第5章 函数的概念、性质及应用（复习讲义）数学沪教版2020必修第一册

第5章 函数的概念、性质及应用（复习讲义） 1、 理解函数的概念及构成要素，掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），能根据实际情境抽象出函数模型，会进行函数解析式的求解与函数关系的判断；了解分段函数的概念，能准确画出简单分段函数的图像并结合图像分析其意义. 2、 理解函数定义域、值域的概念，掌握常见函数（分式函数、根式函数、指数函数、对数函数等）定义域的求解方法，能根据函数解析式的特征，运用配方法、换元法、单调性法等求函数的值域；能结合定义域、值域分析函数的取值范围与实际意义. 3、了解函数图像的基本变换规律，掌握平移变换（左右平移、上下平移）、对称变换（关于x轴、y轴、原点对称）、伸缩变换（水平伸缩、垂直伸缩）的具体规则，能根据基本函数图像通过变换得到复杂函数的图像，并用图像直观分析函数的性质. 4、理解函数奇偶性、单调性的定义，掌握判断函数奇偶性的步骤和证明函数单调性的方法（定义法、图像法），能熟练运用函数的奇偶性与单调性分析函数的图像特征、比较函数值大小、求解不等式及求函数的最值. 5、理解复合函数的概念，掌握简单复合函数（如f(g(x))形式，其中f(x)、g(x)为基本初等函数）的定义域求解方法，能判断简单复合函数的单调性（遵循“同增异减”原则），会结合复合函数的性质解决函数求值、不等式求解等问题. 6、理解函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的关系，能通过解方程、分析函数图像或利用函数性质判断函数零点的存在性与个数；了解二分法的基本原理和适用条件，会用二分法求简单函数零点的近似值. 7、理解反函数的概念，掌握求简单函数反函数的步骤（求值域、解反函数、互换变量），了解原函数与反函数的图像关系（关于直线y=x对称）及定义域、值域的对应关系，能结合反函数的性质解决简单的数学问题. 8、能运用函数知识解决实际问题，掌握“建立函数模型—分析函数性质—求解问题—检验结果”的解题流程，会处理利润最大化、成本最小化、行程问题、增长率问题等常见实际场景中的函数应用，提升数学建模与问题解决能力. 1、 函数的概念及其表示 函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2、相同函数的判断方法： ①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）； ②定义域一致 (两点必须同时具备) 3、抽象函数定义域：函数，三者之间定义域的关系. 【定义域都是指的取值范围】 抽象函数定义域的求解类型及方法： （1）已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，实质是已知φ(x)的取值集合为A，求x的取值集合. （2）已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，实质是已知φ(x)中的x的取值集合为B，求出φ(x)的取值集合，此集合就是f(x)的定义域. （3）已知f(φ(x))的定义域为C，求f(g(x))的定义域，实质是已知φ(x)中的x的取值集合为C，求出φ(x)的取值集合D，再令g(x)的取值集合为D，求出x的取值集合，此集合就是f(g(x))的定义域 4、求函数的值或值域 （1）求函数值的方法 ①已知函数f(x)的解析式时，只需用常数a替换解析式中的x进行计算即可. ②已知函数f(x)与g(x)，求f(g(a))的值，应遵循由内到外的原则. 注意：用来替换解析式中x的常数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义 （2）值域的求法 ①图象法（最常用的方法）：几类基本初等函数 ②单调性法 ③换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为t，转化为关于t的某种简单的基本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解 ④分离常数法：主要针对形如y= (ac≠0，ad≠bc)的函数，常把分子分离成不含自变量的形式，即y==+，其值域是{y|y≠ ⑤反解法：例如求函数y＝(x＞－4)的值域．由y＝解出x得x＝.由x＞－4，得＞－4，即＞0，∴y＞或y＜1.故函数y＝(x＞－4)的值域为(－∞，1)∪. 5、函数解析式的求法 （1）代入法，直接法：适用于①由求复合函数，②由、、、等求. 注意：由分段函数求复合函数时，首先需要根据中对的分段，替换为对的分段． （2）配凑法，整体替换法：适用于、、等类型． （3）换元法：如，等类型． （4）待定系数法：已知函数类型，就要设出该函数表达式，如是一次函数，则可设；然后，①利用条件由对应项的系数相等完成； ②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可 （5） 解方程组法:已知函数f(x)满足某个等式，这个等式除 f(x)是未知量外,还出现其他未知量,如、等,则可根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)的解析式 6、分段函数的求值策略 (1)已知自变量的值求函数值的步骤： ①确定自变量属于哪一个区间； ②代入该区间所对应的解析式求值，直到求出值为止. 当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值. (2)已知函数值求对应的自变量的值：可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解 7.函数奇偶性 （1）定义： ①偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. ②奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. （2）性质法判断函数的奇偶性： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： （3）奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 ①是偶函数的图象关于轴对称； ②是奇函数的图象关于原点对称； ③若是奇函数且，则 （4）奇偶性拓展 轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①；②③ 点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①；②③ 8、函数的单调性 （1）函数的单调性 ①增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. ②减函数：如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质； （3）等价变形： ，，，在区间上是增函数. ，，，在区间上是减函数. （4）定义法函数的单调性： ①任取x1，x2∈D，且x1<x2； ②作差f(x1)－f(x2)； ③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ⑤下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． （6）复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” （7）函数单调性的运算 （7）函数的最大（小）值 最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有②，使得 那么称是函数的最大值； 最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有②，使得 那么称是函数的最小值； 9、函数的零点 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标 这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 10、零点存在性定理 （1）函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. （2）函数零点的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 （3）判断函数零点所在区间的3个步骤： ①代入：将区间端点值代入函数求出函数的值；②判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断； ③结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． 11、利用二分法求方程近似解（函数零点）的步骤： ①构造函数,利用图象确定方程的解所在的大致区间,通常限制在区间. ②利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间. ③区间内的任一实数均是方程的近似解,通常取区间的一个端点 12、反函数 （1）反函数定义 一般地，对于函数)，设它的定义域为，值域为，如果对中任意一个值，在中总有唯一确定的值与它对应，使,这样得到的。在习惯上，自变量用表示，而函数用表示，所以把它改写为 （2）关于反函数的结论 ①关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域， ②互为反函数的两个函数与图像关于直线对称；若点在的图像上，则点必在图像上； （3）求反函数的步骤 ①求反函数的值域(若值域显然，解题时常略去不写)； ②反解：由解出； ③改写：在中，将,互换得到； ④标明反函数的定义域，即①中求出的值域。 题型一 求函数的定义域（含抽象函数） 【例1】求下列函数的定义域： (1)； (2). （3） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据二次根式的性质，结合分母不为零、零指数幂的定义进行求解即可 【详解】（1）要使函数有意义，只需令，解得：, 所以函数的定义域为：. （2）要使函数有意义，需满足,所以, 所以的定义域为: （3）函数， 则，即，即定义域是. 故答案为： 【变式1-1】（25-26高一上·上海·期中）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由函数定义域的概念列出不等式求解即可. 【详解】由解析式得：， 解得且， 所以定义域为， 故答案为： 【变式1-2】（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域性质计算求解即可. 【详解】由题意知. 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高一上·上海·月考）函数定义域为的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的定义域、一元二次函数以及恒成立问题求得充要条件，再根据充分不必要条件进行判断即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以对任意的恒成立， 当时，不等式变形为，解得，不符合题意， 当时，不等式的解集为， 所以，解得， 综上所述：函数的定义域为，则的取值范围； 所以是函数的定义域为的一个必要不充分条件，故A错误； 所以是函数的定义域为的一个必要不充分条件，故B错误； 所以是函数的定义域为的一个充分不必要条件，故C正确； 所以是函数的定义域为的一个充要条件，故D错误. 故选：C. 题型二 函数的值域 【例2】（25-26高一上·上海·课堂练习）求下列函数的值域： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】（1）将代入求解即可； （2）形如的函数常用分离常数法求值域，，其值域是. （3）根据二次函数的顶点式求解值域，再结合根式的定义域求解即可. （4）形如的函数常用换元法求值域，先令，用t表示出x，并注明t的取值范围，再代入原函数将y表示成关于t的二次函数，最后用配方法求值域． 【详解】（1）因为，，，，，所以函数的值域为． （2）因为，且，所以，所以函数的值域为． （3）因为，所以，所以函数的值域为. （4）设（换元），则且，令. 因为，所以，即函数的值域为. 【变式2-1】函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由、在上都单调递减， ∴，在上单调递减， ∴当时，有，所以值域为．故选B 【变式2-2】（24-25高一上·上海·月考）函数的值域为 【答案】 【分析】根据换元法得到有关的函数，根据取值可得到值域. 【详解】令，则，，则在上是减函数， 所以， 所以，故的值域为， 故答案为：. 【变式2-3】求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由基本不等式求解即可； （2）设，结合二次函数的性质求解即可； （3）利用分离常数法求解即可. 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为． （2）设，，则， 所以， 所以函数的值域为． （3）， 则，所以函数的值域为． 题型三 同一函数的判断 【例3】（24-25高一上·上海·课后作业）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据两个函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，的定义域为,而的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，A错误， 对于B,与的定义域均为，且对应关系相同，故为相同函数，B正确， 对于C，的定义域为,而的定义域为，定义域不相同，故不是相同函数,C错误， 对于D，的定义域为，与的定义域为,定义域不相同，故不是相同函数,D错误， 故选：B 【变式3-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列各组函数中，表示相同函数的是（    ） A．， B．， C．， D．，，， 【答案】D 【分析】利用相同函数的性质逐个选项分析即可. 【详解】对于A，的定义域是，的定义域是， 两个函数的定义域不同，不是相同函数；故A错误， 对于B，，的定义域是， 两个函数的定义域不同，不是相同函数；故B错误， 对于C，的定义域为，的定义域是， 两个函数的定义域不同，不是相同函数；故C错误， 对于D，对应点的坐标为， 对应点的坐标为，两个函数对应坐标相同，是相同函数，故D正确. 故选：D 【变式3-2】（25-26高一上·上海·期中）下列函数中，与函数相同的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从对应关系与定义域两方面同时判断，均相同的即为同一个函数. 【详解】A选项，等价于，与原函数定义域不同，不是同一函数； B选项，等价于，与原函数定义域不同，不是同一函数； C选项，等价于，与原函数对应关系不同，不是同一函数. D选项，等价于，与原函数是同一函数； 故选：D. 【变式3-3】（24-25高一上·上海闵行·期末）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】A选项，对应法则不同；BC选项，定义域不同，D选项，两函数定义域和对应法则均相同，为同一函数. 【详解】A选项，，，两函数对应法则不同，故不是同一函数，A错误； B选项，令，解得，的定义域为， 的定义域为R，两函数定义域不同，不是同一函数，B错误； C选项，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，不是同一函数，C错误； D选项，，， 两函数定义域和对应法则均相同，为同一函数，D正确. 故选：D 题型四 求函数的解析式 【例4】若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法可求答案. 【详解】令，则， 即为， 所以. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高一上·上海·课堂练习）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求解. 【详解】令，则，因为，所以， 则，故. 故选：B. 【变式4-2】已知函数满足，则在区间内的最小值是 ． 【答案】 【分析】解方程组法求出的解析式，然后利用定义法判断其单调性，由单调性可得最值. 【详解】因为①，所以②， 由得，即． 设2，则，故在内单调递增，所以． 故答案为： 【变式4-3】求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用代入法求解析式即可； （2）解法一利用配凑法，解法二利用换元法求解析式； （3）利用方程组法求解即可. 【详解】（1）用代入法，因为， 所以； （2）解法一（配凑法）： 因为，且， 所以函数的解析式为； 解法二（换元法）： 令，则，且， 所以， 故函数的解析式为； （3）利用方程组法：①， 用代换①式中的，得②， 由①②联立消去，得， 故函数的解析式为． 题型五 分段函数的性质及应用 【例5】（24-25高一上·上海·期末）求函数的最小值 ． 【答案】 【分析】将函数写成分段函数，结合一次函数的性质求解即可. 【详解】因为 则在上单调递减，此时； 当时，； 在上单调递增，此时； 综上， 故答案为：1. 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期中）已知函数则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的分段函数，分段判断代入求值. 【详解】依题意，. 故选：B 【变式5-2】（24-25高一上·上海·月考）定义：表示中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先作出的图象，然后分析时的取值，根据值域结合图象确定出的最大值. 【详解】在平面直角坐标系中作出的图象如图所示， 令，解得或，所以， 令，解得，所以， 由题可知，当在区间上的取值范围为时， 当且仅当时取得最大值，且最大值为， 故选：B. 【变式5-3】（25-26高一上·上海·课堂练习）已知 (1)求的值； (2)若，求的值； (3)解不等式． 【答案】(1)1 (2)或2 (3) 【分析】考察分段函数求值问题，利用二次函数的性质求值及解不等式 【详解】（1）因为，， 所以，因为， 所以， （2）当时，，又，所以， 当时，，又， 所以，故， 综上，的值为或2 （3）当时，，所以， 当时，，所以， 综上，原不等式的解集为. 题型六 函数的奇偶性及应用 【例6】（24-25高一上·上海·月考）若二次函数表达式为，则 “ ” 是 “此函数为偶函数” 的（     ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据二次函数奇偶性，结合充要条件的定义判定即可． 【详解】二次函数表达式为，则，其定义域为， 若，则二次函数为偶函数，充分性成立， 若二次函数为偶函数，，，必要性成立， 所以是此函数为偶函数的充要条件. 故选：C． 【变式6-1】（25-26高一上·上海·期中）已知函数，是奇函数，则 . 【答案】 【分析】根据定义域关于原点对称求出，再由求出，即可得解. 【详解】令， 因为函数，是奇函数， 所以，解得； 所以，又，即， 所以，解得， 所以. 故答案为： 【变式6-2】（24-25高一上·上海静安·期末）设函数是定义在上的奇函数，当时,，则不等式的解集为（    ） A．() B．[] C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质求解，即可分类讨论代入求解. 【详解】设，则,故， 故， 当且，即，则，解得， 当且时，即， ，解得， 当且时，即， ，解得， 当且，此时不存在， 综上可得， 故选：C 【变式6-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，其中，则关于函数的叙述中正确的是（    ）． A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．的值域是 【答案】A 【分析】根据奇偶性的定义直接判断各选项. 【详解】因为， 所以， 所以为偶函数，B选项错误； ， 所以为偶函数，A选项正确，C选项错误； 又因为，所以， 所以值域不可能负数，D选项错误； 故选：A. 题型七 函数的单调性及应用 【例7】（25-26高一上·上海·月考）函数在上是严格增函数，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用严格增函数的性质，结合不等式性质解题即可. 【详解】由知且，由在上是严格增函数， 故，，故． 故选：A. 【变式7-1】（24-25高一上·上海·期末）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，函数是一次函数，结合一次函数单调性可判断选项B；当时，对函数解析式变形，结合反比例函数的单调性即可求解. 【详解】当时，， ∵函数在区间上是严格增函数，.故选项B错误； 当时，， ∵函数在区间上是严格增函数， 结合反比例函数的性质可知：，即. 故选项A，D错误，选项C正确. 故选：C. 【变式7-2】（24-25高一上·上海·课后作业）函数满足，当时都有，且对任意的，不等式恒成立．则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析得到函数为偶函数，在单调递增，则对任意的，不等式恒成立，转化为，恒成立，再转化为，得，恒成立，再分两种情况，得到的范围. 【详解】由题得函数为偶函数，在单调递增， 则对任意的，不等式恒成立， 则不等式，恒成立， 则，恒成立， 得，得，恒成立， 则且，或且，恒成立， 即当时，且， 或且， 又当，有，， 所以， 所以实数a的取值范围是. 故选：C. 【变式7-3】（24-25高一上·上海浦东新·月考）命题在上为单调增函数，命题（）在R上为增函数，则命题P是命题Q的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】由二次函数在给定区间上的单调性，结合图象可得，解得；根据分段函数的单调性判断方法，根据参数分类讨论即得，最后由充要条件的判断方法即得. 【详解】由在上为单调增函数， 因，则需使，解得，又，故得； 而由（）在R上为增函数， 当时 ，显然不合题意； 当时，若，为减函数，不合题意； 当时，需使，解得:. 故命题P是命题Q的充要条件. 故选：C. 题型八 二分法确定函数的零点 【例8】（24-25高一上·上海浦东新·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则第二次应计算的函数值是 ． 【答案】 【分析】根据零点的存在性定理，以及二分法的计算方法，得到第二次计算，即可的得到答案. 【详解】由函数的零点时，第一次经过计算得，， 即，可得零点， 根据二分法，第二次计算. 故答案为： 【变式8-1】借助信息技术，用二分法求函数零点的近似值得到下表数据： 1.00 1.25 1.50 1.625 0.6931 0.4325 0.0879 -0.1193 则由表中的数据，可得函数的一个零点的近似值为（精确度为0.1）（    ） A．1.5625 B．1.25 C．1.4375 D．1.46875 【答案】A 【分析】利用零点存在性定了即可判断. 【详解】因为，故的零点在区间内， 区间长度为，因此需要取区间的中点1.5625， 两个区间和中必有一个满足区间端点的函数值符号相异， 此时区间长度，因此1.5625是一个近似解． 故选：A 【变式8-2】（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）一个函数不能用二分法求零点是这个函数的图象与x轴相切的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据相关函数的性质及二分法判断零点的过程，判断题设条件间的推出关系，即可得答案. 【详解】对于，函数图象不连续且不存在零点，但在和上函数值符号不同， 所以不能用二分法判断零点，否则会得到矛盾结果，而不与轴相切； 若函数与x轴相切，即函数图象只在轴的一侧，故函数值恒正或恒负，但存在零点， 所以不能用二分法判断零点； 综上，一个函数不能用二分法求零点是这个函数的图象与x轴相切的必要不充分条件. 故选：B 【变式8-3】（24-25高一上·上海·期末）函数，其中是一个常数，计算知，则方程的根所在的区间是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】根据零点存在性定理可求解. 【详解】由得， 又函数的图象是连续不断的，且单调递增 根据零点存在性定理可知，函数f(x)的一个零点，且唯一， 即方程的根所在的区间是， 故选：B 题型九 函数的零点与方程 【例9】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的零点是（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】求出方程的根，即可得答案； 【详解】函数的零点可以转化为方程的根， 所以. 故选：C. 【变式9-1】（24-25高一上·上海·期中）已知实数，则方程的两个实根分别属于区间（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据函数零点的存在定理求解. 【详解】设， 由，则， 由函数的零点存在定理知，的零点分别位于区间和， 故方程的两个实根分别属于区间和， 故选：C 【变式9-2】（25-26高一上·上海·课后作业）已知函数，方程 的根的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据解析式画出和的函数图象，判断图象交点个数即可. 【详解】当时， ，故是的一个周期， 又时，，则， 作出函数和的函数图象， 因， ， 结合图象可知，和的函数图象交点个数为. 故选：B 【变式9-3】（24-25高一上·上海·期中）（23-24高一上·上海·月考）已知函数，给出以下三个命题正确的个数为（    ） ①存在实数a，函数无最小值； ②对任意实数a，函数都有零点； ③对任意，都存在实数m，使方程有3个不同的实根． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】通过特例，通过函数的图象可判断①；分为和两种情形即可说明②；通过函数图象交点的个数即可判断③. 【详解】①当时，， 的图象如下图所示，由图可知，没有最小值，①正确.    ②由于， 当时，；当时，， 所以对任意实数a，函数都有零点，②正确. ③当时，， 当时，， 画出的图象如图所示， 由图可知存在实数m，使方程有3个不同的实根，③正确. 即正确的个数为3个， 故选：D. 题型十 反函数的概念与性质 【例10】（25-26高一上·上海·期中）对数函数的反函数是 . 【答案】 【分析】用x表示y，再把互换即得反函数. 【详解】由得， 故的反函数为， 故答案为：. 【变式10-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的反函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二次函数的值域或最值、求反函数 【分析】根据反函数的定义域就是原函数的值域求解即可. 【详解】因为函数在单调递增， 所以， 即， 因为反函数的定义域是原函数的值域， 所以反函数的定义域为， 故选：C． 【变式10-2】设，若的反函数的图象经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，函数的图象经过点，即可求得的值. 【详解】因为的反函数的图象经过点， 所以，函数的图象经过点， 所以，，可得，解得. 故选：A. 【变式10-3】（25-26高一上·上海·课后练习）若、分别是函数，的零点，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意看得出、，数形结合可知点、关于直线对称，由此可得出结论. 【详解】由题意可得，可得， ，则，所以，， 作出函数、、的图象如下图所示： 对于函数可得，所以，函数的图象关于直线对称， 又因为函数、的图象关于直线对称， 所以，点、关于直线对称，则，故. 故选：B. 基础巩固通关测 1．（25-26高一上·上海·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】应用根式、分式的性质求函数定义域. 【详解】由解析式知，可得且，故定义域为. 故答案为： 2．函数在区间上的值域是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性可确定最值点，由此可得值域. 【详解】， 在上单调递增，在上单调递减，且关于直线对称， 当时，，， 所求值域为. 故答案为：. 3．（25-26高一上·上海·期中）对数函数 的反函数是 . 【答案】 【分析】用x表示y，再把互换即得反函数. 【详解】由得， 故的反函数为， 故答案为：. 4．（25-26高一上·上海·期中）若是偶函数，则 ． 【答案】1 【分析】利用偶函数的性质得到在R上恒成立，即可得. 【详解】由题设，函数定义域为R，且恒成立， 所以，即恒成立， 则对于 ，恒有或， 若，则，不合题意； 故，所以. 故答案为：1 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数有零点，但不能用二分法求解，则实数c的值是 ． 【答案】9 【详解】由题意知函数在零点两侧同号，所以，解得． 6．（25-26高一上·上海·期中）已知函数和的部分取值如表所示．则 ． 1 2 3 6 9 10 2 3 4 【答案】10 【分析】根据表格求出对应函数值即可. 【详解】当时，，则. 故答案为：10 7．一次函数（），且，求 . 【答案】 【分析】利用整体代入法，即可列方程求解. 【详解】， 故且，结合，解得， 所以 故答案为： 8．已知函数存在，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，依题意即函数与直线的交点横坐标，利用函数解析式，结合图象易得，，，利用二次函数的性质即可求得的取值范围. 【详解】作出函数的图象，设，依题意，， 且，，解得，， 故，因函数在上单调递减，故， 即的取值范围是. 故答案为：. 9．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）已知函数为偶函数，则函数，的奇偶性为（    ） A．均为偶函数 B．至少有1个为偶函数 C．均为奇函数 D．至少有1个为奇函数 【答案】B 【分析】分别根据函数，的奇偶性，判断函数的奇偶性，进行判断. 【详解】若函数，均为偶函数，则，所以为偶函数； 若函数为偶函数，为奇函数，则，所以为偶函数； 若函数为奇函数，为偶函数，则，所以为偶函数； 若函数为奇函数，为奇函数，则，所以为奇函数. 所以函数为偶函数，则函数，至少有1个为偶函数. 故选：B 10．（24-25高一上·上海宝山·月考）已知函数的图象关于点对称，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分离常数，结合中心对称的定义即可求解. 【详解】由题意可得， 注意到， 所以函数的图象关于点对称， 所以. 故选：D. 11．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知函数． (1)用定义法证明函数在区间上是严格减函数； (2)写出函数在区间上的最值，以及相应的的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）任取、且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； （2）分析函数在区间上的单调性，即可求出函数的最大值、最小值以及对应的值. 【详解】（1）任取、且，则且， 所以， ，即， 所以，函数在区间上是严格减函数. （2）因为函数在上为减函数，在上为增函数， 所以，当时，函数取最小值，且最小值为， 又因为，， 所以，当时，函数取最大值，且最大值为. 12．（24-25高一上·上海普陀·期末）已知函数是定义在区间上的函数 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)解不等式． 【答案】(1)为奇函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用奇偶性定义判断证明即可； （2）应用单调性定义，令判断的符号，即可证； （3）利用函数的单调性解不等式求解集即可. 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 由定义域为，且， 所以为奇函数，得证； （2）令，则 ，而， 所以，即，故函数在区间上是增函数； （3）由，且函数在区间上是增函数， 所以，可得，解集为. 能力提升进阶练 1．（24-25高一上·上海长宁·期末）函数的最大值为 ． 【答案】4 【分析】根据对勾函数的单调性即可求解. 【详解】由于对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 故的最大值为4， 故答案为：4 2．（24-25高一上·上海·期末）已知函数和其反函数的图象都过点，则 ． 【答案】 【分析】利用互为反函数的关系，列式求出即可. 【详解】依题意，点和都在函数的图象上， 则，解得， 所以. 故答案为： 3．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】令，转换成二次函数值域问题求解. 【详解】令，则，， 因为，开口向上且对称轴为， 所以在上是增函数，所以， 所以的值域为. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知是定义在上的严格增函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据函数单调性可得，解不等式即可. 【详解】因为是定义在上的严格增函数，且， 可得，解得， 所以不等式的解集为为. 故答案为：. 5．已知函数，对任意的都有，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据已知在R上单调递增，再结合对数函数、二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】根据题设在R上单调递增，故在上单调递增，则， 对于的图象开口向下，且对称轴为，所以，即， 且， 综上，. 故答案为： 6．已知，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】令找到关键点坐标，作出函数大致图像，由函数图像可以得到函数值域. 【详解】令，解得， 函数大致图像如下： 由图可知，函数， 故答案为：. 7．对于函数，下列说法正确的是 . ①函数为奇函数；    ②函数的值域为； ③函数在定义域上为增函数；    ④对于，均有. 【答案】①③④ 【分析】利用奇偶性的定义判断①，由，根据指数函数、分式型函数的性质，及复合函数的单调性，并求值域判断②③，利用单调性判断④. 【详解】由，定义域为， ，即为奇函数，①对， 由，即，②错， 由在R上单调递增，则在R上单调递减，故在R上单调递增， 所以在定义域上单调递增，③对， 由，则，故，④对. 故答案为：①③④ 8．若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】由得，时，；时，，与要构成值域，得出不等式组，解得的最大值. 【详解】已知函数的定义域为，因为是“函数”，所以其值域为；，，则值域为； 当时，，此时函数单调递增，所以； 当时，，其对称轴为，且函数开口向上，所以在上单调递增，则； 因为函数是“函数”，所以与要构成值域，则有，解不等式； 所以实数的最大值是. 故答案为：14 9．（25-26高一上·上海·期中）设，，以下四幅图像中，可能代表函数与的图像是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】逐一分析各选项的指数型函数图象或对数型函数图象得到参数情况，进而得到另一个函数图象性质即可判断得解. 【详解】对A，函数单调递增，且图象与y轴相交于x轴下方， 所以且， 所以函数单调递增且图象为向右平移个单位得到，不可能过原点，故A错误； 对B，函数单调递增，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递增，且图象为向上平移个单位得到，故B正确； 对C，函数单调递减，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递减，且图象为向右平移个单位得到，不可能过原点，故C错误； 对D，函数单调递减，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递减，故D错误. 故选：B 10．（24-25高一上·上海嘉定·月考）已知函数，则下列说法正确的个数是（   ） ①的定义域为；  ②的值域为； ③；  ④有两个零点，且. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】对于①，求出函数的定义域可判断；对于②，判断的单调性，并结合极限思想可判断；对于③，根据的解析求出计算可判断；对于④，利用零点存在性定理结合函数的单调性可得存在，使得，结合③计算可判断. 【详解】对于①，由，解得且， 所以函数的定义域为，故①错误； 对于②，由， 所以函数在和上均为单调递增函数， 当时，，当从小于1的方向逼近1时，， 所以函数的值域为，故②正确； 对于③，， 即，故③正确； 对于④，因为函数在和上均为单调递增函数， 又， ， 所以存在，使得， 又，则，结合③可得， 即也是的零点，则，所以，故④正确； 综上所述：正确的个数 3个. 故选：C. 11．已知奇函数，，满足. (1)求实数，的值； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若，使得对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)在上单调递增，证明见解析 (3)或或 【分析】（1）结合奇函数性质计算即可得； （2）借助单调性定义，令，比较与的大小关系即可得； （3）求出最小值后，结合一次函数性质计算即可得. 【详解】（1）由奇函数性质及其定义域为，可得，则， 又，则，即， 检验：当时，有， 又定义域为，故为奇函数，符合要求； 故，； （2）在上单调递增，证明如下： 令，则 ， 由，则，， 故，故在上单调递增； （3）由在上单调递增，则， 则对恒成立， 即对恒成立， 令，则当时，，符合要求； 当时，为关于的一次函数， 则有，解得或； 综上所述：实数的取值范围为或或. 12．已知函数，均满足. (1)求函数的解析式； (2)设函数， （ⅰ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （ⅱ）求函数在区间上的图象与轴恰有一个交点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）借助配凑法计算即可得； （2）（ⅰ）利用二次函数性质计算即可得；（ⅱ）令，解出即可得. 【详解】（1）由，则， 即函数的解析式为； （2）（ⅰ）， 由函数在区间上单调递增，则，解得； （ⅱ）令， 解得或，由题意可得，解得. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 函数的概念、性质及应用（复习讲义） 1、 理解函数的概念及构成要素，掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），能根据实际情境抽象出函数模型，会进行函数解析式的求解与函数关系的判断；了解分段函数的概念，能准确画出简单分段函数的图像并结合图像分析其意义. 2、 理解函数定义域、值域的概念，掌握常见函数（分式函数、根式函数、指数函数、对数函数等）定义域的求解方法，能根据函数解析式的特征，运用配方法、换元法、单调性法等求函数的值域；能结合定义域、值域分析函数的取值范围与实际意义. 3、了解函数图像的基本变换规律，掌握平移变换（左右平移、上下平移）、对称变换（关于x轴、y轴、原点对称）、伸缩变换（水平伸缩、垂直伸缩）的具体规则，能根据基本函数图像通过变换得到复杂函数的图像，并用图像直观分析函数的性质. 4、理解函数奇偶性、单调性的定义，掌握判断函数奇偶性的步骤和证明函数单调性的方法（定义法、图像法），能熟练运用函数的奇偶性与单调性分析函数的图像特征、比较函数值大小、求解不等式及求函数的最值. 5、理解复合函数的概念，掌握简单复合函数（如f(g(x))形式，其中f(x)、g(x)为基本初等函数）的定义域求解方法，能判断简单复合函数的单调性（遵循“同增异减”原则），会结合复合函数的性质解决函数求值、不等式求解等问题. 6、理解函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的关系，能通过解方程、分析函数图像或利用函数性质判断函数零点的存在性与个数；了解二分法的基本原理和适用条件，会用二分法求简单函数零点的近似值. 7、理解反函数的概念，掌握求简单函数反函数的步骤（求值域、解反函数、互换变量），了解原函数与反函数的图像关系（关于直线y=x对称）及定义域、值域的对应关系，能结合反函数的性质解决简单的数学问题. 8、能运用函数知识解决实际问题，掌握“建立函数模型—分析函数性质—求解问题—检验结果”的解题流程，会处理利润最大化、成本最小化、行程问题、增长率问题等常见实际场景中的函数应用，提升数学建模与问题解决能力. 1、 函数的概念及其表示 函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2、相同函数的判断方法： ①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）； ②定义域一致 (两点必须同时具备) 3、抽象函数定义域：函数，三者之间定义域的关系. 【定义域都是指的取值范围】 抽象函数定义域的求解类型及方法： （1）已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，实质是已知φ(x)的取值集合为A，求x的取值集合. （2）已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，实质是已知φ(x)中的x的取值集合为B，求出φ(x)的取值集合，此集合就是f(x)的定义域. （3）已知f(φ(x))的定义域为C，求f(g(x))的定义域，实质是已知φ(x)中的x的取值集合为C，求出φ(x)的取值集合D，再令g(x)的取值集合为D，求出x的取值集合，此集合就是f(g(x))的定义域 4、求函数的值或值域 （1）求函数值的方法 ①已知函数f(x)的解析式时，只需用常数a替换解析式中的x进行计算即可. ②已知函数f(x)与g(x)，求f(g(a))的值，应遵循由内到外的原则. 注意：用来替换解析式中x的常数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义 （2）值域的求法 ①图象法（最常用的方法）：几类基本初等函数 ②单调性法 ③换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为t，转化为关于t的某种简单的基本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解 ④分离常数法：主要针对形如y= (ac≠0，ad≠bc)的函数，常把分子分离成不含自变量的形式，即y==+，其值域是{y|y≠ ⑤反解法：例如求函数y＝(x＞－4)的值域．由y＝解出x得x＝.由x＞－4，得＞－4，即＞0，∴y＞或y＜1.故函数y＝(x＞－4)的值域为(－∞，1)∪. 5、函数解析式的求法 （1）代入法，直接法：适用于①由求复合函数，②由、、、等求. 注意：由分段函数求复合函数时，首先需要根据中对的分段，替换为对的分段． （2）配凑法，整体替换法：适用于、、等类型． （3）换元法：如，等类型． （4）待定系数法：已知函数类型，就要设出该函数表达式，如是一次函数，则可设；然后，①利用条件由对应项的系数相等完成； ②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可 （5） 解方程组法:已知函数f(x)满足某个等式，这个等式除 f(x)是未知量外,还出现其他未知量,如、等,则可根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)的解析式 6、分段函数的求值策略 (1)已知自变量的值求函数值的步骤： ①确定自变量属于哪一个区间； ②代入该区间所对应的解析式求值，直到求出值为止. 当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值. (2)已知函数值求对应的自变量的值：可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解 7.函数奇偶性 （1）定义： ①偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. ②奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. （2）性质法判断函数的奇偶性： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： （3）奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 ①是偶函数的图象关于轴对称； ②是奇函数的图象关于原点对称； ③若是奇函数且，则 （4）奇偶性拓展 轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①；②③ 点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①；②③ 8、函数的单调性 （1）函数的单调性 ①增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. ②减函数：如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质； （3）等价变形： ，，，在区间上是增函数. ，，，在区间上是减函数. （4）定义法函数的单调性： ①任取x1，x2∈D，且x1<x2； ②作差f(x1)－f(x2)； ③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ⑤下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． （6）复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” （7）函数单调性的运算 （7）函数的最大（小）值 最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有②，使得 那么称是函数的最大值； 最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有②，使得 那么称是函数的最小值； 9、函数的零点 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标 这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 10、零点存在性定理 （1）函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. （2）函数零点的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 （3）判断函数零点所在区间的3个步骤： ①代入：将区间端点值代入函数求出函数的值；②判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断； ③结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． 11、利用二分法求方程近似解（函数零点）的步骤： ①构造函数,利用图象确定方程的解所在的大致区间,通常限制在区间. ②利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间. ③区间内的任一实数均是方程的近似解,通常取区间的一个端点 12、反函数 （1）反函数定义 一般地，对于函数)，设它的定义域为，值域为，如果对中任意一个值，在中总有唯一确定的值与它对应，使,这样得到的。在习惯上，自变量用表示，而函数用表示，所以把它改写为 （2）关于反函数的结论 ①关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域， ②互为反函数的两个函数与图像关于直线对称；若点在的图像上，则点必在图像上； （3）求反函数的步骤 ①求反函数的值域(若值域显然，解题时常略去不写)； ②反解：由解出； ③改写：在中，将,互换得到； ④标明反函数的定义域，即①中求出的值域。 题型一 求函数的定义域（含抽象函数） 【例1】求下列函数的定义域： (1)； (2). （3） 【变式1-1】（25-26高一上·上海·期中）函数的定义域为 . 【变式1-2】（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 . 【变式1-3】（24-25高一上·上海·月考）函数定义域为的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 题型二 函数的值域 【例2】（25-26高一上·上海·课堂练习）求下列函数的值域： (1)； (2) (3)； (4)． 【变式2-1】函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·上海·月考）函数的值域为 【变式2-3】求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 题型三 同一函数的判断 【例3】（24-25高一上·上海·课后作业）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式3-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列各组函数中，表示相同函数的是（    ） A．， B．， C．， D．，，， 【变式3-2】（25-26高一上·上海·期中）下列函数中，与函数相同的函数是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一上·上海闵行·期末）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型四 求函数的解析式 【例4】若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·上海·课堂练习）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知函数满足，则在区间内的最小值是 ． 【变式4-3】求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求． 题型五 分段函数的性质及应用 【例5】（24-25高一上·上海·期末）求函数的最小值 ． 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期中）已知函数则（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·上海·月考）定义：表示中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-3】（25-26高一上·上海·课堂练习）已知 (1)求的值； (2)若，求的值； (3)解不等式． 题型六 函数的奇偶性及应用 【例6】（24-25高一上·上海·月考）若二次函数表达式为，则 “ ” 是 “此函数为偶函数” 的（     ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式6-1】（25-26高一上·上海·期中）已知函数，是奇函数，则 . 【变式6-2】（24-25高一上·上海静安·期末）设函数是定义在上的奇函数，当时,，则不等式的解集为（    ） A．() B．[] C． D． 【变式6-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，其中，则关于函数的叙述中正确的是（    ）． A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．的值域是 题型七 函数的单调性及应用 【例7】（25-26高一上·上海·月考）函数在上是严格增函数，且，则（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·上海·期末）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·上海·课后作业）函数满足，当时都有，且对任意的，不等式恒成立．则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高一上·上海浦东新·月考）命题在上为单调增函数，命题（）在R上为增函数，则命题P是命题Q的（     ） A． 充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 题型八 二分法确定函数的零点 【例8】（24-25高一上·上海浦东新·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则第二次应计算的函数值是 ． 【变式8-1】借助信息技术，用二分法求函数零点的近似值得到下表数据： 1.00 1.25 1.50 1.625 0.6931 0.4325 0.0879 -0.1193 则由表中的数据，可得函数的一个零点的近似值为（精确度为0.1）（    ） A．1.5625 B．1.25 C．1.4375 D．1.46875 【变式8-2】（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）一个函数不能用二分法求零点是这个函数的图象与x轴相切的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8-3】（24-25高一上·上海·期末）函数，其中是一个常数，计算知，则方程的根所在的区间是（     ） A． B． C． D．无法确定 题型九 函数的零点与方程 【例9】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的零点是（    ） A． B． C． D．不存在 【变式9-1】（24-25高一上·上海·期中）已知实数，则方程的两个实根分别属于区间（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式9-2】（25-26高一上·上海·课后作业）已知函数，方程 的根的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式9-3】（24-25高一上·上海·期中）（23-24高一上·上海·月考）已知函数，给出以下三个命题正确的个数为（    ） ①存在实数a，函数无最小值； ②对任意实数a，函数都有零点； ③对任意，都存在实数m，使方程有3个不同的实根． A．0 B．1 C．2 D．3 题型十 反函数的概念与性质 【例10】（25-26高一上·上海·期中）对数函数的反函数是 . 【变式10-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的反函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 【变式10-2】设，若的反函数的图象经过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（25-26高一上·上海·课后练习）若、分别是函数，的零点，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 基础巩固通关测 1．（25-26高一上·上海·期中）函数的定义域为 ． 2．函数在区间上的值域是 . 3．（25-26高一上·上海·期中）对数函数 的反函数是 . 4．（25-26高一上·上海·期中）若是偶函数，则 ． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数有零点，但不能用二分法求解，则实数c的值是 ． 6．（25-26高一上·上海·期中）已知函数和的部分取值如表所示．则 ． 1 2 3 6 9 10 2 3 4 7．一次函数（），且，求 . 8．已知函数存在，使得，则的取值范围是 . 9．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）已知函数为偶函数，则函数，的奇偶性为（    ） A．均为偶函数 B．至少有1个为偶函数 C．均为奇函数 D．至少有1个为奇函数 10．（24-25高一上·上海宝山·月考）已知函数的图象关于点对称，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知函数． (1)用定义法证明函数在区间上是严格减函数； (2)写出函数在区间上的最值，以及相应的的值． 12．（24-25高一上·上海普陀·期末）已知函数是定义在区间上的函数 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)解不等式． 能力提升进阶练 1．（24-25高一上·上海长宁·期末）函数的最大值为 ． 2．（24-25高一上·上海·期末）已知函数和其反函数的图象都过点，则 ． 3．函数的值域为 ． 4．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知是定义在上的严格增函数，则不等式的解集为 . 5．已知函数，对任意的都有，则实数的取值范围是 . 6．已知，则函数的值域为 ． 7．对于函数，下列说法正确的是 . ①函数为奇函数；    ②函数的值域为； ③函数在定义域上为增函数；    ④对于，均有. 8．若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的最大值为 . 9．（25-26高一上·上海·期中）设，，以下四幅图像中，可能代表函数与的图像是（   ） A．B．C．   D．   10．（24-25高一上·上海嘉定·月考）已知函数，则下列说法正确的个数是（   ） ①的定义域为；  ②的值域为； ③；  ④有两个零点，且. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．已知奇函数，，满足. (1)求实数，的值； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若，使得对恒成立，求实数的取值范围. 12．已知函数，均满足. (1)求函数的解析式； (2)设函数， （ⅰ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （ⅱ）求函数在区间上的图象与轴恰有一个交点，求实数的取值范围. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $