1.2.1 空间中的点、直线与空间向量-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

本讲义聚焦空间向量在立体几何中的应用，系统讲解空间中点的位置向量、直线的方向向量，以及利用方向向量求线线角、证明线线平行垂直和计算公垂线段长度，构建从点到线再到线线关系的递进式学习支架。 通过热气球位置、修铁路等现实问题导入培养数学抽象，结合坐标法与基向量法解决线线平行垂直证明等题型提升逻辑推理和数学运算。课中辅助教师分层教学，课后配套例题和测评帮助学生回顾强化，弥补知识盲点。

1．2　空间向量在立体几何中的应用 1．2.1　空间中的点、直线与空间向量 [学习目标] 知识 层面 1.了解空间中的点与空间向量的关系．　2.理解直线的方向向量．　3.掌握利用空间向量求空间中两直线所成的角的方法．　4.掌握利用空间向量证明两条直线平行或垂直的方法.5.理解公垂线段的概念并会求其长度. 素养 层面 通过学习直线的方向向量、公垂线段等概念，培养数学抽象素养；利用向量法证明两直线垂直，求两直线所成的角，提升逻辑推理和数学运算素养. 请回答以下问题： 问题1.甲乙两人在不同地方观察到空中一个热气球，甲说热气球在他的左上方，而乙说热气球在他的右上方，可能吗？ 提示：　可能，热气球的位置，受观察点的影响． 问题2.要求经过甲村某地点修建一条与某段笔直的河流平行的铁路，有几种修法？ 提示：　一条，过直线外一点作一条与它平行的直线，有且只有一条． 知识点一　空间中的点与空间向量 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量．特别地，空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置唯一确定，从而也就由它的坐标唯一确定． 知识点二　空间中的直线与空间向量 1．直线的方向向量 一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的 学生用书↓第18页 一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l. 2．利用直线的方向向量证明相关平行 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1与l2重合⇔v1∥v2． (2)已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得l∥α或l⊂α⇔存在一对实数x，y，使v＝xv1＋yv2． [微思考]　直线l的方向向量唯一吗？ 提示： 不唯一，空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． 知识点三　空间中两条直线所成的角 设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则： (1)θ∈． (2)如图(1)(2)所示，可以看出θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉．特别地，sin θ＝sin〈v1，v2〉，cos θ＝|cos〈v1，v2〉|. (3)l1⊥l2⇔〈v1，v2〉＝⇔v1·v2＝0． 知识点四　异面直线与空间向量 异面直线所成的角取值范围是，两向量夹角的取值范围是[0，π]，设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为θ，由向量夹角的定义及求法知〈a，b〉与θ相等或互补，所以cos θ＝． 1．若A(2，1，1)，B(1，2，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(2，1，1) B．(－2，2，2) C．(－3，2，1) D．(2，1，－1) 答案：B 解析：因为＝(－1，1，1)，而与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量．故选B． 2．从点A(2，－1，7)沿向量a＝(8，9，－12)的方向取线段长||＝34，则B点的坐标为(　　) A．(18，17，－17) B．(－14，－19，17) C． D． 答案：A 解析：设B点坐标为 (x，y，z)，则 ＝λa(λ>0)，即 (x－2，y＋1，z－7)＝λ(8，9，－12)，因为 ||＝34，即＝34，得λ＝2，所以x＝18，y＝17，z＝－17.3.已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)，a与b分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　) A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝ 答案：D 解析：因为l1∥l2，所以a∥b，所以存在λ∈R，使a＝λb，则有2＝3λ，4＝λx，5＝λy，所以x＝6，y＝. 4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1D与BC1所成的角为(　　) A．45° B．60° C．90° D．135° 答案：C 解析：如图，连接B1C， 则A1D∥B1C，因为B1C⊥BC1，所以异面直线A1D与BC1所成的角为90°，故选C． 题型一　求直线的方向向量 (1)(2024·福州八中检测)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于(　　) A．0 B．1 C． D．3 (2)在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________． [思路点拨]　(1)由＝km，求y，z.(2)建立空间直角坐标系，求、，从而得DD1、DC1的方向向量． 答案：(1)A　(2)(0，0，1)　 (0，1，1)(答案不唯一) 解析：(1)因为A(0，y，3)和B(－1，2，z)，所以＝(－1，2－y，z－3)，因为直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3) ，故设＝km.所以 解得所以y－z＝0.故选A． (2)因为DD1∥AA1，＝(0，0，1)，故直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)；因为BC1∥AD1，＝(0，1，1)，故直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)． 学生用书↓第19页 方法技巧 理解直线方向向量的概念 1．直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． 2．直线的方向向量不唯一．　　 对点练1.(1)若点A，B在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A． B． C． D． (2)若向量a＝(x，－2，1)，b＝(－1，y，2)都是直线l的方向向量，则x＋y＝________． 答案：(1)A　(2)－ 解析：(1)由＝(2，4，8)，l的方向向量与平行，只有选项A满足题意．故选A． (2)因为a，b都是直线l的方向向量，所以a∥b.因此＝＝，解得x＝－，y＝－4，所以x＋y＝－－4＝－. 题型二　利用直线的方向向量证明平行关系 角度1　证明线线平行 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2.求证：MN∥AP. [思路点拨]　目标←相关运算←求方向向量←确定基向量计算←求向量←求坐标←建坐标系 证明：方法一：由题意可得＝＋＝＋＝＋×(＋)＝＋＋＝＋＝(＋)＝，又M∉AP，所以MN∥AP. 方法二：如图所示，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，P(0，0，1)，E，N，M，所以＝(－1，0，1)，＝，所以＝，因为M∉AP，所以MN∥AP. 方法技巧 证明线线平行的依据与思路 1．证明线线平行的依据：设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝kb(k∈R)． 2．利用向量证明线线平行有两种思路：一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明．　　 对点练2．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形． 证明：以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，分别为直线AE，FC1，EC1，AF的方向向量，不妨设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，E，C1(0，1，1)，F， 所以＝，＝，＝，＝， 所以＝，＝， 所以∥，∥， 又因为F∉AE，F∉EC1， 所以AE∥FC1，EC1∥AF， 所以四边形AEC1F是平行四边形． 角度2　证明线面平行 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD. 证明：方法一：如图，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，M，N， 于是＝(1，0，1)，＝， 所以＝. 又MN⊄平面A1BD，故MN∥平面A1BD. 方法二：＝－＝－＝－＝(＋)－(＋)＝－， 即可用与线性表示，故与，是共面向量，又MN⊄平面A1BD，故MN∥平面A1BD. 学生用书↓第20页 方法技巧 利用向量法证明线面平行的思路 1．根据线面平行的判定定理(平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行)可知，要证明一条直线和一个平面平行，只需在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可． 2．建立空间直角坐标系，通过计算解决问题，该方法暂时有一定的局限性，在学习了后面的内容后，就会变得较易实现． 3．根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．　　 对点练3.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点．求证：B1C∥平面ODC1. 证明：设＝a，＝b，＝c， 因为四边形B1BCC1为平行四边形， 所以＝＋＝c－a. 因为O是B1D1的中点， 所以＝(＋)＝(a＋b)，＝－＝b－(a＋b)＝(b－a)． 因为＝，所以＝c.所以＝＋＝(b－a)＋c. 设存在实数x，y，使＝x＋y(x，y∈R)成立， 则c－a＝x＋y ＝－(x＋y)a＋(x－y)b＋xc. 因为a，b，c不共面， 所以解得所以＝＋. 所以，，是共面向量． 因为B1C不在OD，OC1所确定的平面ODC1内， 所以B1C∥平面ODC1. 题型三　利用直线的方向向量证明垂直关系 角度1　证明线线垂直 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN. 证明：方法一：设＝a，＝b，＝c， 则由已知条件和正三棱柱的性质， 得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0， ＝a＋c，＝(a＋b)，＝b＋c，＝－＝－a＋b＋c， 所以·＝(a＋c)＝－＋cos 60°＋0－0＋0＋＝0. 所以⊥，所以AB1⊥MN. 方法二：设AB的中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A，B，C，N，B1， 因为M为BC的中点，所以M. 所以＝，＝(1，0，1)， 所以·＝－＋0＋＝0. 所以⊥，所以AB1⊥MN. 方法技巧 利用向量法证明线线垂直的方法 用向量法证明空间中两条直线相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量相互垂直．具体有如下方法． 1．坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其数量积为0. 2．基向量法：利用向量的加、减、数乘运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来．利用数量积运算说明两向量的数量积为0.　　 对点练4．在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E. 证明：以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a，0，a)，C1(0，a，a)． 设AE＝BF＝x，则E(a，x，0)，F(a－x，a，0)． 所以＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)． 所以·＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)＝－ax＋ax－a2＋a2＝0， 所以⊥，即A1F⊥C1E. 学生用书↓第21页 角度2　证明线面垂直 如图，在多面体ABC-A1B1C1中，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2. 证明：AB1⊥平面A1B1C1. [思路点拨]　(1)思路一(综合几何方法)　先证明线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到直线与平面垂直． (2)思路二(向量方法)　建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示进行证明． 证明：方法一：由AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，AA1⊥AB，BB1⊥AB得AB1＝A1B1＝2，所以A1B＋AB＝AA，所以AB1⊥A1B1. 由BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC得B1C1＝， 由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°得AC＝2， 由CC1⊥AC，得AC1＝， 所以AB＋B1C＝AC，所以AB1⊥B1C1. 又A1B1∩B1C1＝B1，故AB1⊥平面A1B1C1. 方法二：如图，以AC的中点O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz. 由题意知，A(0，－，0)，A1(0，－，4)，B1(1，0，2)，C1(0，，1)． 因此＝(1，，2)，＝(1，，－2)，＝(0，2，－3)． 由·＝0得AB1⊥A1B1. 由·＝0得AB1⊥A1C1. 又A1B1∩A1C1＝A1，所以AB1⊥平面A1B1C1. 方法技巧 利用向量法证明线面垂直的方法 1．基向量法，具体步骤如下． (1)设出基向量，用基向量表示出直线的方向向量； (2)找出平面内两条相交直线的方向向量并分别用基向量表示； (3)分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积； (4)由数量积为0及线面垂直的判定定理得线面垂直． 2．坐标法，具体方法如下． (1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示； (4)分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积； (5)由数量积为0及线面垂直的判定定理得线面垂直．　　 对点练5．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC. 证明：方法一：设正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，F(a，a，2a)． 所以＝(a，a，2a)－(2a，2a，a)＝(－a，－a，a)， ＝(2a，2a，2a)－(2a，0，0)＝(0，2a，2a)， ＝(0，2a，0)－(2a，0，0)＝(－2a，2a，0)． 因为·＝(－a，－a，a)·(0，2a，2a)＝(－a)×0＋(－a)×2a＋a×2a＝0， ·＝(－a，－a，a)·(－2a，2a，0)＝2a2－2a2＋0＝0， 所以EF⊥AB1，EF⊥AC. 又AB1∩AC＝A，所以EF⊥平面B1AC. 方法二：设＝a，＝c，＝b，连接BD，则＝＋＝(＋)＝(＋)＝(＋－)＝(－a＋b＋c)， 因为＝＋＝a＋b， 所以·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)＝(b2－a2＋c·a＋c·b)＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0， 所以⊥，即EF⊥AB1，同理可证EF⊥B1C. 又AB1∩B1C＝B1， 所以EF⊥平面B1AC. 题型四　求异面直线所成的角 (链教材P33例3)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析： 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B1(2，2，2)，M(1，1，0)，D1(0，0，2)，N(1，0，0)，所以＝(－1，－1，－2)，＝(1，0，－2)，所以cos〈，〉＝＝. 方法技巧 空间两条直线之间的夹角的范围是，因此利用向量求两条异面直线所成的角时，应首先找出两条直线上的方向向量a，b，再利用公式cos θ＝求解．　　 学生用书↓第22页 对点练6．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为2，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值是(　　 ) A． 　　　 B． C． 　 D．0 答案：C 解析：以AC的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则A1(0，－1，2)，B(，0，0)，B1(，0，2)，C(0，1，0)，＝(，1，－2)，＝(－，1，－2)，cos〈，〉＝＝＝. 易错点　混淆两向量的夹角和两条直线的夹角 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，AA1＝c，求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值． [正解]　以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(b，a，0)，D1(0，0，c)，B1(b，a，c)，C(0，a，0)，则＝(－b，－a，c)，＝(－b，0，－c)， 从而cos〈，〉＝ ＝. ①当c<b时，cos〈，〉>0，这时〈，〉是锐角，则〈，〉即异面直线BD1和B1C所成的角； ②当c>b时，cos〈，〉<0，这时〈，〉是钝角，则〈，〉的补角π－〈，〉即异面直线BD1和B1C所成的角； ③当c＝b时，cos〈，〉＝0，这时异面直线BD1和B1C所成的角为90°. 综上，异面直线BD1和B1C所成角的余弦值为 . [易错探因]　本题容易出错的地方是：误把两向量和的夹角看作异面直线所成的角．事实上，异面直线所成角的范围是，其余弦值应具有非负性． [误区警示]　异面直线所成角的范围是，余弦值为非负数，而向量夹角的范围是[0，π]，所以如果求出的向量夹角为锐角(或余弦值为正)，则向量夹角就是异面直线所成的角；如果求出的向量夹角为直角(或余弦值为零)，则异面直线所成的角为；如果求出的向量夹角为钝角(或余弦值为负)，则其补角即异面直线所成的角，余弦值取绝对值即可． 学科网（北京）股份有限公司 $