专题2.9 圆与圆的位置关系（高效培优讲义）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题2.9 圆与圆的位置关系 教学目标 （1）掌握圆与圆的位置关系及判定方法； （2）圆的方程判断圆与圆的位置关系； （3）能够在具体问题情境中选择合适的判断方法。 教学重难点 教学重点:圆与圆的位置关系的判断方法； 教学难点:正确判断圆与圆的位置关系。 知识点01圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系 (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 2、圆与圆的位置关系的判定 2.1几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. 2.2代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与相交 ②与相切（内切或外切） ③与相离（内含或外离） 【即学即练】已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径间的关系判断即可. 【详解】，圆心，半径， 可化简为， 则圆的圆心为，半径， ，所以两圆相交. 故选：C. 知识点02 圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 【即学即练】已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ． 【答案】 【分析】两圆方程相减后可得公共弦的方程. 【详解】由题设可得的方程为：， 整理得：， 故答案为： 知识点03圆与圆的公切线 1、公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 2、公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离求解 【即学即练】已知圆与圆有三条公切线，则（    ） A．5 B．16 C．32 D．36 【答案】C 【分析】根据两圆有三条公切线可判断两圆外切，再利用两圆外切的判定方法列方程即得. 【详解】由可知圆心为，半径为2； 由可知且圆心为，半径为. 因两个圆有三条公切线可知两圆外切， 即， 解得：. 故选：C. 知识点04 圆系方程 以为圆心的同心圆圆系方程：； 与圆同心圆的圆系方程为； 过直线与圆交点的圆系方程为 过两圆，圆：交点的圆系方程为 （，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 题型01判断圆与圆的位置关系 【典例1】圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】由圆的标准方程可知圆心坐标与半径，比较圆心距与半径和差的大小，可得答案. 【详解】由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 则，，， 由，则两圆相交. 故选：C. 【变式1】圆与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．外离 C．内含 D．相交 【答案】B 【分析】将两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据圆心距与半径和差的大小关系判断圆与圆的位置关系即可. 【详解】圆即，圆心为，半径为； 圆即，圆心为，半径为； 圆心距为，因为，所以两个圆外离. 故选：B 【变式2】已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 【答案】B 【分析】判断两圆心之间的距离与半径之和的关系即可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆化简为标准方程为，故其圆心为，半径为， 故， 故圆与圆的位置关系为相切. 故选：B. 【变式3】圆与圆的位置关系不可能为（ ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 【答案】C 【分析】求解两圆的圆心和半径，计算圆心距和两半径之间的关系，即可求解. 【详解】， 故的圆心为，半径为， ， 故的圆心为，半径为， 故，当且仅当时，等号成立，而， 当时，两圆外离或相交，时，两圆内切， 故两圆不可能内含. 故选：C 【变式4】已知圆与圆，则两圆的位置关系是 . 【答案】内切 【分析】依题意，求出两圆的圆心距和半径后即可判断. 【详解】因为圆，圆， 所以圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以，所以两圆的位置关系为内切. 故答案为：内切. 题型02 求两圆交点坐标 【典例1】圆 与圆 的交点坐标为（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】联立两圆的方程，解方程组，即可求得答案. 【详解】由,可得，即， 代入，解得或， 故得或, 所以两圆的交点坐标为和, 故选:C 【变式1】已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 【答案】 【分析】将两圆方程联立解方程组即可求得该点坐标. 【详解】联立两圆方程，解得或， 即可得这点的坐标为. 故答案为： 【变式2】圆与的交点坐标为 . 【答案】和 【分析】联立两圆的方程即可求解. 【详解】联立，两式相减得，将其代入中得或，进而得或， 所以交点坐标为 故答案为：和 【变式3】圆与圆的交点坐标为 . 【答案】 【分析】将两个圆的方程联立，解方程组求解即可. 【详解】联立两个圆的方程：，方程带入，先得到 ，在联立，得到，解得或，对应的值为或，于是得到两圆交点：. 故答案为：. 题型03 由圆的位置关系确定参数 【典例1】若圆与圆有且仅有三条公切线， ． 【答案】 【分析】根据条件直接求出两圆的圆心和半径，再利用两圆的位置关系，即可求解. 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 由，得到， 则，即，圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆有且仅有三条公切线，所以圆与圆外切， 则，即，解得， 故答案为：. 【变式1】已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两圆位置关系构造不等式求解即可. 【详解】由题可得， 解得：． 故选：B 【变式2】已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两圆恰有两条公切线时两圆相交，即圆心距满足，列不等式即可求出的取值范围． 【详解】由圆与圆恰有两条公切线，得圆与圆相交， 而圆心，半径，圆心，半径，则 ， 因此，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 【变式3】（多选）已知圆与圆相切，则的取值可以为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】BC 【分析】根据两圆相外切和相内切两种情况，列式求解. 【详解】若这两个圆外切，则， 两边平方后，解得或3； 若这两个圆内切，则， 解得. 故选：BC 【变式4】已知圆和圆有一个公共点，则的值为 ． 【答案】或 【分析】由两圆位置关系构造方程求解即可. 【详解】圆和圆有一个公共点，则两圆内切或外切， 由题可得，解得或． 故答案为：或 题型04由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【典例1】已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆的标准方程得出圆心及半径，再设点应用圆外切得出化简得出轨迹方程. 【详解】圆的标准方程为，所以圆的圆心为，半径． 因为圆与圆外切，且半径为3，所以点与点的距离． 设，则，化简得， 故选:C. 【变式1】圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过点关于直线对称求圆的圆心和半径来求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为. 所以圆的半径为，设圆心为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：A 【变式2】写出一个半径为，且与圆：及直线：都相切的圆的方程 只需写出符合条件的一个方程即可 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意列式计算即可. 【详解】设圆心，由已知圆与直线：相切，圆与圆：相切， 可得，解得或或， 圆的方程为或或．（写其中一个即可） 故答案为：（答案不唯一） 【变式3】与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据题意可知圆的圆心和半径，结合外切可得所求圆的半径，即可得结果. 【详解】因为，即， 可知圆心，半径， 则， 由题意可得圆的半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 【变式4】已知圆，直线过点且与圆相切． (1)求直线的方程； (2)设圆与圆关于直线对称，求出圆的方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在圆上，切线与半径所在直线垂直，求出切线斜率，利用点斜式求切线方程； （2）根据对称性先确定圆心的坐标，再根据两圆半径相等可得圆的方程. 【详解】（1）如图： 由题可得圆心，， 因为，所以点在圆上，即点为切点， 因，故直线的斜率为， 故直线的直线方程为，即. （2）因为圆与圆关于直线对称，所以点恰为的中点， 故得，又圆的半径为，故. 题型05 相交圆的公共弦方程 【典例1】若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB所在的直线方程为 ． 【答案】 【分析】因为两点是两圆公共的交点，即满足两圆方程，联立求解即可求得直线方程. 【详解】由题意可知两点均在两个圆上，即两点均满足两圆的方程， 也即是两个圆方程共同的解，故联立两个圆方程，得 ，解得或， 故或， 两种情况下公共弦所在的直线方程均为. 故答案为：. 【变式1】圆与圆交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两圆方程相减即可求解； 【详解】①，②，. ②−①化简可得， 方程为， 故选：A． 【变式2】已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程. 【详解】∵，， ∴两圆方程相减得，，化简得. 故选：B. 【变式3】圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程相减即可求解； 【详解】由圆与圆方程相减可得： ， 所以公共弦所在的直线方程为， 故选：A 【变式4】已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在的直线方程为 . 【答案】 【分析】将两圆作差即可求解. 【详解】：和圆：的圆心和半径分别为, 故，故两个圆相交， 因此公共弦所在的直线方程为，即， 故答案为： 题型06 两圆的公共弦长 【典例1】两圆和的公共弦长为 ． 【答案】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，再两圆方程作差得到公共弦方程，求出圆心到直线的距离，最后由勾股定理计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 又，所以，即两圆相交， 两圆方程作差得到公共弦方程为， 又圆心到公共弦的距离， 所以公共弦长为. 故答案为： 【变式1】已知圆与圆交于、两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程作差得到公共弦方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得. 【详解】圆即，圆心，半径； 圆即，圆心，半径， 因为，则，所以两圆相交， 则两圆的公共弦方程为， 则到的距离， 所以. 故选：A 【变式2】已知圆，圆，两圆的交点为，，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】联立两圆方程得到公共弦所在直线方程，利用点到直线的距离公式，结合几何法求弦长计算即可求解. 【详解】由得， 所以圆和圆的公共弦所在直线方程为， 圆的圆心为，半径， 到公共弦所在直线的距离为， 所以. 故选：C. 【变式3】圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径，然后通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合勾股定理求出弦长. 【详解】法1，两圆与圆均过点，，弦长为. 法2，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程， 圆的圆心到直线的距离， 故公共弦长为. 故答案为：. 【变式4】已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 . 【答案】 【分析】先求出相交两圆的公共弦所在直线方程，再求出圆心到公共弦直线的距离，根据弦长公式即可求得公共弦长. 【详解】    如图，由圆与圆相减， 整理可得两圆的公共弦所在直线方程为：， 由圆的圆心到直线的距离为， 由弦长公式，可得两圆的公共弦长为. 故答案为：. 题型07 圆的公切线条数 【典例1】已知圆和圆，则圆与圆的公切线有 条. 【答案】 【分析】先判断两圆的位置关系，得到公切线的条数即可 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为， 的圆心坐标为，半径为， 则圆心距为， 故两圆外切，则两圆的公切线的条数是3条， 故答案为：3 【变式1】已知圆，圆，则这两个圆的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由圆的方程表示出圆心与半径，求得圆心距以及半径的和差，并进行比较，可得答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的方程可化为， 圆的圆心为，半径为， 圆心距， 因为，，， 所以两个圆的位置关系是相交，公切线共有2条. 故选：B. 【变式2】已知圆及圆，则与圆都相切的直线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距和两半径的关系得到两圆内切，从而得到公切线条数. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的标准方程为，圆心，半径， 所以，圆内切， 所以与圆都相切的直线只有1条． 故选：A． 【变式3】已知圆与圆，则两圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】求出两圆的位置关系，即可得出圆的公切线的条数． 【详解】因为圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则两圆的圆心的距离为，又， 则两圆的圆心的距离等于两圆的半径之和，所以两圆外切， 所以有3条公切线． 故选：C. 【变式4】圆与圆的公切线的条数是 条． 【答案】3 【分析】确定两圆的位置关系，进而求出公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以两圆的公切线条数是3. 故答案为：3 题型08 圆的公切线方程 【典例1】平面上有两个圆，它们的方程分别是和，求这两个圆的内公切线方程． 【答案】 【分析】判断出两圆外切，两圆的方程相减可得答案. 【详解】圆，圆心，半径， 圆， 其圆心，半径， ，∴这两圆外切， ∴， 可得， ∴所求的两圆内公切线的方程为：． 【变式1】已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 【答案】，，（三个方程写出一个即给满分） 【分析】据圆与圆的位置关系得到两个圆的公切线的条数，然后结合图像写出公切线方程. 【详解】因为，的半径均为1，则外切，结合图像可知，的公切线方程为，，． 故答案为：，， 【变式2】圆与圆C关于直线对称，写出两圆的一条公切线： . 【答案】答案不唯一 【分析】求出关于直线对称点的坐标，写出圆C的方程，判断出圆O和圆C的位置关系，设与OC平行的公切线方程为，即，利用点到直线的距离关系，即可求出结果. 【详解】设关于直线对称点的坐标为， 则，解得， 圆C的方程是，其圆心坐标为，半径为1， 两圆的圆心距， 所以两圆外离，且， 设与OC平行的公切线方程为，即， 则由O到直线的距离，可得，解得， 所以两圆的一条公切线为或， 另外，根据对称性可知，，也为两圆的公切线. 故答案为：答案不唯一 【变式3】已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为 . 【答案】 【分析】根据两圆公切线的条数确定两圆的位置关系，从而求出的值，进一步可求公切线方程. 【详解】因为圆：，则，半径为， 由可得圆心为原点，半径为， 因为圆与圆有且只有一条公切线，所以两圆内切. 所以，又，所以. 所以圆：即. 所以两圆方程相减可得圆与圆的公切线为：即. 故答案为： 【变式4】已知圆，圆，则两圆公切线的方程为 . 【答案】 【分析】根据标准方程确定圆心、半径，进而得到两圆位置关系为内切，确定切点即可写出公切线方程. 【详解】由，圆心为，半径为， 由，圆心为，半径为， 显然，即两圆内切，且切点为， 所以两圆公切线的方程为. 故答案为： 题型09圆的公切线长 【典例1】圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 【变式1】圆与圆的一条公切线长为 （填入一个答案即可）． 【答案】或（填一个即可） 【分析】先判断圆与圆的位置关系，即可得公切线情况，利用几何关系即可求出公切线的长. 【详解】由题意得，，，，，故两圆相离，有四条公切线．如图，    设四条公切线分别为直线、直线、直线、直线，且交于点． 由对称性可知，．连接，过作，垂足为，连接， 则四边形为矩形，所以．连接． 易知，所以．又，所以． 所以在中，，所以． 故两圆的一条公切线长为或． 故答案为：或（填一个即可）. 【变式2】求圆与圆的内公切线所在直线方程及内公切线的长． 【答案】或，8 【分析】利用两圆的圆心在轴得到内公切线的交点也在轴上，再利用几何性质可求的坐标，最后利用内公切线和圆相切得到其斜率，从而可求其直线方程. 【详解】，，，． 设内公切线与连心线交于点，则在轴上且． 设，可得，． 设内公切线所在直线方程为，即． 由，得． 所以内公切线所在直线方程为或． 内公切线的长为． 【点睛】当两圆相离时，两圆有两条外公切线和内公切线，求它们的直线方程时，应先利用几何性质求出外公切线的交点、内公切线的交点，它们和两圆的圆心在一条直线上，再利用相切求出斜率. 1．圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两圆的方程整理成一般式，化简后相减得到一个二元一次方程即得. 【详解】将两个圆的方程化为一般式，分别为和， 作差整理得，即为所求． 故选：B. 2．圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．内切 C．外离 D．相交 【答案】D 【分析】根据圆心距和半径的关系即可求解. 【详解】的圆心和半径为，，的圆心和半径为，, 故,,故两圆相交， 故选：D 3．圆与圆的公切线有且仅有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】A 【分析】判断两圆的位置关系，根据两圆位置关系确定公切线的条数. 【详解】圆：，所以，. 圆：，所以，. 因为，，所以. 所以圆与圆相离.所以两圆有4条公切线. 故选：A 4．已知圆与圆恰有三条公切线，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据两圆有三条公切线得出两圆相外切，再应用两圆心间距离等于半径和列式求解. 【详解】由题意的标准方程分别为， 则两圆恰有三条公切线， 两圆相外切，圆：，圆：， ． 故选：C． 5．若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆的公切线数量得出两点间距离范围，再结合一元二次不等式求解即可. 【详解】因为圆：与圆：有且仅有2条公切线， 所以圆：与圆：相交， 所以， 所以或. 故选:D. 6．若点关于直线对称的点在圆上，且在第一象限内，则实数的值为（       ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知确定点关于直线对称的点在圆上，易得对称点为圆和圆的交点，求出交点坐标，利用垂直关系求参数k. 【详解】显然在圆上，又直线经过该圆的圆心， 所以点关于直线对称的点在圆上， 又点关于直线对称的点在圆上， 所以对称点为圆和圆的交点，联立得交点为（舍去第四象限的点）， 所以与两点所在直线，与垂直，故. 故选：D. 7．圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【答案】B 【分析】利用圆的方程求得公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式，求得弦心距，根据弦长公式建立方程，求得参数，结合圆的方程成立条件检验，可得答案. 【详解】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 由圆，则圆心，半径， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦长为，则，解得或， 由圆，整理可得， 则，所以或. 故选：B. 8．已知，若两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（    ）． A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将两圆方程化为标准方程，根据两圆恰有一条公切线得出两圆的位置关系，进而得到满足的关系式，最后利用三角换元求出的最大值. 【详解】圆，即，圆心，半径 圆，即，圆心，半径 两圆恰有一条公切线，说明两圆内切，圆心距等于半径之差： 令，则最大值为 故选：B. 9．（多选）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A． B．点在圆的外部 C．圆与圆外切 D．当直线平分圆的周长时， 【答案】ABC 【分析】由已知圆半径确定参数，即可判断A；由点与圆心的距离与半径的关系判断B；由圆心距与两圆半径和差关系判断C；由直线过圆心求参数判断D. 【详解】根据题意得，解得，A正确． 由选项A可知，圆，圆心为，半径为2．因为，所以点在圆的外部，B正确． 圆的圆心为，半径为8，因为， 所以圆与圆外切，C正确． 若直线平分圆的周长，则直线过圆心，则，解得，D错误． 故选：ABC． 10．已知分别为圆与圆上一点，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】首先根据两个圆的方程判断两个圆的位置关系，从而确定点之间距离的最小值. 【详解】因为圆，圆， 所以圆心，圆的半径为1；圆心，圆的半径为1. 两圆心之间的距离为，所以两圆相离. 所以的最小值为. 故答案为：2. 11．已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上． (1)求圆的方程； (2)圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据直线的两点式方程，结合圆的切线性质进行求解即可； （2）根据两圆的一般方程，利用作差法进行求解即可, 【详解】（1）经过点与点的直线方程为． 由题意可得，圆心在直线上， 由，解得圆心坐标为， 故圆的半径为4． 则圆的方程为； （2）∵圆的方程为 即， 圆：， 两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为． 12．已知圆：（），点，圆与直线相切. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若圆与圆公共弦的长度为，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由圆与直线相切，求出圆的半径，得到圆的方程，然后由圆与圆相交，求解即可； （2）由圆与圆相交，求出公共弦所在直线的方程，计算圆心到公共弦所在直线的距离，由弦长公式计算即可. 【详解】（1）因为圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离是圆的半径. 所以圆的方程为. （或者）. 因为圆：（）的圆心为， 半径为，且两个圆相交，所以， 即，解得. （2）圆与圆交点满足方程组， 所以两圆公共弦所在的直线方程为， 圆心到公共弦所在直线的距离为， 因为两圆的公共弦长为，所以， 整理得，解得或， 由（1）可知，或均符合题意. 13．在平面直角坐标系中，圆C经过点和点，且圆心C在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)已知圆的方程为，请问圆与圆会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不相交，请说明理由. 【答案】(1) (2)相交， 【分析】（1）利用圆的几何性质-弦的中垂线经过圆心，结合题设条件求得圆心和半径，即得圆的方程； （2）先利用两圆的位置关系判断即得圆C与圆相交，根据两圆的方程求出过两交点的直线方程.再由圆的弦长公式，计算即得弦长. 【详解】（1）因，则线段的中点的坐标为， 且直线的斜率, 于是线段的垂直平分线所在直线方程为 ,   则由，解得，        ∴圆心，半径,                     ∴圆的方程为； （2）由圆得：    ∴ 圆心，半径， ∵ 圆的圆心坐标为，半径， 由，， 因 ，故圆与圆相交 ； 设圆与圆的两个交点分别为点，如图， 由左右分别相减，整理得, ∴直线的方程为, ∴ 圆心到直线的距离 , ∴， 综上：圆与圆相交，两圆的公共弦长为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.9 圆与圆的位置关系 教学目标 （1）掌握圆与圆的位置关系及判定方法； （2）圆的方程判断圆与圆的位置关系； （3）能够在具体问题情境中选择合适的判断方法。 教学重难点 教学重点:圆与圆的位置关系的判断方法； 教学难点:正确判断圆与圆的位置关系。 知识点01圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系 (1)圆与圆相交，有 公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有 公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)， 公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 2、圆与圆的位置关系的判定 2.1几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当 时，两圆相交； ②当 时，两圆外切； ③当 时，两圆外离； ④当 时，两圆内切； ⑤当 时，两圆内含. 2.2代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与 ②与 ③与 【即学即练】已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 知识点02 圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 【即学即练】已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ． 知识点03圆与圆的公切线 1、公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有 外公切线和 内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有 外公切线和 内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有 外公切线； （4）两圆内切时，只有 外公切线； （5）两圆内含时， 公切线． 2、公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离求解 【即学即练】已知圆与圆有三条公切线，则（    ） A．5 B．16 C．32 D．36 知识点04 圆系方程 以为圆心的同心圆圆系方程：； 与圆同心圆的圆系方程为； 过直线与圆交点的圆系方程为 过两圆，圆：交点的圆系方程为 （，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 题型01判断圆与圆的位置关系 【典例1】圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【变式1】圆与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．外离 C．内含 D．相交 【变式2】已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 【变式3】圆与圆的位置关系不可能为（ ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 【变式4】已知圆与圆，则两圆的位置关系是 . 题型02 求两圆交点坐标 【典例1】圆 与圆 的交点坐标为（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【变式1】已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 【变式2】圆与的交点坐标为 . 【变式3】圆与圆的交点坐标为 . 题型03 由圆的位置关系确定参数 【典例1】若圆与圆有且仅有三条公切线， ． 【变式1】已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）已知圆与圆相切，则的取值可以为（    ） A． B． C．3 D．4 【变式4】已知圆和圆有一个公共点，则的值为 ． 题型04由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【典例1】已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1】圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】写出一个半径为，且与圆：及直线：都相切的圆的方程 只需写出符合条件的一个方程即可 【变式3】与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为 . 【变式4】已知圆，直线过点且与圆相切． (1)求直线的方程； (2)设圆与圆关于直线对称，求出圆的方程； 题型05 相交圆的公共弦方程 【典例1】若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB所在的直线方程为 ． 【变式1】圆与圆交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在的直线方程为 . 题型06 两圆的公共弦长 【典例1】两圆和的公共弦长为 ． 【变式1】已知圆与圆交于、两点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知圆，圆，两圆的交点为，，则（   ） A． B．1 C． D．2 【变式3】圆与圆的公共弦长为 . 【变式4】已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 . 题型07 圆的公切线条数 【典例1】已知圆和圆，则圆与圆的公切线有 条. 【变式1】已知圆，圆，则这两个圆的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】已知圆及圆，则与圆都相切的直线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】已知圆与圆，则两圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4】圆与圆的公切线的条数是 条． 题型08 圆的公切线方程 【典例1】平面上有两个圆，它们的方程分别是和，求这两个圆的内公切线方程． 【变式1】已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 【变式2】圆与圆C关于直线对称，写出两圆的一条公切线： . 【变式3】已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为 . 【变式4】已知圆，圆，则两圆公切线的方程为 . 题型09圆的公切线长 【典例1】圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【变式1】圆与圆的一条公切线长为 （填入一个答案即可）． 【变式2】求圆与圆的内公切线所在直线方程及内公切线的长． 1．圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．内切 C．外离 D．相交 3．圆与圆的公切线有且仅有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 4．已知圆与圆恰有三条公切线，则（   ） A． B．1 C． D．2 5．若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．若点关于直线对称的点在圆上，且在第一象限内，则实数的值为（       ） A． B．2 C． D． 7．圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 8．已知，若两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（    ）． A． B． C．2 D． 9．（多选）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A． B．点在圆的外部 C．圆与圆外切 D．当直线平分圆的周长时， 10．已知分别为圆与圆上一点，则的最小值为 . 11．已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上． (1)求圆的方程； (2)圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程． 12．已知圆：（），点，圆与直线相切. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若圆与圆公共弦的长度为，求的值. 13．在平面直角坐标系中，圆C经过点和点，且圆心C在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)已知圆的方程为，请问圆与圆会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不相交，请说明理由. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$