课后分层练(三十八)　抛物线的标准方程及性质的应用-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(三十八)]　抛物线的标准方程及性质的应用 (单选题、填空题每题5分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则(　　 ) A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点 C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点 解析：选C．∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线过定点(1，0).∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点． 2．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　 ) A．2 B．2 C．2 D．2 解析：选B．设A(x1，y1)，B(x2，y2). 由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2， 由得x2－4x＋1＝0， 所以x1＋x2＝4，x1x2＝1， 所以|AB|＝＝＝＝2. 3．在平面直角坐标系中，已知M(－1，2)，N(1，0)，动点P满足||＝||，则动点P的轨迹方程是(　　 ) A．y2＝4x B．x2＝4y C．y2＝－4x D．x2＝－4y 解析：选A．设P(x，y)，因为M(－1，2)，N(1，0)， 则＝(－1－x，2－y)，＝(1，0)，＝(1－x，－y)， 因为||＝||，所以|1＋x|＝，整理得y2＝4x. 4．(一题多解)抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是(　　 ) A． B． C． D．3 解析：选A．方法一　设与抛物线相切的直线，且与直线4x＋3y－8＝0平行的直线方程为4x＋3y＋m＝0. 与抛物线y＝－x2联立，消去y可得3x2－4x－m＝0， 由题意知，Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－. ∴最小值为两平行线之间的距离d＝＝. 方法二　设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)， 该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为，当m＝时，取得最小值. 5．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点．若线段AB的中点为E，O为坐标原点，且|OE|＝，则p等于(　　 ) A．2 B．3 C．6 D．12 解析：选A．由题意可知F，则直线AB为y＝x－， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意得相减得，y－y＝2p(x1－x2)⇒y1＋y2＝2p， 因为E为线段AB的中点， 所以E，即E， 因为E在直线AB：y＝x－上，所以E，又因为|OE|＝，所以p＝2. 6．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　 ) A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 解析：选B．设A(x1，y1)，B(x2，y2).当斜率不存在时，x1＋x2＝2不符合题意． 当斜率存在时，由焦点坐标为(1，0)， 可设直线方程为y＝k(x－1)， 由 得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 所以Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k4＝16k2＋16>0， x1＋x2＝＝5，所以k2＝，即k＝±，故这样的直线有且仅有两条． 7．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若弦AB的中点为(2，2)，则抛物线的方程为________，直线l的方程为________． 解析：由题意知抛物线的方程为y2＝4x，设直线l与抛物线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有且x1≠x2， 两式相减得y－y＝4(x1－x2)，因为AB的中点为(2，2)，所以y1＋y2＝4，所以＝＝1，所以直线l的方程为y－2＝x－2，即x－y＝0. 答案：y2＝4x　x－y＝0 8．已知抛物线C：y2＝2x，斜率为k的直线l过定点M(x0，0)，直线l交抛物线C于A，B两点，且A，B位于x轴两侧，·＝3(O为坐标原点)，则x0＝________． 解析：设直线l的方程为y＝k(x－x0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 与抛物线方程联立可得 消去y并整理可得，k2x2－(2k2x0＋2)x＋k2x＝0， 由根与系数的关系可得，x1x2＝x， 则y1y2＝－＝－2x0， ∵·＝3，∴x1x2＋y1y2＝3，即x－2x0＝3，解得x0＝3(负值舍去). 答案：3 9．已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点． (1)若|AB|＝10，求实数m的值； (2)若OA⊥OB，求实数m的值． 解：由得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m<2. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2， y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m. (1)因为|AB|＝·＝·＝10， 所以m＝，经检验符合题意． (2)因为OA⊥OB， 所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0， 解得m＝－8或m＝0(舍去). 所以m＝－8，经检验符合题意． 【综合运用】 10．设抛物线y2＝4x上一点P到y轴的距离为d1，到直线l：3x＋4y＋12＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为(　　 ) A．2 B． C． D．3 解析：选A．由得3y2＋16y＋48＝0，Δ＝256－12×48<0，故方程无解， ∴直线3x＋4y＋12＝0与抛物线相离． 又d1＋d2＝d1＋1＋d2－1，而d1＋1为P到准线x＝－1的距离， 故d1＋1为P到焦点F(1，0)的距离， 从而d1＋1＋d2的最小值为点F到直线3x＋4y＋12＝0的距离， 即＝3，故d1＋d2的最小值为2. 11．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A(2，4)，过点F的动直线l与抛物线分别交x轴上方与x轴下方于M，N两点，点M在y轴上的射影为点B，则|MA|＋|MB|的最小值为________，设直线KM，KN的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的值为________． 解析：如图，由题意可知抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，K(－1，0). 设点M在准线上的射影为H，由抛物线的定义可得|MF|＝|MH|＝|MB|＋1， 即|MB|＝|MF|－1，则|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MF|－1≥|AF|－1＝－1＝－1， 所以当A，M，F三点共线时，|MA|＋|MB|取得最小值－1. 设过点F的直线方程为x＝my＋1，联立消去x得y2－4my－4＝0. 设M，N的纵坐标分别为y1，y2，可得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4， 则k1＋k2＝＋＝＝0. 答案：－1　0 12．(学科融合)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．现有抛物线y2＝2px(p>0)，如图，一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于x轴的方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为_______． 解析：由抛物线的光学性质可得，PQ必过抛物线的焦点F. 当直线PQ的斜率不存在时，易得|PQ|＝2p； 当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为y＝k，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立 得k2＝2px， 整理得4k2x2－(4k2p＋8p)x＋k2p2＝0， 所以x1＋x2＝p＋，x1x2＝， 所以|PQ|＝x1＋x2＋p＝2p>2p. 综上，当直线PQ与x轴垂直时，弦长最短， 又因为两平行光线间的最小距离为3，故2p＝3， 所以抛物线的方程为y2＝3x. 答案：y2＝3x 13．如图，已知抛物线y2＝4x，其焦点为F. (1)求以M(1，1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程； (2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值． 解：(1)由题意知，中点弦所在的直线斜率存在． 设所求直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则y＝4x1，y＝4x2，kPQ＝＝＝2， ∴所求直线方程为2x－y－1＝0. (2)依题意知，直线m，n的斜率存在且均不为0，设直线m的方程为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立，得消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 设其两根为x3，x4，则x3＋x4＝＋2. 由抛物线的定义可知，|AB|＝2＋x3＋x4＝＋4， 同理可得|CD|＝4k2＋4， ∴四边形ACBD的面积S＝(4k2＋4)·＝8≥32，当且仅当k＝±1时等号成立，此时所求四边形ACBD面积的最小值为32. 【创新探索】 14．在平面直角坐标系Oxy中，设点F(1，0)，直线l：x＝－1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l. (1)求动点Q的轨迹方程； (2)记Q的轨迹为曲线E，过点F作两条互相垂直的直线交曲线E的弦为AB，CD，设AB，CD的中点分别为点M，N，求证：直线MN过定点(3，0). 解：(1)因为点F(1，0)，直线l：x＝－1，所以点R是线段FP的中点， 由此及RQ⊥FP知，RQ是线段FP的垂直平分线． 因为|PQ|是点Q到直线l的距离，而|PQ|＝|QF|，PQ⊥l， 所以动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝4x(x>0). (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，直线AB：x＝my＋1(m≠0)， 则消去x得y2－4my－4＝0， 所以yM＝＝2m，xM＝m·yM＋1＝2m2＋1，即M(2m2＋1，2m). 同理，N(＋1，－). 因此，直线MN的斜率kMN＝＝， 直线MN的方程为y－2m＝(x－2m2－1)，即mx＋(1－m2)y－3m＝0. 显然，不论m为何值，(3，0)均满足方程，所以直线MN过定点(3，0). 学科网（北京）股份有限公司 $