课后分层练(二十七)　与圆有关的最值问题-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(二十七)]　与圆有关的最值问题 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 1．直线y＝kx－1被圆C：(x－1)2＋y2＝4截得的最长弦的长为(　　 ) A．2 B．2 C．4 D． 解析：选C.直线y＝kx－1过定点P(0，－1).圆C的圆心为(1，0)，半径r＝2.定点在圆内，截得的最长弦为直径． 2．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为(　　 ) A． B． C．1 D．3 解析：选A.由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1，1)到直线l的距离减去圆的半径，即－＝. 3．直线kx－y－3k＋1＝0(k∈R)截圆x2＋y2－2x－8＝0所得弦长的最小值是(　　 ) A．2 B． C．4 D．6 解析：选C.依题意，直线k(x－3)－y＋1＝0过定点A(3，1)，圆(x－1)2＋y2＝9的圆心C(1，0)，半径r＝3，|AC|＝，即点A在圆C内，当且仅当直线kx－y－3k＋1＝0与直线AC垂直时，直线截圆所得弦长最短，所以所求最短弦长为2＝2＝4. 4．实数x，y满足x2＋y2－6x－4y＋4＝0，则的最大值为(　　 ) A． B．3＋2 C． D．0 解析：选A.x2＋y2－6x－4y＋4＝0可化为(x－3)2＋(y－2)2＝9，表示圆心为C(3，2)，半径为3的圆．表示圆上的点(x，y)与点A(－2，－1)连线的斜率． 设过A(－2，－1)且与圆C相切的直线为y＋1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k－1＝0， 所以＝＝3，化简可得16k2＝30k，解得k＝0或k＝， 由图可得的最大值为. 5．已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为时，r的值为(　　 ) A．2 B． C． D．1 解析：选D.如图，由题意得|PM|2＝|PC|2－r2， 当PC⊥l时，|PC|最小，则|PM|最小． 因为|PC|min＝d＝＝2， 所以＝22－r2，解得r＝1. 6．(多选)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则下列说法正确的是(　　 ) A．y－x的最大值为－2 B．x2＋y2的最大值为7＋4 C．的最大值为 D．x＋y的最大值为2＋ 解析：选AB.对于A，设z＝y－x，则y＝x＋z，z表示直线y＝x＋z的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，≤，解得－－2≤z≤－2，所以y－x的最大值为－2，故A说法正确； 对于B，x2＋y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为2＋，所以x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4，故B说法正确； 对于C，设＝k，把y＝kx代入圆的方程得(1＋k2)x2－4x＋1＝0，则Δ＝16－4(1＋k2)≥0，解得－≤k≤，的最大值为，故C说法错误； 对于D，设m＝x＋y，则y＝－x＋m，m表示直线y＝－x＋m的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，≤，解得－＋2≤m≤＋2，所以x＋y的最大值为＋2，故D说法错误． 7．(新定义)古希腊数学家阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两定点距离的比为常数λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知⊙O：x2＋y2＝4，A(0，6)，B(4，0)，P为⊙O上一动点，则|PA|＋|PB|的最小值为________． 解析：令|PC|＝|PB|，则＝， 由题意可得圆x2＋y2＝4是关于点B，C的阿波罗尼斯圆，且λ＝， 设C(m，n)，P(x，y)，则x2＋y2＝4， 则＝＝， 整理得x2＋y2＋x－y＝， 又因为x2＋y2＝4， 所以解得 所以点C的坐标为(1，0)， 所以|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PC|≤|AC|＝＝， 因此当点P，A，C在同一条直线上时，取等号， 所以|PA|＋|PB|最小为. 答案： 8．(2024·山东烟台高二联考)已知M是圆x2＋y2＝4上的一点，N是圆x2＋y2＝1上的一点，直线l：x＋y－4＝0，过点M作与l的夹角为30°的直线，交l于点A，则|AM|＋2|MN|的最小值为________． 解析：设点M到直线l的距离为d，则|AM|＝2d，所以|AM|＋2|MN|＝2d＋2|MN|. 因为d＋|MN|的最小值为坐标原点到l的距离减去1，所以d＋|MN|的最小值为－1＝3，则|AM|＋2d的最小值为6. 答案：6 9．(2024·河北石家庄高二联考)过点(0，2)引直线l与圆x2＋y2＝2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积取最大值时，直线l的斜率为_______． 解析：x2＋y2＝2的圆心为(0，0)，半径为， 当直线l的斜率不存在时，直线l即为y轴，此时A、B、O三点共线，不符合题意； 当直线l的斜率存在时，设方程为y＝kx＋2， S△AOB＝|AO||BO|sin ∠AOB＝××sin ∠AOB＝sin ∠AOB， 所以当sin ∠AOB＝1即∠AOB＝时，△AOB面积取最大， 即△AOB为等腰直角三角形，可得O到l的距离为1， 即圆心(0，0)到直线l的距离为d＝＝＝1，解得k＝±. 答案：± 10．已知实数x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求下列各式的最值： (1)； (2)x2＋y2； (3)x＋y. 解：(1)设k＝，变形为k＝，此式表示圆(x＋1)2＋y2＝上一点(x，y)与点(0，0)连线的斜率，由k＝，可得y＝kx(x≠0)，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即≤，解得－≤k≤，故的最大值是，最小值为－. (2)由题意知x2＋y2表示圆(x＋1)2＋y2＝上的点到坐标原点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值． 原点(0，0)到圆心(－1，0)的距离d＝1， 故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝. 因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和. (3)令x＋y＝b，并将其变形为y＝－x＋b，问题可转化为斜率为－1的直线在经过圆(x＋1)2＋y2＝上的点时在y轴上的截距的最值．当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有＝，解得b＝±－1，即最大值为－1，最小值为－－1. 【综合运用】 11．(2024·河北沧州省级联测)已知点P是直线l：3x＋4y－2＝0上的一个动点，过点P作圆C：(x＋2)2＋(y＋3)2＝12的两条切线PM，PN，其中M，N为切点，则∠MPN的最大值为(　　 ) A．120° B．90° C．60° D．150° 解析：选A.要使得∠MPN最大，则|PC|最小，|PC|的最小值即为圆心C到直线的距离． 由题意知，|PM|＝|PN|，|CM|＝|CN|＝2， sin ∠CPM＝＝，且∠MPN＝2∠MPC， 所以∠MPN最大时，|PC|最小． 由题意知，|PC|min＝＝4. 所以sin ∠CPM＝＝，则∠CPM＝60°， 即∠MPN的最大值为2×60°＝120°. 12．已知点P(7，3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则|SP|＋|SQ|的最小值为(　　 ) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：选C.由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圆心为M(1，5)，半径为1.如图所示，作点P(7，3)关于x轴的对称点P′(7，－3)， 连接MP′，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时|SP|＋|SQ|的值最小． 故(|SP|＋|SQ|)min＝|P′M|－1＝－1＝9. 13．(多选)(2024·江苏盐城高二联考)已知圆C过点(4，2)，(2，0)，(6，0)，点M在线段y＝x(0≤x≤4)上，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，以AB为直径作圆C′，则下列说法正确的是(　　 ) A．圆C的方程为(x－4)2＋y2＝2 B．四边形ACBM面积的最小值为4 C．圆C′的面积的最小值为π D．圆C′的面积的最大值为3π 解析：选BD.依题意，圆C圆心在直线x＝4上，设C(4，c)，则(4－2)2＋c2＝(4－4)2＋(c－2)2，解得c＝0，圆C：(x－4)2＋y2＝4，　①故A错误； 四边形ACBM面积S＝|MA|·|AC|＝2，且当M在线段y＝x(0≤x≤4)中点时，|MC|min＝2，故Smin＝4，故B正确； 因为圆C′是以AB为直径的圆，则当AB最小时，圆C′的面积最小，反之，当AB最大时，圆C′的面积最大， 结合图象的对称性可知，当M在线段y＝x(0≤x≤4)的中点时，AB最小， 此时，M(2，2)，MA＝＝＝2， 则以M为圆心，MA为半径的圆方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，　② ①②作差可得，lAB：x－y－2＝0，M到直线AB距离d＝＝，则＝＝， 所以圆C′的面积最小值为π·＝2π，故C错误； 当M在线段y＝x(0≤x≤4)的两端点时，AB最大， 此时，取M(4，4)，MA＝＝＝2， 则以M为圆心，MA为半径的圆方程为(x－4)2＋(y－4)2＝12，　③ ①③作差可得，lAB：y－1＝0，M到直线AB距离d＝3， 则＝＝，所以圆C′的面积最大值为π·＝3π，故D正确． 14．已知圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点M，使得AM⊥MB，则m的最小值为________． 解析：根据题意，点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)，则AB的中点为(0，0)，|AB|＝2m，则以AB的中点为圆心，半径r＝×|AB|的圆为x2＋y2＝m2，设该圆为圆O，若圆C上存在点M，使得AM⊥MB，则圆C与圆O有交点，必有|m－2|≤|OC|≤m＋2，即又由m>0，解得3≤m≤7，即m的最小值为3. 答案：3 【创新探索】 15．已知直线l：3x＋4y＋1＝0，一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切，且圆心C到直线l的距离为3. (1)求圆的方程； (2)P是直线l上的动点，PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，求四边形PECF的面积的最小值． 解：(1)∵圆与x，y轴正半轴都相切， ∴圆的方程可设为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)， ∵圆心C到直线l的距离为3，由点到直线的距离公式，得d＝＝3，解得a＝2， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4. (2)∵PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点(图略)， ∴△PCE≌△PCF，∴S四边形PECF＝2S△PCE， ∵PE是圆的切线，且E为切点， ∴PE⊥CE，|CE|＝2，|PE|2＝|PC|2－|CE|2＝|PC|2－4， ∴当斜边PC取最小值时，PE也最小，即四边形PECF的面积最小． |PC|min即为C到l的距离，由(1)知|PC|min＝3， ∴|PC|－4＝5，即|PE|min＝， ∴S△PCE＝|EC|·|PE|＝×2×＝， ∴四边形PECF的面积的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $