重点题型强化（三） 与圆有关的最值问题-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

[学习目标] 知识层面 1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题．　2.初步了解代数方法处理几何问题的思想. 素养层面 通过处理与圆有关的最值问题，进一步提升直观想象、逻辑推理及数学运算素养. 题型一　与距离有关的最值 (1)已知点P是圆 C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0上一点，点Q(－1，5)，则线段PQ长度的最大值为(　　) A．3 B．5 C．7 D．9 (2)过圆2＋y2＝1外一直线l：y＝x＋2上一动点P作圆的切线，则切线长最小值为________． 答案：(1)C　(2) 解析：(1)圆 C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝4，则圆心C(2，1)，半径2，由点Q(－1，5)，则＝＝5>2，即点Q在圆外，则max＝＋r＝5＋2＝7.故选C. (2)如图所示，过直线l：y＝x＋2上任意一点P作圆Q：2＋y2＝1的切线，设切点为R， 由题意圆Q：2＋y2＝1的圆心坐标为Q，半径为r＝1，则切线长＝＝＝，若要切线长最小，则只需最小即可，而的最小值即为点Q到直线l：y＝x＋2的距离，因此的最小值为d＝＝，从而切线长的最小值为min＝＝＝. 　　方法技巧 与距离有关的最值问题 类型 最值 图示 圆外一点到圆上任意一点距离 最小值＝d－r， 最大值＝d＋r 直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离 最小值＝d－r， 最大值＝d＋r 过圆内一定点的直线被圆截得的弦长 最小值＝2，最大值＝2r 直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线 切线长的最小值＝ 对点练1．(1)(2024·贵州铜仁高二质量监测)已知直线l：x＋y－2＝0和圆O：x2＋y2＝1，若点P在圆O上运动，则其到直线l的最短距离为(　　) A．－1 B．＋1 C． D．2 (2)(2024·重庆高二月考)直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋1＝0与圆C：x2－4x＋y2＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值是(　　) A．0 B．2 C．2 D．4 答案：(1)A　(2)C 解析：(1)圆O：x2＋y2＝1的圆心O，r＝1，所以O点到直线l：x＋y－2＝0的距离为d＝＝>r，知直线l与圆O相离，由点P在圆O上运动，则其到直线l的最短距离为d－r＝－1.故选A. (2)根据题意，圆C：x2－4x＋y2＝0即(x－2)2＋y2＝4，圆心C的坐标为(2，0)，半径r＝2，直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋1＝0，即m(x－y)＋(－2x＋y＋1)＝0，由解得则直线l恒过定点M(1，1)，又(1－2)2＋12＝2<4，即点M(1，1)在圆C内，所以当直线l与CM垂直时，弦|AB|最小，此时|CM|＝＝，则|AB|的最小值为2＝2.故选C. 题型二　与面积有关的最值 (1)已知直线l：x＋y－3＝0上的两点A，B，且＝1，点P为圆D：x2＋y2＋2x－3＝0上任一点，则△PAB的面积的最大值为(　　) A．＋1 B．2＋2 C．－1 D．2－2 (2)已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，)，则四边形ABCD面积的最大值为(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 答案：(1)A 　(2)A 解析：(1)把圆D：x2＋y2＋2x－3＝0变形为(x＋1)2＋y2＝4，则圆心D，半径r＝2，圆心D到直线l：x＋y－3＝0的距离d＝＝2，则圆D上的点到直线AB的距离的最大值为d＋r＝2＋2，又＝1，所以△PAB的面积的最大值为××1＝＋1.故选A. (2)如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，则|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝3，所以|AC|2＋|BD|2＝4(4－|OP|2)＋4(4－|OQ|2)＝32－4(|OP|2＋|OQ|2)＝20.又|AC|2＋|BD|2≥2|AC|·|BD|，则|AC|·|BD|≤10，所以S四边形ABCD＝|AC|·|BD|≤×10＝5，当且仅当|AC|＝|BD|＝时，等号成立，所以四边形ABCD面积的最大值为5.故选A. 方法技巧 求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．　　 学生用书↓第76页 对点练2．过直线l：3x＋4y－1＝0上一点P作圆M：x2＋(y－4)2＝1的两条切线，切点分别是A，B，则四边形MAPB的面积最小值是(　　) A．1 B． C．2 D．2 答案：D 解析：由题意，圆M：x2＋(y－4)2＝1的圆心M到直线l：3x＋4y－1＝0的距离d＝＝3，故的最小值是3，又因为＝1，则＝≥2，故△AMP的面积的最小值是S＝×1×2＝，故四边形MAPB的面积的最小值是2.故选D. 题型三　利用代数式的几何意义求解最值 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求： (1)的最值； (2)y－x的最值； (3)x2＋y2的最值． 解：原方程可化为2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆． (1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx， 当直线y＝kx与圆相切时，如图①所示，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－. (2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．如图②所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±， 所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. (3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2， 所以x2＋y2的最大值是2＝7＋4，x2＋y2的最小值是2＝7－4. 方法技巧 1．(1)形如t＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线的斜率的最值问题． (2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题． (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题． 2．求解策略一般是根据所求最值的几何意义找圆心和半径，将数与形结合起来，用平面几何的性质求解． 对点练3．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．(1)求的最大值和最小值； (2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值； (3)求x＋y的最大值与最小值． 解：方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4. (1)表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图①所示，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小． 设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0， 由圆心C(3，3)到切线的距离等于半径2，可得＝2，解得k＝， 所以的最大值为，最小值为. (2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E(－1，0)的距离的平方再加2， 所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图②所示，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为|P1E|＝|CE|＋2，点P与点E距离的最小值为|P2E|＝|CE|－2.又|CE|＝＝5， 所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11. (3)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图③所示， 显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值， 此时圆心C(3，3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，则＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2， 所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2. 学科网（北京）股份有限公司 $