2.2.1 直线的倾斜角与斜率-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“直线的倾斜角与斜率”核心知识点，前承平面直角坐标系中直线的确定方法，后接斜率公式、方向向量及法向量的应用，通过问题导入、微思考辨析、题型分类等学习支架，构建从概念到应用的完整知识脉络。 该资料以生活中“坡度”类比引入斜率，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过定义辨析、逻辑推理（如旋转后倾斜角计算）发展数学思维，借助方向向量等数学语言精准表达直线性质。实例丰富，含分层例题、易错点提示及课时测评，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

2．2　直线及其方程 2．2.1　直线的倾斜角与斜率 [学习目标] 知识层面 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握倾斜角与斜率的对应关系．　2.理解直线斜率的几何意义，掌握过两点的直线的斜率公式．　3.掌握直线的倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用． 4．掌握直线的方向向量和法向量. 素养层面 通过直线的倾斜角与斜率的概念的学习，培养数学抽象的核心素养；借助倾斜角与斜率的关系，提升数学运算的核心素养. 问题1．在平面中，怎样才能确定一条直线？ 提示：两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线． 问题2．在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 提示：直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同． 学生用书↓第43页 问题3．日常生活中，常用坡度表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度>.在平面直角坐标系中，我们能否用“坡度”的计算方法来刻画直线的倾斜程度？ 提示：可以利用倾斜角的正切值来定义直线的倾斜程度． 知识点一　直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 前提条件 直线l与x轴相交 定义 以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 特殊情况 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0° 取值范围 0°≤α<180° 2．斜率的定义 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率． 斜率常用小写字母k表示，即k＝tan__α． 3．斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝． [微思考]　(1)所有的直线都有倾斜角与斜率，对吗？ (2)计算直线的斜率k时与从该直线上所选取的两点P1，P2的位置有关吗？ 提示：(1)不对．所有的直线都有倾斜角，但当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°，直线斜率不存在． (2)无关． 知识点二　直线的方向向量 一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l. 知识点三　直线的法向量 一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l． 1．给出下列结论： ①任意一条直线有唯一的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴； ④若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1)； ⑤若α是直线l的倾斜角，且sin α＝，则α＝45°. 其中正确结论的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此①正确，②③错误；④中当α＝0°时，sin α＝0，故④错误；⑤中α有可能为135°，故⑤错误． 2．直线l的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为(　　) A．1 B． C． D．－ 答案：D 解析：因为tan α＝，0°≤α<180°，所以α＝60°，所以2α＝120°，所以k＝tan 2α＝－.故选D. 3．已知点A(1，0)，B(－1，1)，则直线AB的斜率为(　　) A．－ B． C．－2 D．2 答案：A 解析：直线AB的斜率k＝＝－. 4．已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，则x2＝________________________________，y1＝________． 答案：7　0 解析：因为α＝45°， 所以直线l的斜率k＝tan 45°＝1， 因为P1，P2，P3都在直线l上， 所以kP1P2＝kP2P3＝k. 所以＝＝1， 解之得x2＝7，y1＝0. 学生用书↓第44页 题型一　求直线的倾斜角 (多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．α－45° [思路点拨]　求直线的倾斜角主要是根据定义来求，解答此题的关键是根据题意画出图形，找准倾斜角． 答案：AB 解析：根据题意，画出图形，如图所示： 通过图象可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. 方法技巧 求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围：0°≤α<180°.　　 对点练1．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，则直线l2的倾斜角为________． 答案：135° 解析：如图，设直线l2的倾斜角为α2，结合图形及三角形外角与内角的关系可得α2＝120°＋α1＝120°＋15°＝135°，故直线l2的倾斜角为135°. 题型二　直线的斜率 (1)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于(　　) A．1 B．5 C．－1 D．－5 (2)经过A(0，y)，B(－1，0)两点的直线的方向向量为(1，2)，则y＝________． (3)如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率． [思路点拨]　(1)利用公式k＝(x1≠x2)＝tan α； (2)利用方向向量的共线求解； (3)利用公式k＝tan α(α≠90°)． 答案：(1)D　(2)2 解析：(1)因为过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，所以＝tan 135°＝－1，解得y＝－5. (2)由条件可知，直线的一个方向向量为(－1－0，0－y)，即(－1，－y)．又(1，2)是直线的另一方向向量，则＝，解得y＝2. (3)直线l1的倾斜角为α1＝30°，直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，所以kl1＝tan 30°＝，kl2＝tan 120°＝－. 方法技巧 解决斜率问题的方法 1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决． 2．由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解． 3．涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．　　 对点练2．直线经过点P(3，2)，Q(－3，3)，则k＝________．直线PQ的倾斜角为________角(填“钝”或“锐”)． 答案：－　钝 解析：k＝＝－<0，直线PQ的倾斜角为钝角． 对点练3．设A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为________． 答案：4 解析：依题意知直线AC的斜率存在，则m≠－1.由kAC＝3kBC，得＝3·，所以m＝4. 题型三　倾斜角与斜率的综合问题 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． [思路点拨]　结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，则有k≤kPA. 解：如图所示，由题意可知kPA＝＝－1， kPB＝＝1. (1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1. (2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 学生用书↓第45页 方法技巧 1．过定点和线段有交点的直线的斜率的取值范围问题 已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率的取值范围，若直线PA，PB的斜率均存在，则步骤为： 第一步：连接PA，PB； 第二步：由k＝，求出kPA，kPB； 第三步：结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围． 2．直线的倾斜角和斜率的关系 直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜角越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜角也越大． 对点练4．已知点A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．当点D线段BC(包括端点)上移动时，直线AD的斜率的变化范围为________． 答案： 解析：由斜率公式，得直线AB的斜率kAB＝＝； 直线AC的斜率kAC＝＝.如图，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC.所以直线AD的斜率的变化范围是. 易错点1　忽略直线斜率不存在的情况致错 求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围． [正解]　当m＝1时，直线AB的斜率不存在，此时直线的倾斜角α＝90°. 当m≠1时，由斜率公式可得直线AB的斜率k＝＝， 当m>1时，k＝>0，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°； 当m<1时，k＝<0，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. [易错探因]　利用斜率公式求直线的斜率的条件是“x1≠x2”．解本题时易忽略m＝1，即斜率不存在的情况． [误区警示]　求直线斜率时，一定要根据题目条件对斜率是否存在做出判断，以免漏解． 易错点2　忽略直线斜率变化与倾斜角变化的关系致错 已知点A(2，1)，B(－2，2)，若直线l过点P，且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A． B．∪ C．∪[1，＋∞) D．∪ [正解]　如图，当直线l由位置PA绕点P转动到位置PB时，l的斜率为正值并逐渐变大直至l垂直于x轴，当直线l垂直于x轴时，l无斜率，继续转动，斜率变为负值并逐渐变大直到PB的位置，易求得直线PA的斜率kPA＝， 直线PB的斜率kPB＝－，则直线l的斜率k的取值范围是∪. 答案：D [易错探因]　解本题时易由直线PA的斜率kPA＝，直线PB的斜率kPB＝－，得直线l的斜率k的取值范围是.事实上，在直线l的允许活动范围内，l的倾斜角连续变化时，直线斜率的变化并不一定连续，当直线l垂直于x轴(直线l的倾斜角为90°)时，直线l的斜率不存在．出错的原因是忽略了直线斜率的变化与倾斜角变化的关系，忽略了直线倾斜角为90°时直线无斜率． [误区警示]　用α表示直线的倾斜角，则当0°≤α<90°时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当90°<α<180°时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大． 学科网（北京）股份有限公司 $