2.3.1 圆的标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

本高中数学讲义聚焦圆的标准方程核心知识点，从圆的定义出发推导方程，结合点与圆的位置关系判定，通过问题导入、微思考等学习支架，系统衔接圆的要素与方程应用的知识脉络。 资料以数学抽象和数学运算素养为导向，设计多题型示例与易错点分析，通过几何法、待定系数法等培养思维，结合船过桥等实际问题提升应用能力，课中助力教学效率，课后测评帮助学生查漏补缺。

2．3　圆及其方程 2．3.1　圆的标准方程 [学习目标] 知识层面 1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．　2.掌握点与圆的位置关系．　3.能根据所给条件求圆的标准方程. 素养层面 通过圆的标准方程及其特征的学习，培养数学抽象的核心素养；借助圆的标准方程的求解与应用，提升数学运算的核心素养. 问题1.圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 提示：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．确定圆的要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 问题2.已知圆心为A(a，b)，半径为r，M(x，y)为圆上任意一点，你能得到x，y的关系吗？ 提示：|MA|＝r，由两点间的距离公式，得＝r，两边平方，得(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 问题3.平面内的点与圆有哪几种位置关系？如何判定？ 提示：分为在圆内、在圆外及在圆上三种位置关系，可以根据点到圆心的距离与半径的大小关系来判定． 知识点一　圆的标准方程 1．圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中 定点是圆心，定长是圆的半径． 2．圆的标准方程 微提醒 圆的标准方程的特征 [微思考]　只要圆是相同的，那么圆的标准方程是相同的，对吗？ 提示：不对．相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． 知识点二　点与圆的位置关系 　设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下： 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d与r的大小关系 d＞r d＝r d＜r 学生用书↓第62页 [微思考]　若点P(x0，y0)在圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，需要满足(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？ 提示：若点P在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.若点P在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. 1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为(　　) A．(－1，5)， B．(1，－5)， C．(－1，5)，3 D．(1，－5)，3 答案：B 解析：由圆的标准方程可知，圆心为(1，－5)，半径长为.故选B. 2．已知圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5，则原点与圆的位置关系是(　　) A．原点在圆内 B．原点在圆上 C．原点在圆外 D．以上都不对 答案：B 解析：因为(0－1)2＋(0＋2)2＝5，所以(0，0)点在圆上．故选B. 3．(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为____________． 答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5 解析：因为点M在直线2x＋y－1＝0上，所以设点M为(a，1－2a)，又因为点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，所以点M到两点的距离相等且为半径R，所以＝＝R，a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，所以M(1，－1)，R＝，⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 4．已知△ABC的顶点A(0，0)，B(4，0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是__________． 答案：(x－8)2＋y2＝36(y≠0) 解析：设C(x，y)(y≠0)，则D(，)． 因为B(4，0)，且AC边上的中线BD长为3， 所以(－4)2＋()2＝9，即(x－8)2＋y2＝36(y≠0)． 题型一　判断点与圆的位置关系 已知两点P1(3，8)和P2(5，4)，求以线段P1P2为直径的圆的标准方程，并判断点M(5，3)，N(3，4)，P(3，5)是在圆上、圆内、还是圆外． [思路点拨]　 直径两端点坐标→圆心坐标和半径可得→圆的标准方程→将各点坐标代入方程判断 解：设圆心为C(a，b)，半径为r，则由C为线段P1P2的中点得a＝＝4，b＝＝6，即圆心为C(4，6)， 由两点间的距离公式得r＝|CP1|＝＝，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5. 方法一：分别计算点M，N，P到圆心C的距离： |CM|＝＝>， |CN|＝＝， |CP|＝＝<， 所以点M在圆外，点N在圆上，点P在圆内． 方法二：由于(5－4)2＋(3－6)2＝10>5，故点M在圆外； 由于(3－4)2＋(4－6)2＝5，故点N在圆上； 由于(3－4)2＋(5－6)2＝2<5，故点P在圆内． 方法技巧 1．判断点与圆的位置关系的方法 (1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可； (2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断． 2．灵活运用 若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．　　 对点练1．(1)点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是(　　) A．a<－1或a>1　　　　　 B．－1<a<1 C．0<a<1 D．a＝±1 (2)点(0，0)在圆(x－1)2＋y2＝t2的外部，则t的范围是________________． 答案：(1)B　(2)－1<t<1 解析：(1)由题意可知，(1－a)2＋(1＋a)2<4，解得a2<1，即－1<a<1. (2)由条件知t2<(0－1)2＋02＝1，所以－1<t<1. 题型二　求圆的标准方程 (链教材P104例2)求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程． [思路点拨]　方法一：利用圆心在直线上，设出圆心坐标，根据条件建立方程求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；方法二：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件建立方程组求解；方法三：借助圆的几何性质，确定圆心坐标和半径，从而求圆的方程． 解：方法一：设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)． 因为该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|， 所以 ＝ ， 解得a＝－2， 所以圆心坐标为C(－1，－2)，半径r＝ . 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 方法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题意知 解得 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 方法三：线段AB的中点的坐标为(0，－4)，直线AB的斜率kAB＝ ＝ ， 所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝－2， 所以弦AB的垂直平分线的方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0. 又圆心是直线2x＋y＋4＝0与直线x－2y－3＝0的交点， 由 解得 所以圆心坐标为(－1，－2)， 所以圆的半径r＝ ＝ ， 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 学生用书↓第63页 方法技巧 确定圆的标准方程的方法 1．几何法 利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，进而得到圆的标准方程． 2．待定系数法 由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是： (1)设——设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； (2)列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组； (3)解——解方程组，求出a，b，r； (4)代——将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程．　　 对点练2．求圆心在x轴上，且过点A(5，2)和B(3，－2)的圆的标准方程． 解：方法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)． 则解得 所以所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝5. 方法二：因为圆过A(5，2)，B(3，－2)两点， 所以圆心一定在线段AB的中垂线上， 由于线段AB的中点坐标为(4，0)， kAB＝＝2， 所以AB中垂线的方程为y＝－(x－4)． 令y＝0，得x＝4，即圆心坐标C(4，0)， 所以r＝|CA|＝＝. 所以所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝5. 题型三　与圆有关的轨迹问题 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程． [思路点拨]　 设出点C的坐标和点D的坐标→根据点D为线段CB的中点列式→设法消去点D的坐标 解：以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)， 则A(－2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC的中点D(x0，y0)． 所以① 因为|AD|＝3，所以(x0＋2)2＋y＝9.② 将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36. 因为点C不能在x轴上，所以y≠0. 综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点． 顶点C的轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)． 方法技巧 求轨迹方程的常用方法 1．直接法也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用有关公式(如两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简．这种求轨迹方程的方法不需要特殊的技巧． 2．代入法也称相关点法，如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(a，b)，而Q又按某个规律运动，则可先用x，y表示a，b，再把a，b代入它满足的条件便得到动点P的轨迹方程． 在处理轨迹问题时一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法．　　 学生用书↓第64页 对点练3．(1)已知一曲线是与两个定点O(0，0)，A(3，0)距离的比为的点的轨迹，求出曲线的方程； (2)已知点A(－1，1)，B(3，3)是圆C的一条直径的两个端点，又点M在圆C上运动，点N(4，－2)，求线段MN的中点P的轨迹方程． 解：(1)设点M(x，y)是曲线上任意一点， 则由题意知＝. 由两点间的距离公式知，＝. 两边平方并化简，得曲线方程x2＋y2＋2x－3＝0， 将方程配方，得(x＋1)2＋y2＝4. 所以所求曲线是圆心为C(－1，0)，半径为2的圆． (2)因为A，B是圆C直径的两个端点， 所以圆心C(1，2)，半径r＝ ＝， 所以圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5. 设P(x，y)，M(x0，y0)， 因为M，N的中点是P，所以 因为M在圆C上，所以(2x－5)2＋(2y)2＝5， 即＋y2＝. 故线段MN的中点P的轨迹方程是＋y2＝. 易错点　对圆心位置考虑不全致错 已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． [正解一]　如图，由题设知|AC|＝r＝5，|AB|＝8，所以|OA|＝4. 在Rt△AOC中， |OC|＝＝＝3. 设点C的坐标为(a，0)，则|OC|＝|a|＝3，所以a＝±3. 故所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25. [正解二]　由题意设所求圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25. 因为圆截y轴所得线段长为8，所以圆过点(0，4)， 将(0，4)代入方程得a2＋16＝25，所以a＝±3. 故所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25. [易错探因]　点C在x轴上，则点C可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上，正解一中在求出|OC|＝3后，容易只考虑在x轴正半轴上的情况而漏解． [误区警示]　在解析几何中，涉及距离问题时，一定要加绝对值，否则容易漏解．另外，需注意圆(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2中，圆心为(－m，－n)，而不是(m，n)． 学科网（北京）股份有限公司 $