课后分层练(七)　空间中点、直线和平面的向量表示-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(七)]　空间中点、直线和平面的向量表示 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．设平面α内两向量a＝(1，2，1)，b＝(－1，1，2)，则下列向量中是平面α的法向量的是(　　 ) A．(－1，－2，5) B．(－1，1，－1) C．(1，1，1) D．(1，－1，－1) 解析：选B.因为(－1，1，－1)·(1，2，1)＝－1＋2－1＝0，(－1，1，－1)·(－1，1，2)＝1＋1－2＝0，所以向量(－1，1，－1)是此平面的法向量． 2．在平面ABCD中，A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(－1，0，3)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABCD的法向量，则y2等于(　　 ) A．2 B．0 C．1 D．无意义 解析：选C.由题意得＝(1，1，0)，＝(－1，－1，2)，又a为平面ABCD的法向量， 所以即 解得y＝1，所以y2＝1. 3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E，F分别在棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是(　　 ) A．(1，－1，3) B．(1，－1，－3) C．(2，－3，6) D．(－2，3，－6) 解析：选A.设正方体的棱长为1，平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则A(1，0，0)，E，F，所以＝＝ 则即取x＝1，则y＝－1，z＝3，故n＝(1，－1，3)． 4．(多选)(易错题)在如图所示的坐标系中，ABCD­A1B1C1D1为棱长为1的正方体，下列结论中，正确的是(　　 ) A．直线DD1的一个方向向量为(0，0，1) B．直线BC1的一个方向向量为(0，1，1) C．平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0) D．平面B1CD的一个法向量为(1，1，1) 解析：选ABC.DD1∥AA1，＝(0，0，1)，故A正确； BC1∥AD1，＝(0，1，1)，故B正确； 直线AD⊥平面ABB1A1，＝(0，1，0)，故C正确； C1点坐标为(1，1，1)，与平面B1CD不垂直，故D错误． 5．已知直线l1的一个方向向量为(－5，3，2)，另一个方向向量为(x，y，8)，则x＝________，y＝________． 解析：因为直线的方向向量平行，所以＝＝，所以x＝－20，y＝12. 答案：－20　12 6．已知直线l的方向向量为a＝(－3，m，2)，平面α的法向量为b＝(n，3，4)，且l⊥α，则2m＋n＝________． 解析：因为l⊥α，所以a∥b， 所以有＝＝⇒⇒2m＋n＝2×－6＝－3. 答案：－3 7．若M(2，0，－1)，N(－1，，1)在直线l上，则直线l的方向向量的单位向量为________. 解析：因为M(2，0，－1)，N(－1，，1)，所以＝(－3，，2)，所以||＝4， 所以直线l的方向向量的单位向量是＝(－3，，2)＝(－，，). 答案：(－，，) 8．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，若点P(a，1，1)在平面ABC内，则a＝________． 解析：设平面ABC的法向量是n＝(x，y，z)，又＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)， 所以取x＝1，得n＝(1，1，1)， 因为P(a，1，1)在平面ABC内，则n·＝a－1＋1＋1＝0，解得a＝－1. 答案：－1 9．在△ABC中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设M(x，y，z)是平面ABC内任意一点． (1)求平面ABC的一个法向量； (2)求x，y，z满足的关系式． 解：(1)设平面ABC的法向量n＝(a，b，c)．因为＝(2，4，－1)，＝(2，2，1)， 所以所以 令b＝2，则a＝－3，c＝2.所以平面ABC的一个法向量为n＝(－3，2，2)． (2)因为点M(x，y，z)是平面ABC内任意一点， 所以⊥n，所以－3(x－1)＋2(y＋1)＋2(z－2)＝0，所以3x－2y－2z－1＝0. 故x，y，z满足的关系式为3x－2y－2z－1＝0. 【综合运用】 10．已知点M(3，1，2)，N(1，－5，－4)，A(4，1，3)，C为线段AB上一点，且是直线AB的方向向量，则点C的坐标为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.因为C在线段AB上，所以∥， 又是直线AB的方向向量，所以∥，所以∥. 设C(x，y，z)，因为＝(－2，－6，－6)，＝(x－4，y－1，z－3)，且， 所以(x－4，y－1，z－3)＝(－2，－6，－6)，即 解得x＝，y＝－1，z＝1，所以点C的坐标是. 11．(多选)已知空间中的三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则下列说法不正确的是(　　 ) A．不是直线AB的一个方向向量 B．直线AB的一个单位方向向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是(1，－2，5) 解析：选BC.易知＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)，所以不存在实数λ，使得，故A正确； 因为＝(2，1，0)，所以与不共线，所以B错误； 易知＝(－3，1，1)，所以cos 〈〉＝，所以C错误； 设平面ABC的一个法向量是n＝(x，y，z)，则 即 令x＝1，则平面ABC的一个法向量是n＝(1，－2，5)，所以D正确． 12．(开放性问题)四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面的中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝，则平面OCB1的一个法向量为n＝________. 解析：建立空间直角坐标系如图， 因为四边形ABCD是正方形，且AB＝，所以AO＝OC＝1， 因为A1O⊥平面ABCD，且AO⊂平面ABCD， 所以AO⊥A1O，所以OA1＝＝1， 所以O(0，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，即＝(0，1，0)，＝(1，1，1)， 设向量n＝(x，y，z)是平面OCB1的法向量， 所以 取x＝1，则z＝－1，故n＝(1，0，－1)． 答案：(1，0，－1)(答案不唯一) 13．若A是平面α内三点，设平面α的一个法向量为a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________. 解析：由已知得，＝， ∵a是平面α的法向量， ∴a·＝0， 即解得 ∴x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)． 答案：2∶3∶(－4) 14．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1). (1)写出直线BD的一个方向向量； (2)求证：是平面ABCD的法向量； (3)求平行四边形ABCD的面积． 解：(1)＝－＝(4，2，0)－(2，－1，－4)＝(2，3，4)，故直线BD的一个方向向量可以是(2，3，4).(答案不唯一) (2)因为·＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝0，·＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝0， 所以AP⊥AB，AP⊥AD，又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD， 所以AP⊥平面ABCD，所以是平面ABCD的法向量． (3)因为||＝＝，||＝＝2，·＝(2，－1，－4)·(4，2，0)＝6， 所以cos 〈，〉＝＝， 故sin 〈，〉＝， 所以S▱ABCD＝||||sin 〈，〉＝8. 【创新探索】 15．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2AD＝4，E，F分别为线段AB，CD的中点，沿EF把AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF，得到如图2所示的立体图形．在线段EC上存在点G，使得AG∥平面CDF，以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系Exyz，则平面CDF的一个法向量n＝________，EG＝________. 解析：由题意得A(0，0，2)，C(2，4，0)，D(0，2，2)，F(0，3，0)，＝(2，1，0)，＝(0，－1，2)， 设平面CDF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则取x＝－1，得n＝(－1，2，1)． 设，G(a，b，0)，则(a，b，0)＝(2λ，4λ，0)，所以a＝2λ，b＝4λ，＝(2λ，4λ，－2)， 因为AG∥平面CDF，所以·n＝－2λ＋8λ－2＝0，解得λ＝，所以G， 所以EG＝. 答案：(－1，2，1)　 学科网（北京）股份有限公司 $