课后分层练(二)　共线向量与共面向量-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(二)]　共线向量与共面向量 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．(2025·福州高二检测)已知空间向量a，b，且＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　 ) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 解析：选A.因为＝a＋2b，所以，所以A，B，D三点共线． 2．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，向量是(　　 ) A．有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量 解析：选C.因为，且，所以，即.又因为与不共线，所以三向量共面． 3．(多选)下列命题为真命题的是(　　 ) A．若∥，则A，B，C，D四点共线 B．若∥，则A，B，C三点共线 C.若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，则a∥b D．若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0 解析：选BCD.根据共线向量的定义，若∥，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故A错； 因为∥且有公共点A，所以B正确； 由于a＝4e1－e2＝－4＝－4b，所以a∥b，故C正确；易知D也正确． 4．如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为一定点，O为平面ABC外任一点，下列能表示向量的为________．(填序号) ①； ②； ③； ④. 解析：因为A，B，C，P四点共面，所以可设，即，由题图可知x＝3，y＝－2. 答案：③ 5．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________． 解析：由已知得＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， ∵A，B，D三点共线， ∴与共线，即存在λ∈R，使得. ∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2， ∵e1，e2不共线，∴∴k＝－8. 答案：－8 6．已知A，B，C三点共线，O为直线外任意一点，若，则m＋n＝________． 解析：由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得，即＝λ，所以＝(1－λ)，所以m＝1－λ，n＝λ，所以m＋n＝1. 答案：1 7．空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和的关系是________．(填“平行”“相等”或“相反”) 解析：设G是AC的中点，连接EG，FG(图略)， 则， 所以2， 从而∥. 答案：平行 8．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且，点F在A1C上，且.求证：E，F，B三点共线． 证明：设＝c. 因为， 所以， 所以， ＝＝， 所以. 又－c， 所以，所以∥. 又与有公共点E， 所以E，F，B三点共线． 9．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足. (1)判断三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 解：(1)由题意，知3，所以＝＋，即，故共面． (2)由(1)知，共面且过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内． 【综合运用】 10．(数学文化)(2025·广东东莞模拟)《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC­A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若，则x＋y＋z＝(　　 ) A．1 B． C． D． 解析：选A．连接AM，AN， 因为G是MN的中点，所以， 因为ABC­A1B1C1是底面为直角三角形的直棱柱，所以四边形AA1B1B，BCC1B1，ACC1A1为长方形， 又因M，N分别是A1C1，BB1的中点， 所以， 则＝＋＝， 又因，所以可得解得 所以x＋y＋z＝＝1. 11．已知a＝3m－2n－4p(a≠0)，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，则x＋y＝________． 解析：∵a∥b且a≠0，∴b＝λa， 即(x＋1)m＋8n＋2yp＝3λm－2λn－4λp， 又m，n，p不共面，∴＝＝， 则x＝－13，y＝8，x＋y＝－5. 答案：－5 12．设e1，e2是平面内两个不共线的向量，＝(a－1)e1＋e2，＝be1－2e2，a>0，b>0.若A，B，C三点共线，则的最小值是________． 解析：若A，B，C三点共线， 则可设， 即(a－1)e1＋e2＝x(be1－2e2)， 因为e1，e2是平面内两个不共线的向量， 所以 解得x＝－b， 即a＋b＝1， 因为a>0，b>0， 则＝＝1＋1＋＝2＋2＝4， 当且仅当，即a＝，b＝1时，取等号，故的最小值为4. 答案：4 13．(一题多解)如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线． 解：方法一：因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形，所以. 又因为，以上两式相加得， 所以∥，即与共线． 方法二：因为四边形ABEF为平行四边形，所以连接AE时，AE必过点N， 所以＝2＝2，所以∥，即与共线． 【创新探索】 14．已知H为四棱锥P­ABCD的棱PC的三等分点，且PH＝HC.点G在AH上，AG＝mAH，四边形ABCD为平行四边形．若G，B，P，D四点共面，求实数m的值. 解：如图，连接BD，BG， 因为，且， 所以. 因为， 所以. 因为，所以. 又因为， 所以. 因为＝m，所以. 因为， 所以＝＋. 又因为B，G，P，D四点共面， 所以1－＝0，解得m＝. 学科网（北京）股份有限公司 $