课后分层练(八)　空间中直线、平面的平行-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(八)]　空间中直线、平面的平行 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，1，1)，则(　　 ) A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α或l∥α D．l与α斜交 解析：选C.由题意，a·n＝1×(－2)＋2×1＝0，所以a⊥n，故l⊂α或l∥α. 2．(2025·无锡高二检测)已知直线l1，l2的方向向量分别为a，b，且a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若l1∥l2，则λ与μ的值可以分别为(　　 ) A．2， B．－， C．－3，2 D．2，2 解析：选A.由题意可知，当λ＝0时，不满足要求，故解得或 3．已知平面α的一个法向量是(2，－1，1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(　　 ) A．(4，2，－2) B．(2，0，4) C．(2，－1，－5) D．(4，－2，2) 解析：选D.平面α的一个法向量是(2，－1，1)，α∥β，设平面β的法向量为(x，y，z)，则(2，－1，1)＝λ(x，y，z)，λ≠0，对比四个选项可知，只有D符合要求． 4．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　 ) A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 解析：选B.如图，建立空间直角坐标系， 则A(2，2，2)，A1(2，2，0)，C(0，0，2)，B(2，0，2)．因为M，N分别为A1B，AC的中点，所以M(2，1，1)，N(1，1，2)，所以＝(－1，0，1)． 易知平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0，1，0)，因为－1×0＋0×1＋1×0＝0， 即·n＝0，所以⊥n.又因为MN⊄平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C. 5．(多选)平面α的法向量u＝(x，1，－2)，平面β的法向量v＝(－1，y，)，已知α∥β，则(　　 ) A．x＝－4 B．x＝4 C．y＝－ D．y＝ 解析：选BC.由题意知，因为α∥β，所以u＝λv，即解得λ＝－4，y＝－，x＝4. 6．(多选)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法正确的是(　　 ) A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1 解析：选ACD.连接PM(图略)，因为M，P分别为AB，CD的中点，故PM平行且等于AD，由题意知AD平行且等于A1D1，故PM平行且等于A1D1，所以四边形PMA1D1为平行四边形，故A正确；显然A1M与B1Q为异面直线，故B错误；由A知A1M∥D1P，由于D1P既在平面DCC1D1内，又在平面D1PQB1内，且A1M既不在平面DCC1D1内，又不在平面D1PQB1内，故C，D正确． 7．(2025·郑州高二检测)已知α，β为两个不重合的平面，设平面α与向量a＝(－1，2，－4)垂直，平面β与向量b＝(－2，4，－8)垂直，则平面α与β的位置关系是________. 解析：由题意知，向量a与向量b分别是平面α与平面β的法向量，且b＝2a，所以a∥b，所以α∥β. 答案：平行 8．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n＝(2，2，4)，若a＝(1，1，2)，则直线l与平面α的位置关系为________；若a＝(－1，－1，1)，则直线l与平面α的位置关系为________． 解析：当a＝(1，1，2)时，a＝n，则l⊥α； 当a＝(－1，－1，1)时，a·n＝(－1，－1，1)·(2，2，4)＝0，则l∥α或l⊂α. 答案：l⊥α　l∥α或l⊂α 【综合运用】 9．(多选)在如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱BB1，AD，AA1的中点，则下列说法错误的是(　　 ) A．D1F⊥B1C B．FG∥D1E C．FG⊥平面AD1E D．BF∥平面AD1E 解析：选ABC.以D为原点，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，设AD＝2，则有关点及向量的坐标为：A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(2，2，1)，F(1，0，0)，G(2，0，1)，B1(2，2，2)，D1(0，0，2)，＝(1，0，－2)，＝(－2，0，－2)，＝(1，0，1)，＝(2，2，－1)，＝(2，0，－2)． 设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取x＝2，则z＝2，y＝－1，n＝(2，－1，2)． ＝(1，0，－2)·(－2，0，－2)＝2≠0，故A不正确； 因为≠，故FG∥D1E不成立，故B不正确； ＝(1，0，1)·(2，2，－1)＝1≠0，故⊥平面AD1E不成立，故C不正确； ·n＝(－1，－2，0)·(2，－1，2)＝0，又BF⊄平面AD1E，故BF∥平面AD1E，故D正确． 10．已知n＝(－3，1，2)是平面α的一个法向量，点A(0，－3，－1)，B(k，2k，2)在平面α内，则k＝____________. 解析：由条件得＝(k，2k＋3，3)，因为n＝(－3，1，2)是平面α的一个法向量，点A，B在平面α内，所以n⊥，所以n·＝0，所以(－3，1，2)·(k，2k＋3，3)＝－3k＋2k＋3＋6＝0，解得k＝9. 答案：9 11．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点，则OP与BD1的位置关系是________． 解析：如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 设正方体的棱长为1，则O，P，B(1，1，0)，D1(0，0，1)． 则＝(－1，－1，1)， ∴∥，∴OP∥BD1. 答案：平行 12．如图，在多面体ABC­A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1∥BC，B1C1＝BC，二面角A1­AB­C是直二面角．求证：AB1∥平面A1C1C. 证明：因为二面角A1­AB­C是直二面角，四边形A1ABB1是正方形，所以AA1⊥平面BAC. 又因为AB＝AC，BC＝AB， 所以∠CAB＝90°，即CA⊥AB， 所以AB，AC，AA1两两垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 设AB＝2，则A(0，0，0)，B1(0，2，2)，A1(0，0，2)，C(2，0，0)，C1(1，1，2)，所以＝(0，2，2)，＝(1，1，0)，＝(2，0，－2)． 设平面A1C1C的法向量为m＝(x，y，z)， 则即令x＝1，则y＝－1，z＝1，即m＝(1，－1，1)， 所以·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，所以⊥m. 又AB1⊄平面A1C1C，所以AB1∥平面A1C1C. 13．如图，已知棱长为4的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面AMN∥平面EFBD. 证明：由正方体的棱长为4，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，A(4，0，0)，M(2，0，4)，N(4，2，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)， ＝(－2，0，4)，＝(0，2，4)， ＝(0，2，4)，＝(－2，0，4)， 设平面AMN的法向量为m＝(x，y，z)，则 即令z＝1，解得x＝2，y＝－2，所以m＝(2，－2，1)， 设平面EFBD的法向量为n＝(a，b，c)，则 即令c＝1，解得a＝2，b＝－2，所以n＝(2，－2，1)，所以m∥n， 所以平面AMN∥平面EFBD. 【创新探索】 14．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，求线段A1P长度的最小值． 解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， A(2，0，0)，E(1，2，0)，F(0，2，1)，A1(2，0，2)，＝(－1，2，0)，＝(－2，2，1)， 设平面AEF的法向量n＝(x，y，z)，则取y＝1，得n＝(2，1，2)， 设P(a，2，c)，0≤a≤2，0≤c≤2，则＝(a－2，2，c－2)，因为A1P∥平面AEF， 所以·n＝2(a－2)＋2＋2(c－2)＝0，整理得a＋c＝3， 所以线段A1P的长度 ＝ ＝ ＝，当且仅当a＝c＝时，线段A1P长度取最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $