2.3.4 圆与圆的位置关系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

2．3.4　圆与圆的位置关系 [学习目标] 知识层面 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法．　2.了解两圆相离、相交或相切时一些简单的几何性质的应用．　3.掌握利用圆的对称性灵活解决问题的方法. 素养层面 通过学习圆与圆的位置关系，培养直观想象核心素养；借助圆与圆的位置关系的应用，培养数学运算核心素养. 问题．观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系． (1)圆与圆之间有几种位置关系？ (2)能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系？ 提示：(1)5种. (2)可以，可以借助圆的方程通过代数法和几何法两种途径判断． 知识点　圆与圆的位置关系 圆C1：(x－a)2＋(y－b)2＝r与圆C2：(x－c)2＋(y－d)2＝r的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表： 位置关系 几何法 代数法 图示 外离 |C1C2|＞r1＋r2 Δ＜0 外切 |C1C2|＝r1＋r2 Δ＝0 相交 |r1－r2|＜|C1C2| ＜r1＋r2 Δ＞0 内切 |C1C2|＝|r1－r2| Δ＝0 内含 |C1C2|＜|r1－r2| Δ＜0 微提醒 应用代数法判定两圆位置关系时应注意： 1．Δ＞0时，两圆有两个公共点，相交； 2．Δ＝0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切； 3．Δ＜0时，两圆无公共点，包括内含与外离．　　 学生用书↓第72页 [微思考1]　当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆一定外离吗？ 提示：不一定，还可能两圆内含． [微思考2]　当两相交圆的方程相减，可得一条直线方程，这条直线方程具有什么特性？ 提示：该直线方程是两圆的公共弦所在的直线方程． 1．设圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，则圆C1与C2的位置关系是(　　) A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 答案：B 解析：方法一：画出两圆，如图所示，由图可直观得出两圆外离． 方法二：根据题意，可知圆C1的半径r1＝1，圆C2的半径r2＝1，且圆C1与圆C2的圆心距d＝＝2>1＋1，即d>r1＋r2，故两圆外离． 方法三：将两圆的方程联立， 得到方程组 即消去x2，y2，得x－y－2＝0.将其代入圆C1的方程中消去y，得2x2－4x＋3＝0，所以Δ＝16－4×2×3＝－8<0，所以方程无实数解，即两圆相离．因为两圆半径相等，所以不会出现内含的情况，故两圆外离． 2．(多选)圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为(　　) A．2 B．－5 C．－2 D．5 答案：AB 解析：圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径为2.依题意有＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5. 3．已知以C(－4，3)为圆心的圆与圆x2＋y2＝1外切，则圆C的方程为________． 答案：(x＋4)2＋(y－3)2＝16 解析：设圆C的半径长为r，则(x＋4)2＋(y－3)2＝r2.由题意得两圆圆心距d＝＝5.因为两圆外切，所以圆心距为两圆半径长之和，即5＝r＋1，解得r＝4.故圆C的方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝16. 4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程为____________． 答案：x＋3y＝0 解析：两圆方程相减得x＋3y＝0. 题型一　圆与圆位置关系的判断 (链教材P119例1)已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)， 圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． [思路点拨]求圆C1，圆C2的半径r1，r2→求|C1C2|→比较|C1C2|与|r1－r2|，r1＋r2的大小→得出结论 解：圆C1，C2的方程，经配方后可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， 所以圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1. 所以|C1C2|＝＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交． (3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离． (4)当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含． 方法技巧 判断圆与圆的位置关系的一般步骤： 1．将两圆的方程化为标准方程(若圆的方程已是标准形式，此步骤不需要)． 2．分别求出两圆的圆心坐标和半径r1，r2. 3．求两圆的圆心距d. 4．比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小． 5．根据大小关系确定圆与圆的位置关系．　　 对点练1．当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？ 解：将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径长r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1，7)，半径长r2＝(k＜50)． 从而|C1C2|＝＝5. 当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切； 当|－1|＝5，即k＝14时，两圆内切； 当|－1|＜5＜1＋， 即14＜k＜34时，两圆相交； 当1＋<5，即34<k<50时，两圆相离． 学生用书↓第73页 题型二　两圆相切问题 (1)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4相外切，则m的值是________． (2)求半径为4，与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直线y＝0相切的圆的方程． [思路点拨]　(1)利用|C1C2|＝r1＋r2建立方程来求出m的值． (2)两圆相切分外切与内切两种情况，与其他条件建立方程组，求出标准方程的三个参数值即可． 答案：(1)2或－5 解析：(1)由已知，得C1(m，－2)，r1＝3；C2(－1，m)，r2＝2. 由题意知|C1C2|＝r1＋r2＝5， 即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5. (2)设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由圆与直线y＝0相切、半径为4，知|b|＝r＝4， 则圆心C的坐标为C1(a，4)或C2(a，－4)． 已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的圆心A的坐标为(2，1)，半径为3. 由两圆相切，得|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1. ①当圆心为C1(a，4)时， (a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)， 故可得a＝2±2， 故所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16. ②当圆心为C2(a，－4)时， (a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，解得a＝2±2， 故所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16. 综上所述，所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16或(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16. 方法技巧 处理两圆相切问题的两个步骤 1．定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论． 2．转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．　　 对点练2．求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程． 解：圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，圆心C(1，0)，半径为1， 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 由题意可得 解得或 所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. 题型三　两圆相交问题 (链教材P119例2)已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程； (3)求两圆公共弦长及公共弦的中垂线的方程； (4)求过两圆的交点且半径最小的圆的方程． [思路点拨]　(1)两圆方程相减求出公共弦所在直线方程． (2)可求出两圆的交点坐标，结合圆心在直线x－y－4＝0上求出圆心坐标与半径，也可利用圆系方程求解． (3)构造直角三角形求解． (4)画图后数形结合解答． 解：(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A，B两点坐标是方程组 的解． ①－②，得6x－6y＋24＝0，即x－y＋4＝0. 因为A，B两点坐标都满足此方程， 所以x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程． (2)方法一：解方程组 得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2)． 设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4. 则 ＝， 解得a＝，故圆心为，半径为 . 故圆的方程为＋＝， 即x2＋y2－x＋7y－32＝0. 方法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)， 其圆心为，代入x－y－4＝0， 解得λ＝－7. 故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0. (3)由(1)知道x－y＋4＝0是公共弦所在的直线的方程． 因为圆C1的圆心为(－3，0)，r＝， C1到直线AB的距离d＝＝， 所以|AB|＝2＝2 ＝5. 即两圆的公共弦长为5. 弦AB的中垂线也就是C1C2所在的直线． 因为C1(－3，0)，C2(0，－3)， 所以AB的中垂线方程为＋＝1，即x＋y＋3＝0. (4)根据条件可知，所求的圆就是以AB为直径的圆． 因为AB所在直线方程为x－y＋4＝0， C1C2所在直线方程为x＋y＋3＝0. 所以由得圆心为. 又因为|AB|＝5，所以半径r＝， 故所求圆的方程为＋＝. 学生用书↓第74页 方法技巧 1．求两圆公共弦长的方法 一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解； 二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解． 2．过两圆的交点的圆的方程 已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．　　 对点练3．圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为________________． 答案：(x－3)2＋(y＋1)2＝16(或x2＋y2－6x＋2y－6＝0) 解析：方法一：由 解得 所以圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3，3)，连接AB，则线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1)． 由解得 所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为＝4， 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 方法二：同方法一求得A(－1，－1)，B(3，3)， 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由解得 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 方法三：设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0，其中λ≠－1，化简可得x2＋y2－x－y－＝0，圆心坐标为(，)． 又圆心(，)在直线x－y－4＝0上， 所以－－4＝0，解得λ＝－， 所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0. 易错点　对圆与圆的位置关系理解不清致错 (2024·武汉调研)已知圆C1：x2＋y2＝81和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，则这两圆的位置关系是(　　) A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 [正解]　圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝9，圆C2的方程化为标准形式为(x－3)2＋(y－4)2＝42，圆心C2(3，4)，半径r2＝4，所以|C1C2|＝＝5.又|r1－r2|＝5，所以|C1C2|＝|r1－r2|，所以圆C1和圆C2内切． 答案：C [易错探因]　本题在求出r1＝9，r2＝4，|C1C2|＝5后，很容易走入以下误区：因为r1＋r2＝13，则|C1C2|<r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交，故选B. 事实上，在判断两圆的位置关系时，不仅要比较|C1C2|与r1＋r2的大小关系，还应比较|C1C2|与|r1－r2|的大小关系． [误区警示]　两圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离，在用圆心距与两个圆的半径的和、差的绝对值之间的大小关系进行判断时，要特别注意两圆相交和内含成立的充要条件：相交时|r1－r2|<d<r1＋r2；内含时0≤d<|r1－r2|. 学科网（北京）股份有限公司 $