝，所以c＝，所以双曲线的方程为＝1． 因为瓶口直径为20 cm，即可知瓶口最右侧横坐标为10， 将x＝10代入双曲线方程可得＝1，解得y＝±10，所以颈部高为20 cm．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．(多选题)已知F1，F2分别是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝λ|PF2|，则下列结论正确的是(　　) A．若λ＝，则双曲线离心率的取值范围为 B．若λ＝，则双曲线离心率的取值范围为 C．若λ＝7，则双曲线离心率的取值范围为 D．若λ＝7，则双曲线离心率的取值范围为 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 70 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 BC　[若λ＝＝6|PF1|＝2a，所以|PF1|＝≥c－a，得1<e＝；若λ＝7，则|PF1|＝7|PF2|，|PF1|－|PF2|＝6|PF2|＝2a，|PF2|＝≥c－a，得1<e＝．故选BC．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 71 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________． 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 72 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入＝1， 得y＝±，即A＝＝10，|AF2|＝＝5， 又|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20， 故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 73 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F作垂直于x轴的直线与双曲线C交于M，N两点，与双曲线的渐近线交于P，Q两点．若＞，记过第一、三象限的双曲线C的渐近线为l1，则l1的倾斜角的取值范围为________，离心率的取值范围为________． 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 74 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[如图，在双曲线C：＝1中，取x＝c，可得y＝±，所以|MN|＝．分别在双曲线的渐近线y＝x与y＝－x上取x＝c，求得|PQ|＝． 由＞，得＞，即c2＞2b2， 所以a2＋b2＞2b2，所以0＜＜1， 所以l1的倾斜角的取值范围为， 所以1<e2＝＋1＜2，所以e的取值范围为．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 75 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．已知双曲线C的焦点F，双曲线C上一点P到F的最短距离为． (1)求双曲线的标准方程和渐近线方程； (2)已知点M(0，1)，设P是双曲线C上的点，Q是P关于原点的对称点．设λ＝，求λ的取值范围． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 76 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)∵双曲线C的焦点F，双曲线C上一点P到F的最短距离为，可设双曲线的方程为＝1，∴c＝，∴a＝， ∴b2＝c2－a2＝2－2＝1， 则双曲线的方程为－y2＝1， 令－y2＝0，则y＝±x， 即渐近线方程为y＝±x． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 77 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (2)设P的坐标为(x0，y0)，则Q的坐标为(－x0，－y0)， ∴λ＝＝(x0，y0－1)·(－x0，－y0－1)＝－ ＋2． ∵|x0|≥， ∴λ的取值范围是(－∞，－1]． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 78 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．是否存在同时满足下列条件的双曲线？若存在，求出其方程；若不存在，请说明理由． ①渐近线方程为x＋2y＝0及x－2y＝0； ②双曲线上动点P到点A(5，0)的距离的最小值为． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 79 [解]　假设存在同时满足题中的两个条件的双曲线． 若双曲线的焦点在x轴上， 由条件①，设双曲线的方程为＝1(b>0，x≥2b)． 设双曲线上动点P的坐标为(x，y)，则|AP|＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 结合条件②，若2b≤4，即b≤2，则当x＝4时，＝－1，无解；若2b>4，即b>2，则当x＝2b时，＝|2b－5|＝，解得b＝，此时存在满足条件①②的双曲线，它的方程为＝1． 若双曲线的焦点在y轴上，由条件①，设双曲线的方程为＝1(b>0，x∈R)，∴|AP|＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ∵x∈R，∴当x＝4时，|AP|最小，|AP|min＝． ∴b2＝1． 此时存在满足条件①②的双曲线，其方程为y2－＝1． 综上所述，所满足的双曲线为＝1或y2－＝1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 谢 谢！ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.6.2　双曲线的几何性质 $