1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

本讲义聚焦空间向量及其线性运算核心知识点，从平面向量自然推广到空间向量，系统梳理空间向量的概念（含单位向量、零向量等）、线性运算（加减及数乘运算律），通过问题链构建从概念到运算再到应用的学习支架。 以国庆游客位移等情境引入，培养数学眼光，引导学生从平面向量迁移理解空间向量运算，结合正方体、三棱锥模型增强几何直观（数学思维），题型涵盖判断、计算及易错分析，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固知识、弥补盲点。

1．1　空间向量及其运算 1．1.1　空间向量及其运算 第1课时　空间向量及其线性运算 [学习目标] 知识 层面 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．　2.经历由平面向量的线性运算推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算及其运算律. 素养 层面 通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽象素养；借助向量的线性运算的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养. 问题1.国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图①所示， (1)游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？ (2)如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图②，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 提示：(1)如题图①，游客的实际位移是，可以用平面向量的加法来表示这个过程． (2)如题图②，他实际发生的位移是，可以用空间向量来表示这个位移． 问题2. (1)平面向量的线性运算是指哪些运算？空间中的向量能用平面向量的线性运算法则进行运算吗？ (2)空间中的任意两个向量是否共面？为什么？ 提示： (1)平面向量的线性运算是指平面向量的加减法及数乘运算．能.因为空间向量是可以自由移动的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合，又因为两条相交直线确定一个平面，所以平移后是到同一个平面内的，成为同一平面内的两个向量，接着就可以利用平面向量的线性运算法则进行运算． (2)共面，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中的任意两个向量共面． 知识点一　空间向量的概念 1．空间向量：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量(简称为向量)． 2．单位向量：模为1的向量称为单位向量． 3．零向量：规定长度为0(即始点和终点相同)的向量叫做零向量，记为0． 4．相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． 5．平行向量：方向相同或相反的两个非零向量叫做平行向量(即两个向量共线)． 6．向量共面：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一个平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面． 知识点二　空间向量的加减法运算 空间向量 的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法 运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 三个不共面的向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量． 学生用书↓第2页 知识点三　空间向量的线性运算 1．定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2．向量a与λa的关系 λ的范围 方向关系 模的关系 λ>0 方向相同 λa的模是a的模的|λ|倍 λ＝0 λa＝0其方向是任意的 λ<0 方向相反 3．空间向量的数乘运算律 (1)分配律：λa＋μa＝(λ＋μ)a，λ(a＋b)＝λa＋λb． (2)结合律：λ(μa)＝(λμ)a． 微提醒 1．实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±a无意义． 2．任何实数与向量的积仍是一个向量．空间向量的数乘运算可以把向量的模扩大(当|λ|>1时，)也可以缩小(当|λ|<1时)；可以不改变向量的方向(当λ>0时)，也可以改变向量的方向(当λ<0时)． 3．注意实数与向量的乘积的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当λ≠0时，若a＝0，则λa＝0. 4．(1)根据空间向量的数乘运算的定义，结合律显然成立． (2)由于向量a，b可平移到同一个平面内，故a＋b，λa，λb，λ(a＋b)也都在这个平面内，而平面向量满足数乘运算的分配律，所以空间向量也满足数乘运算的分配律．　　 1．(多选)下列命题中为真命题的是(　　) A．向量与的长度相等 B．将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 答案：AD 解析：对于选项B，其终点构成一个球面，所以B为假命题；对于选项C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C为假命题；易知A，D为真命题．故选AD． 2．如图所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1所有的棱中，可作为直线A1B1的方向向量的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：D 解析：共四条：AB，A1B1，CD，C1D1. 3．在三棱锥A-BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为_______________________________________________________． 答案：0 解析：如右图，延长DE交边BC于点F，则有＋＝，＋＝＋＝，故＋－－＝0. 4．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和＋的关系是________．(填“平行”、“相等”或“相反”) 答案：平行 解析：设G是AC的中点，则＝＋＝＋＝(＋)所以2＝＋，从而∥(＋)． 题型一　空间向量的有关概念 判断下列命题的真假． (1)空间向量就是空间中的一条有向线段． (2)不相等的两个空间向量的模必不相等． (3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同． (4)向量与向量的长度相等且方向相反． [思路点拨]　空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他有关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以扩展为空间向量的相应概念． 解：(1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来．(2)假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可．(3)假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点．(4)真命题，与仅是方向相反，它们的长度是相等的． 学生用书↓第3页 方法技巧 1．熟练掌握好空间向量的概念，零向量，单位向量，相等向量，相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是解决问题的关键；只要两个向量的方向相同、模相等，这两个向量就相等，起点和终点未必对应相同，即起点和终点对应相同是两个向量相等的充分不必要条件． 2．判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小和方向，两者缺一不可，相互制约．　　 对点练1．(1)给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|； ③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝； ④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p. 其中正确命题的序号是________． (2)如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中． ①试写出与相等的所有向量； ②试写出的相反向量． 答案：(1)②③④ 解析：(1)对于①，向量a与b的方向不一定相同或相反，故①错； 对于②，根据相反向量的定义知|a|＝|b|，故②正确； 对于③，根据相等向量的定义知，＝，故③正确； 对于④，根据相等向量的定义知正确． (2)①与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及共3个． ②向量的相反向量为，，，. 题型二　空间向量的线性运算 (链教材P8例3)(1)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的有(　　) ①(＋)＋； ②(＋)＋； ③(＋)＋； ④(＋)＋. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (2)已知正四棱锥P-ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值． ①＝＋y＋z； ②＝x＋y＋. [思路点拨]　(1)合理根据向量的三角形和平行四边形法则，以及在平行六面体中，体对角线的向量等于从同一起点出发的三条棱向量的和．如＝＋＋. (2)根据数乘向量及三角形或平行四边形法则求解． 答案：(1)D 解析：(1)对于①，(＋)＋＝＋＝； 对于②，(＋)＋＝＋＝； 对于③，(＋)＋＝＋＝； 对于④，(＋)＋＝＋＝. (2)①如图， 因为＝－＝－(＋)＝－－， 所以y＝z＝－. ②因为O为AC的中点，Q为CD的中点， 所以＋＝2 ，＋＝2 ， 所以＝2 －，＝2 －， 所以＝2 －2 ＋， 所以x＝2，y＝－2. 方法技巧 1．空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 2．利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．　　 对点练2．三棱锥O-ABC中，点D在棱BC上，且BD＝2DC，则＝(　　) A．＋－ B．－＋＋ C．－－ D．－＋＋ 答案：D 解析：由题意得＝＋＝＋＋＝＋＋＝－＋＋(－)＝－＋＋.故选D． 学生用书↓第4页 易错点　错把向量比直线 (多选)下列命题是真命题的是(　　) A．若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量 B．若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量 C．向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 D．向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上 [正解]　A为真命题，A，B，C，D在一条直线上，向量，的方向相同或相反，因此与是共线向量；B为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，则，的方向不确定，不能判断与是否为共线向量；C为假命题，因为，两个向量所在的直线可能没有公共点，所以四点不一定在一条直线上；D为真命题，因为，两个向量所在的直线有公共点A，且与是共线向量，所以三点共线． 答案：AD [易错探因]　本题易混淆向量与直线这两个概念，从而认为B，C也是真命题． [误区警示]　注意辨析平行直线与平行向量：平行向量所在的直线既可以平行也可以重合；平行直线一定不重合．因此，两条平行直线的方向向量一定是平行向量，非零的平行向量所在的直线若不重合，则一定是平行直线． 学科网（北京）股份有限公司 $