1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

1．1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 [学习目标] 知识 层面 1.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．　2.掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直的关系．　4.理解空间直角坐标系的定义、建系方法，以及空间的点的坐标确定方法并能简单运用. 素养 层面 通过空间向量的直角坐标运算的学习，提升数学运算、逻辑推理素养；通过对空间直角坐标系的学习，提升数学抽象素养. 问题1.平面向量运算的坐标表示：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a±b＝(a1±b1，a2±b2)，λa＝(λa1，λa2)(λ∈R)，a·b＝a1b1＋a2b2. 你能由平面向量运算的坐标表示类比得到空间向量运算的坐标表示吗？它们是否成立？为什么？ 提示：能．空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．即设向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. 问题2.如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？这个结论在空间向量还成立吗？ 提示：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，当b≠0时，a∥b的充要条件是a＝λb(λ∈R)，即a1b2－a2b1＝0，a⊥b的充要条件是a·b＝a1b1＋a2b2＝0(a≠0，b≠0)．上述充要条件在空间中仍成立，设空间向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，当b≠0时，a∥b的充要条件是a＝λb，λ∈R，可以用坐标表示为(a1，a2，a3)＝λ(b1，b2，b3)，得到方程组(λ∈R)，这就是空间向量平行的充要条件的坐标表示． a⊥b的充要条件是a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)． 知识点一　空间中向量的坐标 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作：p＝(x，y，z)．其中，x，y，z都称为p的坐标分量． 知识点二　空间向量的运算与坐标的关系 1．空间向量的坐标运算法则 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)． 向量运算 坐标表示 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2) 数乘 λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R) 数量积 a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2 学生用书↓第13页 如果u，v是两个实数，那么ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2) 2．空间向量长度公式的坐标表示 若a＝(x1，y1，z1)，则|a|＝＝＝，即|a|＝. 3．空间向量夹角公式的坐标表示 若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)则 cos〈a，b〉＝＝ . 知识点三　空间向量平行与垂直的坐标表示 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)． 1．向量平行的坐标表示 a∥b(a≠0)⇔b＝λa⇔ 当a与三个坐标平面都不平行时，a∥b⇔＝＝． 2．向量垂直的坐标表示 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. 知识点四　空间直角坐标系 1．空间直角坐标系的建立 在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作O-xyz. 在空间直角坐标系O-xyz中，x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的，它们都称为坐标轴；通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面．z轴的正方向一般按照如下方式确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合． 注意：在平面内画空间直角坐标系O-xyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直，如图所示． 2．空间直角坐标系中点的坐标 如右图，过点M(x，y，z)作面xOy的垂线，垂足为M′，在面xOy中，过点M′分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，C，则|x|＝M′C，|y|＝AM′，|z|＝MM′，x，y，z的符号视点M的位置而定，在写点M的坐标时，三个数字之间的顺序不可颠倒． 这样一来，空间中的点与三个实数组成的有序实数组之间，有了一一对应关系，空间一点M的位置完全由有序实数组(x，y，z)确定，因此将(x，y，z)称为点M的坐标，记作M(x，y，z)，此时，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或z坐标)． 3．卦限 三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八部分，习惯上，每一部分都称为一个卦限．按逆时针方向，在坐标平面xOy上方，分别是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限；在xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限(如图)．在不同卦限内，点的坐标的各分量的符号是有所不同的，例如在第Ⅰ卦限，三个坐标分量x，y，z都为正数；在第Ⅱ卦限，x为负数，y，z都为正数…… 知识点五　空间向量坐标的应用 1．空间直角坐标系中两点之间的距离公式 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间直角坐标系中的两点，则 ＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)， ||＝． 学生用书↓第14页 空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标． 2．空间直角坐标系中的中点坐标公式 设线段AB的中点为M(x，y，z)，则M的坐标为． 1．已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz的坐标向量，并且＝－i＋j－k，则B点的坐标为(　　 ) A．(－1，1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不确定 答案：D 解析：向量确定时，终点坐标随着起点坐标的变化而变化，本题中起点没固定，所以终点的坐标也不确定． 2．已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于(　　 ) A．(16，0，4) B．(8，－16，4) C．(8，16，4) D．(8，0，4) 答案：D 解析：4a＝(12，－8，4)，2b＝(－4，8，0)， 所以4a＋2b＝(8，0，4)． 3．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝(　　 ) A．1　　　　 B． C．　　 D． 答案：D 解析：ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2)， 且(ka＋b)(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝. 4．若a＝(x，2，2)，b＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________． 答案：(－∞，－2) 解析：因为a·b＝2x＋2×(－3)＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝ <0，又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2.因为a，b不会反向共线，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)． 题型一　空间直角坐标系及坐标表示 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标． [思路点拨]　以点C为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN，，分别用，，表示出来，再写出它们的坐标． 解：方法一：由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以C为原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系C-xyz，如图所示． 所以＝－＝＋－＝－＋，所以的坐标为(1，－1，1)， 而＝－＝－＋， 所以的坐标为(1，－1，2)． 又因为＝－，所以的坐标为(－1，1，－2)． 方法二：建系同方法一，则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)， 所以＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)． 方法技巧 用坐标表示空间向量的步骤 　　 对点练1．已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标． 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设＝i， ＝j，＝k， ＝4i＋0j＋0k＝(4，0，0)， ＝＋＝0i＋4j＋4k＝(0，4，4)， 所以＝＋＝＋＋＝－4i＋4j＋4k＝(－4，4，4)． 题型二　空间向量的坐标运算 (链教材P20例3)(1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________． (2)在△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5)． ①求顶点B，C的坐标； ②求·； ③若点P在AC上，且＝，求点P的坐标． [思路点拨]　根据相应的空间向量坐标运算法则进行计算即可． 答案：(1)－4 解析：(1)易得2a＋3b＝(4，4，5)，a－b＝(－3，2，0)， 则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4. (2)①设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)， 所以＝(x－2，y＋5，z－3)， ＝(x1－x，y1－y，z1－z)． 因为＝(4，1，2)， 所以解得 所以点B的坐标为(6，－4，5)． 因为＝(3，－2，5)， 所以解得 所以点C的坐标为(9，－6，10)． ②因为＝(－7，1，－7)，＝(3，－2，5)， 所以·＝－21－2－35＝－58. ③设P(x2，y2，z2)， 则＝(x2－2，y2＋5，z2－3)， 1＝(9－x2，－6－y2，10－z2)， 于是有(x2－2，y2＋5，z2－3)＝(9－x2，－6－y2，10－z2)， 所以解得 故点P的坐标为. 学生用书↓第15页 方法技巧 空间向量的坐标运算的解题思路及技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧： 1．在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2等． 2．进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(a＋b)·(a－b)，既可以先求出a＋b，a－b，然后求数量积，也可以把(a＋b)·(a－b)写成a2－b2后计算． 3．向量的数量积运算一般有两种解题思路：一是先求坐标，再运算；二是先类比多项式进行化简，再代入坐标求解．解题时应恰当选择解题方法． 4．掌握空间向量坐标运算的法则是解这类题的关键，空间向量坐标运算的法则和平面向量类似，可类比记忆．　　 对点练2．(1)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________． (2)已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求适合下列条件的点P的坐标． ①＝(－)；②＝(－)． 答案：(1)2 解析：(1)c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2. (2)＝(2，6，－3)，＝(－4，3，1)． ①＝(－)＝(6，3，－4)＝，则点P的坐标为. ②设P(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)． 因为＝(－)＝， 所以 解得x＝5，y＝，z＝0， 则点P的坐标为. 题型三　空间向量的平行与垂直 (链教材P21例4)已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a＝，b＝. (1)若|c|＝3，c∥，求c； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. [思路点拨]　(1)根据c∥，设c＝λ，则向量c的坐标可用λ表示，再利用|c|＝3求λ值； (2)把ka＋b与ka－2b用坐标表示出来，再根据数量积为0求解． 解：(1)因为＝(－2，－1，2)且c∥， 所以设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)． 所以|c|＝＝3|λ|＝3. 解得λ＝±1. 所以c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)． (2)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)， 所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． 因为(ka＋b)⊥(ka－2b)， 所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0， 即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0， 解得k＝2或k＝－. 方法技巧 判断空间向量垂直或平行的步骤 1．向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行； 2．向量关系代数化：写出向量的坐标； 3．对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1x2＋y1y2＋z1z2是否等于0，判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或＝＝(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行．　　 学生用书↓第16页 对点练3．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.求证： (1)AF∥平面BDE； (2)CF⊥平面BDE. 证明：(1)设AC与BD交于点G，连接EG. 因为EF∥AC，且EF＝1，AG＝AC＝1， 所以四边形AGEF为平行四边形， 所以AF∥EG. 因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE， 所以AF∥平面BDE. (2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD. 如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz. 则C(0，0，0)，A(，，0)，B(0，，0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，F. 所以＝， ＝(0，－，1)，＝(－，0，1)． 所以·＝0－1＋1＝0，·＝－1＋0＋1＝0， 所以⊥，⊥， 即CF⊥BE，CF⊥DE. 又BE∩DE＝E，且BE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE， 所以CF⊥平面BDE. 题型四　空间向量的夹角与长度问题 (链教材P25例7)如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点． (1)求BN的长； (2)求A1B与B1C所成角的余弦值； (3)求证：BN⊥平面C1MN. [思路点拨]　建系C－xyz→得各点的坐标→数量积运算→夹角、长度公式→几何结论 解：(1)如图所示，建立空间直角坐标系C-xyz. 依题意得B(0，1，0)， N(1，0，1)， 所以||＝ ＝， 所以线段BN的长为. (2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)， 所以＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)， 所以·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. 又||＝，||＝. 所以cos〈，〉＝＝. 故A1B与B1C所成角的余弦值为. (3)证明：依题意得A1(1，0，2)，C1(0，0，2)，B(0，1，0)， N(1，0，1)，M， 所以＝，＝(1，0，－1)， ＝(1，－1，1)， 所以·＝×1＋×(－1)＋0×1＝0， ·＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0. 所以⊥，⊥， 所以BN⊥C1M，BN⊥C1N， 又因为C1M∩C1N＝C1，C1M⊂平面C1MN，C1N⊂平面C1MN， 所以BN⊥平面C1MN. 方法技巧 1．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤 (1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系； (2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标； (3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角． 2．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求出线段端点的坐标； (3)利用两点间的距离公式求出线段的长．　　 对点练4．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，CG＝CD，H是C1G的中点． (1)求证：EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值； (3)求FH的长． 解：如图，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系D-xyz， 则B1(1，1，1)，C(0，1，0)，E，F，G，C1(0，1，1)，H， (1)证明：＝，＝(－1，0，－1)， 所以·＝·(－1，0，－1)＝0， 所以EF⊥B1C. (2)因为＝， 所以·＝·＝， ||＝ ＝， ||＝ ＝， 所以cos〈，〉＝＝， 所以EF与C1G所成角的余弦值是. (3)因为＝， 所以||＝ ＝. 易错点　对空间向量的夹角概念理解不清 已知向量a＝(5，3，1)，b＝，若a 与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 学生用书↓第17页 [正解]　由已知a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－， 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0， 即3t－<0，所以t<. 若a与b的夹角为180°， 则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)， 即(5，3，1)＝λ， 所以所以t＝－， 故t的取值范围是∪. [错解]　由已知a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－， 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0， 即3t－<0，所以t<. [错因]　a，b的夹角为钝角与a·b<0并不等价，a·b<0中包含着〈a，b〉＝180°的情形，〈a，b〉＝180°的情形可利用a＝λb(λ<0)，也可利用a·b＝－|a|·|b|，即cos〈a，b〉＝－1求得，同样a·b>0也包含着〈a，b〉＝0°的情形，解题时应把这种情况剔除． 学科网（北京）股份有限公司 $