2.1 坐标法-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

2．1　坐标法 [学习目标] 知识层面 1.理解平面直角坐标系中的基本公式．　2.理解坐标法的数学思想并能掌握坐标法的应用． 素养层面 通过学习实数与数轴上的点的对应关系，培养直观想象的核心素养；借助距离公式和坐标法的应用，培养数学运算和数学建模的核心素养. 笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜角坐标系的统称．相交于原点的两条数轴，构成了平面仿射坐标系，如两条数轴上的度量单位相等，则称此仿射坐标系为笛卡尔坐标系．两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系． 二维的直角坐标系是由两条相互垂直、O点重合的数轴构成的．在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的．在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系．采用直角坐标，几何形状可以用代数公式明确地表达出来．几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守这代数公式． 问题　(1)当x1≠x2，y1＝y2时，|AB|＝？ (2)当x1＝x2，y1≠y2时，|AB|＝？ (3)当x1≠x2，y1≠y2时，|AB|＝？ 提示：(1) |x1－x2|　(2)|y1－y2|　(3) 知识点一　平面直角坐标系中的基本公式 1．两点间的距离公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量＝(x2－x1，y2－y1)，从而可以得到平面直角坐标系内两点之间的距离公式|AB|＝||＝Ｗ． 2．中点坐标公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)是线段AB的中点，则＝，从而可以得到在平面直角坐标系内的中点坐标公式：x＝，y＝Ｗ． 微提醒 平面上两点间的距离公式建立在数轴上两点间的距离公式的基础上，将既不平行也不垂直于坐标轴的线段进行分解，转化成垂直于坐标轴的线段，利用勾股定理推出．这一过程体现了“化斜为直”“化一般为特殊”的数学思想方法．　　 知识点二　坐标法 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题的方法称为坐标法． 1．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为(　　) A．1 B．－5 C．1或－5 D．－1或5 答案：C 解析：由|AB|＝＝5⇒a＝1或a＝－5.故选C. 2．以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 答案：B 解析：因为|AB|＝＝，|BC|＝＝＝3，|AC|＝＝，所以△ABC是等腰三角形．故选B. 学生用书↓第41页 3．已知两点A(2，m)与点B(m，1)之间的距离等于，则实数m＝(　　) A．－1 B．4 C．－1或4 D．－4或1 答案：C 解析：因为|AB|＝＝.所以m2－3m－4＝0，解得m＝－1或m＝4.故选C. 4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于(　　) A．5 B．4 C．2 D．2 答案：C 解析：设A(a，0)，B(0，b)，则＝2，＝－1，解得a＝4，b＝－2，所以|AB|＝＝2.故选C. 题型一　中点坐标公式 已知点A(2，3)，B(x0，y0)，AB的中点M关于原点的对称点为N(－1，－2)，则x0＝　　　　，y0＝　　　　Ｗ． [思路点拨]　利用中点坐标公式求解． 答案：0　1 解析：因为M与点N(－1，－2)关于原点对称，则M(1，2)，又因A，B两点的中点为M，则 解得x0＝0，y0＝1. 方法技巧 利用中点坐标公式求解时，应与对称点结合求解．　　 对点练1．(1)已知数轴上A(－3)，B(2)，且A关于B的对称点为C，则C的坐标为　　　　Ｗ． (2)已知A(x，－3)，B(1，y)，中点坐标为(3，2)，则x＝　　　　，y＝　　　　Ｗ． 答案：(1)7　(2)5　7 解析：(1)设C的坐标为x，则2＝，所以x＝7. (2)由中点坐标公式得3＝，所以x＝5，2＝，所以＝7. 题型二　两点间距离公式 已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． [思路点拨]　利用两点距离公式求边长，由勾股定理判定． 解：因为|AB|＝＝2， |AC|＝＝2， 又|BC|＝＝2， 所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， 所以△ABC是等腰直角三角形． 方法技巧 计算两点间距离的方法 1．对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝. 2．对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．　　 对点练2．已知点A(－3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值． 解：设点P的坐标为(x，0)，则有 |PA|＝＝， |PB|＝＝. 由|PA|＝|PB|， 得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－. 故所求点P的坐标为. |PA|＝＝. 题型三　坐标法 △ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，求证：△ABC为等腰三角形． [思路点拨]　建系—代数运算—译成结果 证明：作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). 设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，D(d，0). 因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|BC|， 所以由距离公式可得 b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)， 即(b＋d)(b－d)＝(d－b)(c－d). 又d－b≠0， 故－b－d＝c－d， 即－b＝c. 所以|AB|＝|AC|，即△ABC为等腰三角形． 学生用书↓第42页 方法技巧 解决此类问题的三步曲 1．建立坐标系，用坐标表示有关的量． 2．进行有关代数运算． 3．把代数运算结果“翻译”成几何关系．　　 对点练3．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：AM＝BC. 证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标系，建立如图所示的平面直角坐标系，设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c). 因为点M是BC的中点，故点M的坐标为，即.由两点间距离公式，得BC＝＝， AM＝＝. 所以AM＝BC. 易错点　建系不当致使解析法证题致错 证明三角形中位线的长度等于底边长度的一半． [正解]　如图所示，△ABC中D，E分为边AC和BC的中点，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)，则|AB|＝c.又由中点坐标公式， 可得D，E，所以|DE|＝＝，所以|DE|＝|AB|，即三角形中位线的长度等于底边长度的一半． [易错探因]　由于建系不当，致使A、B、D、E中某些点的坐标不易求出，使得题目无法证明． [误区警示]　建系时，尽量使A、B、D、E中的坐标含零量多． 学科网（北京）股份有限公司 $