2.3.2 圆的一般方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

2．3.2　圆的一般方程 [学习目标] 知识层面 1.了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．　2.会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．　3.灵活选取恰当的方法求圆的方程. 素养层面 通过圆的一般方程的学习，培养数学抽象的核心素养；借助圆的一般方程的求解及其应用，培养数学运算的核心素养. 问题1.圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2能否化为二元二次方程的一般形式？ 提示：可以．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得到x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，令D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，则：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，它是二元二次方程的一般形式． 问题2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？举例说明． 提示：不一定．如x2＋y2＋1＝0，不能表示任何曲线． 知识点　圆的一般方程 二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F＞0时，该方程叫作圆的一般方程，其中圆心为，半径为． 微提醒 1．一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4F>0. 2．在圆的一般方程中，系数D，E，F没有明显的几何意义，但在配方后，表示圆心，表示圆的半径． 3．圆的一般方程中有三个系数，这说明确定一个圆需要三个独立条件．　　 [微思考]　如何判断点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系？ 提示：①圆内：x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0； ②圆上：x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0； ③圆外：x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0. 1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2，3) B．(－2，3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 答案：D 解析：圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为，即(2，－3)．故选D. 2．(多选)已知方程x2＋y2＋2x－m＝0，下列叙述正确的是(　　) A．方程如果表示圆，则m≥－1 B．方程如果表示圆，则圆心在x轴上 C．方程如果表示圆，则圆心在y轴上 D．当m＝0时，方程表示以为圆心，半径为1的圆 答案：BD 解析：对于A，因为D＝2，E＝0，F＝－m，由方程表示圆的条件得D2＋E2－4F>0，即22＋02－4(－m)>0，解得m>－1，所以只有当m>－1时才表示圆，故A错误；对于B，C，因为－＝－1，－＝0，若方程表示圆，圆心坐标为，圆心在x轴上，故B正确，C错误；对于D，当m＝0时，半径r＝＝＝1，故D正确．故选BD. 3．已知圆的方程C：x2＋y2＋2ax＋9＝0圆心坐标为，则它的半径为________． 答案：4 解析：由圆的方程C：x2＋y2＋2ax＋9＝0，可得圆心坐标为C(－a，0)，因为圆C的圆心坐标为，所以a＝－5，即C：x2＋y2－10x＋9＝0，所以圆C的半径为r＝＝4. 4．直线x－2y－3＝0平分圆x2＋y2－2ax＋2y－1＝0(a∈R)，则a＝________． 答案：1 解析：x2＋y2－2ax＋2y－1＝0化为2＋2＝a2＋2，由已知直线平分圆，所以直线x－2y－3＝0经过该圆的圆心，则a－2×－3＝0，即a＝1. 学生用书↓第66页 题型一　二元二次方程表示圆的判断 (链教材P109例2)判断下列方程分别表示什么图形，如果是圆，求出它的圆心坐标和半径： (1)x2＋y2－4x－6y＝0； (2)x2＋y2＋5x－6y＋20＝0； (3)x2＋y2－8x－6y＋25＝0； (4)x2＋y2－2ax－4by＋3b2－1＝0. 解：(1)由x2＋y2－4x－6y＝0可得D＝－4，E＝－6，F＝0， 所以D2＋E2－4F＝16＋36＝52>0， 故x2＋y2－4x－6y＝0表示圆，且圆心为，半径r＝＝. (2)由x2＋y2＋5x－6y＋20＝0可得D＝5，E＝－6，F＝20， 所以D2＋E2－4F＝25＋36－4×20＝－19<0， 故x2＋y2＋5x－6y＋20＝0不表示任何曲线． (3)由x2＋y2－8x－6y＋25＝0可得D＝－8，E＝－6，F＝25， 所以D2＋E2－4F＝64＋36－4×25＝0， 故x2＋y2－8x－6y＋25＝0表示一个点，不能表示圆． (4)由x2＋y2－2ax－4by＋3b2－1＝0可得D＝－2a，E＝－4b，F＝3b2－1， 所以D2＋E2－4F＝4a2＋16b2－4×＝4a2＋4b2＋4>0， 故x2＋y2－2ax－4by＋3b2－1＝0表示圆，且圆心为，半径r＝＝. 方法技巧 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的判断方法 1．配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形为标准方程后，观察是否表示圆． 2．运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F的符号是否为正，确定它是否表示圆． 注意：在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数均为1. 对点练1．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆． (1)求实数m的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径． 解：方法一(根据D2＋E2－4F>0求解)： (1)由方程表示圆的条件， 得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 解得m<，即实数m的取值范围为. (2)－＝－m，－＝1， ＝＝， 故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝. 方法二(化为圆的标准方程求解)： (1)方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0可化为 (x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m. 由题意知1－5m>0，即m<. 所以实数m的取值范围是. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝. 题型二　求圆的一般方程 已知△ABC的三个顶点分别为A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，求其外接圆P的方程． [思路点拨]　设出外接圆的一般方程，分别把A，B，C三点的坐标代入，解出D，E，F即可得所求方程；或根据几何性质求出圆心坐标和半径，即可得圆的方程． 解：方法一：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 由题意可得解得 故所求外接圆P的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0. 方法二：由题意可得弦AC的中垂线方程为x＝2， BC的中垂线方程为x＋y－3＝0. 由解得 所以圆心P的坐标为(2，1)． 外接圆的半径r＝|AP|＝＝5， 故所求外接圆P的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25. 方法技巧 1．用待定系数法求解圆的方程，选用标准方程还是一般方程的原则是：如果已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径建立方程，则通常设圆的标准方程；否则可设圆的一般方程． 2．待定系数法求圆的一般方程的步骤 　　 对点练2．求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标． 解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意可得解得 所以所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0， 所以－＝4，－＝－3，圆心为(4，－3)， 半径r＝＝5. 学生用书↓第67页 易错点　忽略题中的隐含条件致错 已知点A(1，2)在圆C：x2＋y2＋2ax－2ay＝0的外部，则实数a的取值范围为________． [正解]　因为点A(1，2)在圆的外部， 所以12＋22＋2a－2a×2>0， 即5－2a>0，所以a<. 又2a2>0，所以a≠0. 故实数a的取值范围是(－∞，0)∪. 答案：　(－∞，0)∪ [易错探因]　易忽略隐含条件2a2>0. [误区警示]　对于圆的标准方程，应保证等号右端大于0；对于圆的一般方程应保证D2＋E2－4F>0，求解时应注意这些隐含条件． 学科网（北京）股份有限公司 $