专题02函数的概念、性质及应用全章复习攻略（8种重点题型归纳+真题过关检测）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（沪教版2020）

专题02函数的概念、性质及应用全章复习攻略 （8种重点题型归纳+真题过关检测） 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 函数关系的判断】 【题型二：求函数值】 【题型三：函数的奇偶性】 【题型四：函数的单调性】 【题型五：求函数中的参数】 【题型六：函数不等式恒成立问题】 【题型七：反函数】 【题型八：函数新定义问题】 一．函数的概念及其构成要素 函数的定义： 一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合中A任意一个数x，在集合中B 都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称为A→B从集合A到集合B的一个函数，记作 y＝f（x），x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 {f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集． 函数的构成要素：定义域、对应关系、值域． 注意：①值域由定义域和对应关系唯一确定； ②f（x）是函数符号，f表示对应关系，f（x）表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积．在不同的函数中f的具体含义不同， 由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号f（x）表示外，还可用g（x），F（x）等表示． 【解题方法点拨】注意函数的解析式，函数的定义域，对应法则，值域的求法． 二．判断两个函数是否为同一函数 函数的构成要素：定义域、对应关系、值域． 所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样． 【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同． 三．函数的定义域及其求法 函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围． 求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零； ②根式（开偶次方）被开方式≥0； ③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1； ④指数为零时，底数不为零． ⑤实际问题中函数的定义域； 【解题方法点拨】 求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围． 四．函数的值域 函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域． 【解题方法点拨】（1）求函数的值域 此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等． 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域． （2）函数的综合性题目 此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目． 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力． 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强． （3）运用函数的值域解决实际问题 此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力． 五．函数的单调性及单调区间 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． 若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间． 【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法． 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结． 设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么 ①⇔f（x）在[a，b]上是增函数； ⇔f（x）在[a，b]上是减函数． ②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数； （x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数． 函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间． 六．函数单调性的性质与判断 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． 若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间． 【解题方法点拨】 证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论． 利用函数的导数证明函数单调性的步骤： 第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域． 第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根． 第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表． 第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值． 第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围． 第六步：明确规范地表述结论 七．复合函数的单调性 所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主． 【解题方法点拨】 求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤： （1）确定定义域； （2）将复合函数分解成两个基本初等函数； （3）分别确定两基本初等函数的单调性； （4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间． 八．函数的最值 函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得． 【解题方法点拨】 ①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8； ②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2； ③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较． 九．奇函数、偶函数 奇函数 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． 偶函数 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 【解题方法点拨】 ①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x 那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x ①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？ ②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点． 十．函数奇偶性的性质与判断 ①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 【解题方法点拨】 ①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反． 十一．奇偶函数图象的对称性 奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m时，f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）＝n时，f（﹣x）＝n． 【解题方法点拨】 由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反． 十二．奇偶性与单调性的综合 对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称． 【解题方法点拨】 参照奇偶函数的性质那一考点，有： ①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反 十三．反函数 定义 一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x） 反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域． 性质 反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色 （1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称 （2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且 f（x）＝C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数． （5）一切隐函数具有反函数； （6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数反函数存在定理； （8）反函数是相互的且具有唯一性； （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）； （10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））． 十四．函数的零点与方程根的关系 函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的． 【解题方法点拨】 求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）． 例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点． 解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70 ＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1） ∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1． 通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可． 题型归纳 题型1 函数关系的判断 1．（23-24高一上·上海·期末）存在函数满足：都有（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·上海浦东新·期末）函数的解析式为，值域为，则符合要求的函数的个数为（    ） A．16个 B．945个 C．2025个 D．1个 题型二：求函数值 1．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知定义域为的函数满足：①对任意，恒成立；②若则.以下选项表述不正确的是（    ） A．在上是严格增函数 B．若，则 C．若，则 D．函数的最小值为2 2．（24-25高一上·上海·期中）已知函数，，且同时满足下列三个条件： ①对任意的，都有成立； ②对任意的，都有成立； ③对于，都有成立， 则 ． 3．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，称其为“团结集合”. (1)分别判断与是否是“团结集合”，并说明理由； (2)若集合是“团结集合”，且，求集合； (3)设函数，求． 题型三：函数的奇偶性 1．（23-24高一上·上海·期末）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题： ①； ②对于任意的实数，均有； ③为偶函数； ④存在无数个实数，使得； ⑤若存在三个点、、，使得为等边三角形，则 其中真命题的序号为（ ） A．①③④⑤ B．①③④ C．①②④⑤ D．①②④ 2．（23-24高一上·上海虹口·期末）已知，其中是常数，． (1)判断函数的奇偶性，请说明理由； (2)若对任意，均有，求所有满足条件的实数的值． 3．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知函数，其中，记 ，且函数是偶函数. (1)求函数的表达式： (2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 题型四：函数的单调性 1．（23-24高一上·上海浦东新·期末）记在区间（为正数）上的最大值为，若，则实数的最大值为 ． 2．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知集合M是具有以下性质的函数的全体：对于任意s，都有，，且．给出下列四个结论： ①函数属于M；           ②函数属于M； ③若，则在区间上是严格增函数； ④若，则对任意给定的正数s，一定存在某个正数t，使得当时，恒有． 其中所有正确结论的序号是 ． 3．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知函数，若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为 ． 4．（23-24高一上·上海奉贤·期末）已知函数（且） (1)若，求函数的值域； (2)若，是否存在正数，使得函数是偶函数，请说明理由. (3)若，，且函数在上是严格增函数，求实数的取值范围. 5．（22-23高一上·上海普陀·期末）已知函数在区间上有定义，实数a、b满足．若在区间上不存在最小值，则称函数在区间上具有性质P． (1)若函数在区间上具有性质P，求实数m的取值范围； (2)已知函数满足，且当时，．试判断函数在区间上是否具有性质P，并说明理由； (3)已知对满足的任意实数a、b，函数在区间上均具有性质P，且对任意正整数n，当时，均有．证明：当时，． 题型五：求函数中的参数 1．（24-25高一上·上海·期中）设函数， 设集合，设则为（    ） A．17 B．20 C．22 D．25 2．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是 . 3．（24-25高一上·上海·期中）已知二次函数，若集合中恰有两个元素，则的取值范围为 ． 4．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，若实数满足：，则的取值范围是 ． 5．（23-24高一上·上海·期末）对于实数和，定义运算“*”：，设，若函数（）恰有三个非零的零点，，，则的取值范围是 . 6．（22-23高一上·上海闵行·期末）已知函数和函数的图象关于轴对称，当函数和函数在区间上同时递增或者同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是 . 题型六：函数不等式恒成立问题 1．（24-25高一上·上海·期中）已知、、，若对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海青浦·期末）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 3．（22-23高一上·上海徐汇·期末）设a为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则a的取值范围为 . 4．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的最大值是 . 5．（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意，恒成立，则的取值范围是 . 6．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知为实数，用表示不大于的最大整数．对于函数，若存在且，使得，则称是“函数”．若函数是“函数”，则正实数的取值范围是 7．（23-24高一上·上海·期末）设，已知，. (1)求证：函数不是偶函数； (2)若对任意的、，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若对任意的，，总有成立，求实数的取值范围. 题型七：反函数 1．（22-23高一上·上海长宁·期末）函数在区间上的反函数 ． 2．（22-23高一上·上海徐汇·期末）定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为 . 3．（23-24高一上·上海·期中）若函数的值域是，则此函数的定义域为 ． 题型八：函数新定义问题 1．（22-23高一上·上海奉贤·期末）如果函数满足：对于任意，均有（m为正整数）成立，则称函数在D上具有“m级”性质． (1)分别判断函数，，是否在R上具有“1级”性质，并说明理由； (2)设函数在R具有“m级”性质，对任意的实数a，证明函数具有“m级”性质； (3)若函数在区间以及区间（）上都具有“1级”性质，求证：该函数在区间上具有“1级”性质． 2．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知定义域为R的函数，，若对任意，均有，则称是S关联． (1)判断函数是否是关联，并说明理由： (2)若是关联，当时，，解不等式：； (3)判断“是关联”是“是关联”的什么条件?试证明你的结论． 3．（23-24高一上·上海·阶段练习）对于定义域在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”． (1)判断函数是否存在“函数”，请说明理由； (2)若非常值函数是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得； (3)若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值． 真题感知 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期中）已知，若存在，使得不等式能成立，则实数的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，有下面三个命题，命题p：存在且，对任意的，均有恒成立，命题：在上是严格减函数，且恒成立；命题：在上是严格增函数，且存在使得，则下列说法正确的是（    ） A．、都是p的充分条件 B．只有是p的充分条件 C．只有是p的充分条件 D．、都不是p的充分条件 二、填空题 3．（23-24高一上·上海·期末）某物理学家用数学方法证明数学对物理是有用的：把物理世界G（现实世界）看作时空点（四元数），找到一个函数，若存在实数，使对任意的均有不等式（是与物理世界G的时空点有关的另一个函数）成立.则称物理世界G与函数在区间上“拟同态”，函数叫物理世界G在区间上的“拟同态函数”，通过研究“拟同态函数”，可以获得物理世界G（现实世界）的相关信息.现在知道某具体物理现象G，在s的区间上的“拟同态函数”：，且，则实数n的取值范围是 . 4．（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意的，都有，则实数b的取值范围是 ． 5．（23-24高一上·上海·期末）若存在实数，对任意实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 . 6．（24-25高一上·上海·期中）设函数，集合，则下列命题正确的有 . ①当时，集合； ②当时，； ③当，则的取值范围是； ④若（其中），则. 7．（23-24高一上·上海·期中）已知满足关于x的不等式的每一个x的值至少满足不等式和的一个，则实数a的取值范围为 . 8．（23-24高一上·上海·期中）已知函数，若方程恰好有5个不同的解，则所有满足条件的构成的集合是 ． 9．（23-24高一上·上海·期末）关于函数，给出下列结论： ①函数的图象关于轴对称； ②如果方程（为常数）有解，则解的个数一定是偶数. ③方程一定有实数解； 以上结论正确的是 10．（23-24高一上·上海松江·期末）已知函数 的表达式为，若方程 有四个不相等的实根 ，且，则取值范围是 . 11．（22-23高一上·上海奉贤·期末）设函数，其中，其中，若函数的图象与直线有4个交点，则实数b满足的条件是 ． 三、解答题 12．（24-25高一上·上海·期末）对于定义在区间D上的函数，若存在，对任意的，都有，则称函数在区间D上有“下界”，把称为函数在D上的“下界”. (1)分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”，否则请说明理由； ；. (2)请你类比函数有“下界”的定义，写出函数在区间D上有“上界”的定义；并判断函数是否有“上界”，且说明理由. 13．（23-24高一上·上海·期末）已知函数. (1)写出一个奇函数和一个偶函数，使； (2)对（1）中的.命题：函数在区间上是增函数；命题：函数是减函数；如果命题、有且仅有一个是真命题，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的取值范围. 14．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，且不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)已知，若存在，，使得成立，求实数的取值范围． 15．（23-24高一上·上海·期末）设常数，函数. (1)当时，①求函数值域；②判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论； (2)根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由. 16．（22-23高一上·上海杨浦·期末）若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称在上具有性质.若是函数定义域的一个子集，称函数，是函数在上的限制. (1)设是上具有性质的奇函数，求时不等式的解集； (2)设为上具有性质的偶函数.若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； (3)已知函数在区间上的限制是具有性质的奇函数，在上的限制是具有性质的偶函数.若对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17．（22-23高一上·上海宝山·期末）集合{为严格增函数}. (1)直接写出是否属于集合 (2)若.解不等式： (3)证明：“”的充要条件是“” 18．（22-23高一上·上海松江·期末）已知，我们定义函数表示不小于的最小整数，例如：，. (1)若，求实数的取值范围； (2)求函数的值域，并求满足的实数的取值范围； (3)设，，若对于任意的，都有，求实数的取值范围. 19．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数，，若存在常数k（），使得对定义域D内的任意（），都有成立，则称函数在其定义域D上是“k-利普希兹条件函数” (1)判断函数①，②是否是“1-利普希兹条件函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由； (2)若函数（）是“k-利普希兹条件函数”，求常数k的最小值； (3)若是定义在闭区间上的“2-利普希兹条件函数”，且，求证：对任意的都有． 20．（22-23高一上·上海金山·期末）已知函数的定义域为D，区间，若存在非零实数t使得任意都有，且，则称为M上的增长函数． (1)已知，判断函数是否为区间上的增长函数，并说明理由； (2)已知，设，且函数是区间上的增长函数，求实数n的取值范围； (3)如果函数是定义域为R的奇函数，当时，，且函数为R上的增长函数，求实数a的取值范围． 21．（22-23高一上·上海杨浦·期末）若定义在区间上的函数满足：存在常数，使得对任意的，都有成立，则称为一个有界变差函数，并将满足条件的的最小值称为的全变差. (1)判断函数，和（为有理数集）是否为有界变差函数；（无需说明理由） (2)求函数的全变差； (3)证明：函数是上的有界变差函数. 22．（21-22高一上·上海金山·期末）设是定义在[m，n]（）上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，[m，n]称为含峰区间. (1)试判断是否为[0，6]上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由； (2)若（，a、b、）是定义在[m，3]上峰点为2的“含峰函数”，且值域为[0，4]，求a的取值范围； (3)若是[1，2]上的“含峰函数”，求t的取值范围. 23．（21-22高一上·上海普陀·期末）已知定义在R上的函数满足：在区间上是严格增函数，且其在区间上的图像关于直线成轴对称． (1)求证：当时，； (2)若对任意给定的实数x，总有，解不等式； (3)若是R上的奇函数，且对任意给定的实数x，总有，求的表达式． 24．（21-22高一上·上海松江·期末）函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. (1)分别判断函数与是否具有性质，并说明理由； (2)已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质.求证：是偶函数； (3)已知为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02函数的概念、性质及应用全章复习攻略 （8种重点题型归纳+真题过关检测） 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 函数关系的判断】 【题型二：求函数值】 【题型三：函数的奇偶性】 【题型四：函数的单调性】 【题型五：求函数中的参数】 【题型六：函数不等式恒成立问题】 【题型七：反函数】 【题型八：函数新定义问题】 一．函数的概念及其构成要素 函数的定义： 一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合中A任意一个数x，在集合中B 都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称为A→B从集合A到集合B的一个函数，记作 y＝f（x），x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 {f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集． 函数的构成要素：定义域、对应关系、值域． 注意：①值域由定义域和对应关系唯一确定； ②f（x）是函数符号，f表示对应关系，f（x）表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积．在不同的函数中f的具体含义不同， 由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号f（x）表示外，还可用g（x），F（x）等表示． 【解题方法点拨】注意函数的解析式，函数的定义域，对应法则，值域的求法． 二．判断两个函数是否为同一函数 函数的构成要素：定义域、对应关系、值域． 所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样． 【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同． 三．函数的定义域及其求法 函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围． 求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零； ②根式（开偶次方）被开方式≥0； ③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1； ④指数为零时，底数不为零． ⑤实际问题中函数的定义域； 【解题方法点拨】 求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围． 四．函数的值域 函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域． 【解题方法点拨】（1）求函数的值域 此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等． 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域． （2）函数的综合性题目 此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目． 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力． 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强． （3）运用函数的值域解决实际问题 此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力． 五．函数的单调性及单调区间 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． 若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间． 【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法． 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结． 设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么 ①⇔f（x）在[a，b]上是增函数； ⇔f（x）在[a，b]上是减函数． ②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数； （x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数． 函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间． 六．函数单调性的性质与判断 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． 若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间． 【解题方法点拨】 证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论． 利用函数的导数证明函数单调性的步骤： 第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域． 第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根． 第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表． 第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值． 第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围． 第六步：明确规范地表述结论 七．复合函数的单调性 所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主． 【解题方法点拨】 求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤： （1）确定定义域； （2）将复合函数分解成两个基本初等函数； （3）分别确定两基本初等函数的单调性； （4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间． 八．函数的最值 函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得． 【解题方法点拨】 ①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8； ②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2； ③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较． 九．奇函数、偶函数 奇函数 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． 偶函数 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 【解题方法点拨】 ①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x 那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x ①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？ ②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点． 十．函数奇偶性的性质与判断 ①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 【解题方法点拨】 ①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反． 十一．奇偶函数图象的对称性 奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m时，f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）＝n时，f（﹣x）＝n． 【解题方法点拨】 由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反． 十二．奇偶性与单调性的综合 对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称． 【解题方法点拨】 参照奇偶函数的性质那一考点，有： ①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反 十三．反函数 定义 一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x） 反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域． 性质 反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色 （1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称 （2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且 f（x）＝C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数． （5）一切隐函数具有反函数； （6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数反函数存在定理； （8）反函数是相互的且具有唯一性； （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）； （10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））． 十四．函数的零点与方程根的关系 函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的． 【解题方法点拨】 求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）． 例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点． 解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70 ＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1） ∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1． 通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可． 题型归纳 题型1 函数关系的判断 1．（23-24高一上·上海·期末）存在函数满足：都有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】函数关系的判断、已知f（g（x））求解析式 【分析】应用换元法求原函数解析式，结合函数定义：对于任意自变量取值有且仅有唯一对应函数值判断是否正确即可. 【详解】A：令，则，故，显然不满足函数定义； B：令，则，故，显然不满足函数定义； C：令，则，故，显然不满足函数定义； D：令，则，故，满足函数定义. 故选：D 2．（22-23高一上·上海浦东新·期末）函数的解析式为，值域为，则符合要求的函数的个数为（    ） A．16个 B．945个 C．2025个 D．1个 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】函数关系的判断、确定形成映射的个数、根据映射求象或原象 【分析】先求出值域中每个函数值对应的自变量构成的集合，根据函数的定义，要产生一个函数值只要从相应的集合中取出至少一个元素，这些元素构成了的一个非空子集，可以确定非空子集的个数，的定义域为集合的并集，从而求出的定义域的个数即为不同的函数的个数. 【详解】满足解析式为，值域为， ①，解得，要使，的定义域必须含有集合中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合中，那么集合相当于集合的一个非空子集，这样的集合共有15个； ②，解得，要使，的定义域必须含有集合中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合中，那么集合相当于集合的一个非空子集，这样的集合共有7个； ③，解得，要使，的定义域必须含有集合中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合中，那么集合相当于集合的一个非空子集，这样的集合共有3个； ④，解得，要使，的定义域必须含有集合中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合中，那么集合相当于集合的一个非空子集，这样的集合共有3个； 要使值域为，则①②③④中的解组合后形成的定义域，即定义域为，因此的定义域的组合情况有：种，故符合要求的函数的个数为945. 故选：B 【点睛】函数的三要素有定义域、值域、对应法则，只要定义域不同就是不同的函数，当多个自变量对应同一个函数值时，要得到此函数值，只要从中取至少一个即可，从而可以组成不同的函数定义域，也就是得到不同的函数. 题型二：求函数值 1．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知定义域为的函数满足：①对任意，恒成立；②若则.以下选项表述不正确的是（    ） A．在上是严格增函数 B．若，则 C．若，则 D．函数的最小值为2 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求函数值、判断指数函数的单调性、基本不等式求和的最小值 【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再举例判断A；取值计算判断B，C；借助均值不等式求解判断D作答. 【详解】任意，恒成立， 且，假设，则有， 显然，与“若则”矛盾，假设是错的，因此当且时，， 取，有，则，于是得，， ，，， 对于A，函数，，， 并且当时，，即函数满足给定条件，而此函数在上是严格减函数，A不正确； 对于B，，则，B正确； 对于C，，则，而，有，又，因此，C正确； 对于D，，，则有， 当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为2，D正确. 故选：A 【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值即可. 2．（24-25高一上·上海·期中）已知函数，，且同时满足下列三个条件： ①对任意的，都有成立； ②对任意的，都有成立； ③对于，都有成立， 则 ． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】求函数值 【分析】利用已知可得，进而可得，可求得，利用第3个条件可得当时，都有，可求. 【详解】因为对任意的，都有成立， 所以，解得， 又，所以， 所以，解得， 所以，又， 两式相减得，所以， 所以，又对于，都有成立， 所以当时，都有， 所以， 又，所以， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，称其为“团结集合”. (1)分别判断与是否是“团结集合”，并说明理由； (2)若集合是“团结集合”，且，求集合； (3)设函数，求． 【答案】(1)集合不是“团结集合”， 集合是“团结集合” (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】求函数值、集合新定义、判断元素与集合的关系 【分析】（1）由“团结集合”定义判断即可； （2）由定义知，，可得，再由，，可分析出，即可得解； （3）由得， 再由，可得，，即可得到，，，，，用累加法即可得到的值，进而代入求解即可得答案. 【详解】（1）集合中，因为，，所以集合不是“团结集合”. 集合中，因为，，，，，，，所以集合是“团结集合”； （2）因为，且是“团结集合”，由于， 所以，则，所以， 又因为，所以，则， 由集合的互异性可知，，而，所以， 故集合. （3）因为是“团结集合”， 所以，则，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，则， 所以，，，，， 所以， 即， 所以， 故. 【点睛】集合新定义问题的处理方法： 找：要抓住新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一都不是“新定义”哦，然后找出要素分别是什么； 看：看所求是什么？ 代：将已知条件代入新定义的要素； 解：结合数学知识进行解答. 题型三：函数的奇偶性 1．（23-24高一上·上海·期末）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题： ①； ②对于任意的实数，均有； ③为偶函数； ④存在无数个实数，使得； ⑤若存在三个点、、，使得为等边三角形，则 其中真命题的序号为（ ） A．①③④⑤ B．①③④ C．①②④⑤ D．①②④ 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数新定义、分段函数的性质及应用 【分析】命题①③根据狄利克雷函数的定义分别验证为无理数和为有理数时的值；命题②举反例即可：命题④为无理数时即满足题意；命题⑤分为无理数和为有理数两种情况进行讨论． 【详解】对①：当为无理数时，，所以； 当为有理数时，，所以，所 以对任意，恒有，故①正确； 对②：当，，而，两者显然不等，故②错误； 对③：由①知，显然其为偶函数，故③正确； 对④：当为无理数时，也为无理数，所以，此时，故④正确； 对⑤，或1， 存在三个点、、，使得为等边三角形， 不同时为0或1， 不妨设， 分析得的位置有两种情况， 第一种情况： 当为有理数时，即，如图， 过点作，垂足为，得，，， 可知，为无理数，为无理数， 即，，与图形不一致，舍去； 第二种情况： 当为无理数时，即，如图， 过点作，垂足为，得，，， 可知，，， 存在，使得，且为无理数， 即，与图形一致，符合题意， 此时，，故⑤正确； 故选：A 【点睛】关键点睛：本题对⑤判断的关键是分为有理数和为无理数进行分类讨论；对①③的判断也是对分有理数和无理数进行讨论，从而解决嵌套函数的性质. 2．（23-24高一上·上海虹口·期末）已知，其中是常数，． (1)判断函数的奇偶性，请说明理由； (2)若对任意，均有，求所有满足条件的实数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数不等式恒成立问题、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）利用以及求得的值，从而得到函数为奇函数或偶函数时的取值； （2）先求出，把原不等式转化，然后对的值进行分类讨论，再分离参数，从而可确定实数的值. 【详解】（1）依题意，函数的定义域为，关于原点对称， 因为，， ， 由，得，即， 所以，解得； 由，得，即， 所以，解得； 所以当时，函数为奇函数；当时，函数为偶函数；当且时，函数为非奇非偶函数. （2）因为， 所以可转化为，即， 又因为，所以，则： 当时，，则由可得， 又因为当时，，所以，即； 当时，则由可得，故； 当时，，则由可得， 又因为当时，，所以，即； 综上所述，若对任意，均有，则满足条件的实数的值为. 3．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知函数，其中，记 ，且函数是偶函数. (1)求函数的表达式： (2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）根据函数奇偶性求出参数，即可求出函数解析式； （2）不等式在区间上恒成立，令，转化为在上恒成立，直接求在上的最大值即可. 【详解】（1）由题知， ， 因为是偶函数，只需，故， 所以. （2）因为，所以， 令，则在区间上恒成立， 看作在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 显然，所以在上恒成立， 因为，所以， 则在上的最大值为时，且为， 所以. 题型四：函数的单调性 1．（23-24高一上·上海浦东新·期末）记在区间（为正数）上的最大值为，若，则实数的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、根据函数的最值求参数、函数不等式恒成立问题、利用函数单调性求最值或值域 【分析】根据题中条件可知，进一步放缩不等式，转化为恒成立问题，求解即可. 【详解】由题设在上是增函数， 则 恒成立， 于是，即． 故答案为： 2．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知集合M是具有以下性质的函数的全体：对于任意s，都有，，且．给出下列四个结论： ①函数属于M；           ②函数属于M； ③若，则在区间上是严格增函数； ④若，则对任意给定的正数s，一定存在某个正数t，使得当时，恒有． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【难度】0.65 【知识点】比较对数式的大小、定义法判断或证明函数的单调性、函数新定义、利用函数单调性求最值或值域 【分析】由指数和对数的运算性质，结合集合的性质，可判断①②；由函数的单调性的定义和集合的性质，可判断③④． 【详解】函数，由，可得， 由，，可得， 即有，故①正确； 函数，当时，， 由．，可得， ，即，故②错误； 由．，不妨设，可得，则，即， 则在区间上是严格增函数，故③正确； 若，由上面的结论可得在区间上是严格增函数， 则对任意给定的正数，一定存在某个正数，使得当,时，恒有，故④正确． 故答案为：①③④． 3．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知函数，若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据函数的单调性解不等式 【分析】由题意可得函数在上单调递增，利用单调性可得恒成立当且仅当恒成立，故只需，进一步利用二次函数最值即可得解. 【详解】由题意当时，单调递增，且时，，当时，单调递增， 所以函数在上单调递增， 由题意在上恒成立， 所以当且仅当，即恒成立，故只需， 而的最小值为， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是利用单调性、分离参数法将原问题等价转换为，由此即可顺利得解. 4．（23-24高一上·上海奉贤·期末）已知函数（且） (1)若，求函数的值域； (2)若，是否存在正数，使得函数是偶函数，请说明理由. (3)若，，且函数在上是严格增函数，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求参数、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）利用分离常数法由指数函数值域即可求出该函数值域为, （2）由函数奇偶性定义即可解得， （3）利用函数单调性定义并根据基本不等式计算即可求得实数的取值范围是. 【详解】（1）若可得函数， 由指数函数值域易知，所以， 因此可得， 即该函数的值域为； （2）若，则函数，显然定义域为， 假设存在正数，使得函数是偶函数，即满足， 又易知，即可得，即， 解得， 此时为偶函数，符合题意， 所以存在正数，使得函数是偶函数； （3）若，，则， 取，且 则， 若函数在上是严格增函数，则可知, 由于，所以， 又易知，所以在上恒成立即可， 即，因此求得即可， 因此可不予考虑，只需考虑时成立即可； 当，易知, 显然为减函数，所以； 当且仅当时，等号才成立，显然取不到等号， 因此. 即实数的取值范围为. 5．（22-23高一上·上海普陀·期末）已知函数在区间上有定义，实数a、b满足．若在区间上不存在最小值，则称函数在区间上具有性质P． (1)若函数在区间上具有性质P，求实数m的取值范围； (2)已知函数满足，且当时，．试判断函数在区间上是否具有性质P，并说明理由； (3)已知对满足的任意实数a、b，函数在区间上均具有性质P，且对任意正整数n，当时，均有．证明：当时，． 【答案】(1)； (2)在区间具有性质； (3)证明见详解. 【难度】0.15 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据解析式直接判断函数的单调性、绝对值的三角不等式应用 【分析】（1）分别讨论与1和2的关系，即可得出是否存在最小值，从而求出的取值范围； （2）由题目条件可得出在区间上如果有最小值，则最小值必在区间上取到，找到函数在区间上单调性，确定最小值是否存在； （3）首先证明对于任意，，当时，，，，再证得结果． 【详解】（1），当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，存在最小值； 当时，在区间上单调递减，最小值为； 当时，在区间上单调递增，不存在最小值； 所以实数m的取值范围为． （2）因为时，，当时，． 所以在区间上如果有最小值，则最小值必在区间上取到. 另一方面，由可得，故，在区间上单调递增，不存在最小值， 所以在区间具有性质． （3）对于任意， 当时， 有, 所以， 若成立，，在区间上有最小值，所以在区间上有最小值，不具有性质，不合题意， 所以，当时，，故在区间上没有最小值，满足题意， 当时，显然成立； 当时，则一定存在，使得时，则，， ，即． 所以综上所述：当时，． 【点睛】方法点睛：（1）含有绝对值的函数求最值，首先去掉绝对值，转化为分段函数，由每一段的单调性考查最值情况； （2）具有递推关系的函数，需要根据自变量的取值范围进行推理，用已知段的函数变形表示； （3）绝对值不等式，注意等号成立条件，等号成立条件. 题型五：求函数中的参数 1．（24-25高一上·上海·期中）设函数， 设集合，设则为（    ） A．17 B．20 C．22 D．25 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数 【分析】根据题意，由条件可得函数，零点情况，且其零点都为正整数，再由韦达定理代入计算，即可得到的值，从而得到结果. 【详解】由可得函数有9个正整数零点， 对于函数，，其零点个数为个或个， 其对称轴为，， 由韦达定理可知，其零点之积为，零点之和为， 则符合要求的有， 又， 所以，，， ，， 所以. 故选：D 2．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据函数的最值求参数、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】讨论与、的大小关系，判断函数在、上的单调性与最小值，根据函数的最小值列方程解出实数的值. 【详解】分以下三种情况讨论： ①若时，即当时，， 所以，函数在上单调递减，且， 当时，， 所以，解得， ②若时，即当时，， 当时，， 当时，. ，所以，整理可得， ，解得（舍去）； ③当时，即当时，， 当时，， 当时，. 因为，所以，整理可得， ，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·期中）已知二次函数，若集合中恰有两个元素，则的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】依题意，在上有两个零点，记为，则，，由，讨论的取值范围. 【详解】集合中恰有两个元素，则在上有两个零点， 设这两个零点为，且，则， 则有，， 由，则，， 当，即时，有最小值， 而，只有当或才成立，不满足条件， 所以. 得的取值范围为. 【点睛】关键点点睛： 本题的关键点是：在上有两个零点，把转化为，由，求的取值范围. 4．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，若实数满足：，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用 【分析】令，根据图象可得，整理可得，结合二次函数分析求解. 【详解】作出的图象，如图所示， 令，由图可知：， 且，解得， 则， 因为，则，可得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：利用数形结合求方程解应注意两点 1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解． 2.正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合． 5．（23-24高一上·上海·期末）对于实数和，定义运算“*”：，设，若函数（）恰有三个非零的零点，，，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数新定义、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】求出的解析式，将函数的零点个数问题，转化为函数与函数图象的交点个数问题，结合图象，即可确定的取值范围. 【详解】当，即时，， 当，即时，， 所以， 因为有三个非零的零点， 所以与的图象有三个交点且交点横坐标不为零； 即与函数有三个交点， 作出的图象，如图，其中时，函数最大值为， 所以， 不妨设，易知,且，所以， 由，解得， 所以，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题关键在于将函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，注意数形结合. 6．（22-23高一上·上海闵行·期末）已知函数和函数的图象关于轴对称，当函数和函数在区间上同时递增或者同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.15 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据图像判断函数单调性、由指数（型）的单调性求参数 【分析】由题意知，函数和函数在上单调性相同，由和单调性相反，可得在上恒成立，进而求出的取值范围． 【详解】因为函数与的图象关于y轴对称， 所以, 因为为函数的“不动区间”， 所以函数和函数在区间上的单调性相同, 又因为和的单调性相反， 所以在上恒成立， 而在时，， 所以在上恒成立，所以， 故答案为：. 【点睛】已知函数单调性求参数的范围的常用方法， (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解． 题型六：函数不等式恒成立问题 1．（24-25高一上·上海·期中）已知、、，若对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】函数不等式恒成立问题 【分析】根据不等式恒成立得中有一个恒大于等于0，另外两个同正同负或同为0，进而得，再根据绝对值三角不等式即可得答案. 【详解】若对于任意的实数，不等式恒成立， 则， 所以中有一个恒大于等于0，另外两个同正同负或同为0， ①，所以 ，所以， ②，所以 ，因为无解， 所以不符合题意； ③， 因为不可能恒成立，故无解； 所以，所以，所以， 所以， 所以的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键在于对不等式变形后得到三个数中有一个恒大于等于0，另两个数需同正同负同为0时需满足的条件. 2．（23-24高一上·上海青浦·期末）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、基本不等式的恒成立问题、基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】由题意可得对任意的恒成立，故只需，结合基本不等式求解即可，注意取等条件. 【详解】由题意对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，故只需， 而由基本不等式可得，等号成立当且仅当， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 3．（22-23高一上·上海徐汇·期末）设a为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数不等式恒成立问题、由奇偶性求函数解析式 【分析】根据奇函数的性质，结合基本不等式分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，， 由， 当时，，当且仅当时取等号，即 时取等号， 要想恒成立，只需成立，则有，或，解得，或， 当时，由奇函数的性质可知，所以要想， 综上所述：a的取值范围为， 故答案为： 4．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的最大值是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数图象的应用 【分析】作出函数的图象，解方程，数形结合可得出实数的取值范围，即可得解. 【详解】因为函数的定义域为，满足， 当时，， 当时，，则 ， 当时，，则 ， 当时，，则 ， 因为对任意，都有， 当时，令，解得或，如下图所示： 由图可知，，故实数的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键就是求出函数的解析式，由此作出函数的图象，利用数形结合思想求解. 5．（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意，恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数不等式恒成立问题 【分析】将不等式化为，结合分段函数的图象与性质数形结合计算即可. 【详解】 原不等式可化为，令， 则， 作出图象如图所示，易知的零点为， 要满足题意需的图象始终位于图象的上方（部分可重合）， 则需或， 所以当且仅当时取得最小值，显然没有上限. 故答案为：. 【点睛】难点点睛：首先是将不等式恒成立问题分离转化为两个分段函数与的图象所处位置问题.作出函数草图数形结合并分类讨论，关键点是对应了图象折线段的倾斜程度，同时对应了的零点位置，所以根据折线段的倾斜程度将分成和两种情况，同时注意范围及端点处即可. 6．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知为实数，用表示不大于的最大整数．对于函数，若存在且，使得，则称是“函数”．若函数是“函数”，则正实数的取值范围是 【答案】且 【难度】0.4 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、函数新定义 【分析】由函数定义得且，，且，，进而有能成立，就的不同取值范围分类讨论后可求参数的取值范围. 【详解】由题设，且，，且，， 所以能成立，即能成立，则， 所以， 若，则，，舍； 若，则，，舍； 若，则，，此时 ； 若，则，，此时 ； 若，则，与题设矛盾， 若，则，，此时， 若，则，，此时， 若，，舍； 故正实数的取值范围是且. 故答案为：且 【点睛】关键点点睛：由新定义得到能成立，得，讨论的取值范围后可确定参数的取值范围. 7．（23-24高一上·上海·期末）设，已知，. (1)求证：函数不是偶函数； (2)若对任意的、，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若对任意的，，总有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用偶函数的定义即可证明； （2）分别得到和在的单调性，将问题转化为即可求解； （3）将问题转化为或，结合单调性即可求解. 【详解】（1）由题可得， 因为， 所以函数为奇函数，不是偶函数； （2）对任意的、，不妨设， 所以， 因为，所以，，， 所以，， 所以在上单调递增， 则，， 所以， 由于在上单调递增， 所以， 要使对任意的、，总存在，使得成立， 则，即， 所以实数的取值范围是； （3）对任意的，，总有成立， 所以或， 则或， 由（2）可得当，，， ，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围是. 题型七：反函数 1．（22-23高一上·上海长宁·期末）函数在区间上的反函数 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、求反函数 【分析】根据反函数的定义求出的反函数即可，要注意反函数的定义域. 【详解】因为开口向上，对称轴为，， 所以在上单调递减，故， 所以， 由得， 解得， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 2．（22-23高一上·上海徐汇·期末）定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为 . 【答案】/0.9375 【难度】0.65 【知识点】反函数的性质应用、由奇偶性求函数解析式 【分析】由奇函数的定义，当时，，代入已知解析式，即可得到所求的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值． 【详解】解：若为奇函数， 可得当时，，即有， 由为奇函数，可得， 则，， 由定义在上的函数的反函数为， 且， 可由， 可得的解为． 故答案为：． 3．（23-24高一上·上海·期中）若函数的值域是，则此函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】反函数的性质应用、求反函数 【分析】求出的反函数，由原函数的值域即为反函数的定义域，即可求出反函数的值域，从而求出原函数的定义域. 【详解】由，则，， 即函数的值域是的反函数为，， 当时，所以， 当时，所以， 即反函数，的值域为， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 题型八：函数新定义问题 1．（22-23高一上·上海奉贤·期末）如果函数满足：对于任意，均有（m为正整数）成立，则称函数在D上具有“m级”性质． (1)分别判断函数，，是否在R上具有“1级”性质，并说明理由； (2)设函数在R具有“m级”性质，对任意的实数a，证明函数具有“m级”性质； (3)若函数在区间以及区间（）上都具有“1级”性质，求证：该函数在区间上具有“1级”性质． 【答案】(1)函数在R上具有“1级”性质，在R上不具有“1级”性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】函数新定义 【分析】（1）根据“m级”性质的定义可说明在R上具有“1级”性质，利用特殊值可判断在R上不具有“1级”性质； （2）根据“m级”性质的定义即可证明结论； （3）任取，讨论是同时属于或，还是一个属于，另一个属于，结合“1级”性质的含义，说明在区间上满足定义，即可证明结论. 【详解】（1）函数在R上具有“1级”性质，在R上不具有“1级”性质，理由如下： 对于，任意，， 故在R上具有“1级”性质； 对于，，则， 故在R上不具有“1级”性质； （2）函数在R具有“m级”性质， 即对于任意，均有成立， 故对任意的实数a，，则， 设，则 ，（m为正整数）， 故函数具有“m级”性质； （3）函数在区间以及区间（）上都具有“1级”性质， 即对于任意，均有， 对于任意，均有， 故任取，若同时属于或，则成立； 若中一个属于，另一个属于，不妨设，， 则 ， 综合上述，对于任意，均有， 故函数在区间上具有“1级”性质． 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第三问中证明函数在区间上具有“1级”性质，解答时要首先理解“1级”性质的定义，然后要分类讨论任取所处区间，分别说明均符合“1级”性质的定义，即可证明结论. 2．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知定义域为R的函数，，若对任意，均有，则称是S关联． (1)判断函数是否是关联，并说明理由： (2)若是关联，当时，，解不等式：； (3)判断“是关联”是“是关联”的什么条件?试证明你的结论． 【答案】(1)函数是关联，函数不是关联，理由见解析 (2)或 (3)必要不充分条件，证明见解析 【难度】0.4 【知识点】函数新定义、判断命题的必要不充分条件、抽象函数的定义域、抽象函数的值域 【分析】（1）根据给定的定义为时，求的取值区间即可判断作答. （2）根据给定条件，可得，再结合已知函数分段解不等式并求并集作答. （3）利用给定的定义，利用推理证明命题的充分性和必要性作答. 【详解】（1）函数是关联，证明如下： 任取R，若，则， 所以函数是关联； 函数不是关联，证明如下：： 若，则， 所以函数不是关联； （2）因是关联，则，有，即， 当时，，而， 即，解得或，所以不等式的解集为或， 当时，， 所以当时，， 而，得，解得，所以不等式的解集为， 当时，或当时，，此时不等式无解； 综上得或， 所以不等式的解集为或，. （3）“是关联”是“是关联”的必要不充分条件，证明如下， 易得函数是关联，但时，所以函数不是关联； 所以充分性不成立； 当函数是关联时，即，， 则有，，即有， 又，则有，于是得， 从而得，即函数是{2}关联； 所以“是关联”是“是关联”的必要不充分条件. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 3．（23-24高一上·上海·阶段练习）对于定义域在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”． (1)判断函数是否存在“函数”，请说明理由； (2)若非常值函数是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得； (3)若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值． 【答案】(1)不存在“函数”，理由见解析. (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】函数新定义、函数奇偶性的应用、求指数（型)函数的定义域 【分析】（1）根据题意，由即可判断； （2）根据题意，由“函数”的定义，分别验证其充分性以及必要性，即可证明； （3）根据题意，由“函数”的定义可得，若，均存在“函数”， 则存在“函数”，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】（1），当时，，当时，， 因此，则该函数不存在“函数”． （2）充分性：若，则， 任取，，所以存在“函数”； 必要性：因为是奇函数，则，任取， 因为，是一个“函数”， 所以，则， 当时，则，， 所以，即， 所以，可得，从而有， 即是一个常数，设为，则. （3）假设，均存在“函数”，任取， 则，， 则， 则存在“函数”， 因此均存在“函数”， 令，定义域为关于原点对称， 且， 则是定义在上的奇函数， 由（2）可知，存在使得恒成立，则， 又时，若函数与函数均为“函数”，符合题意. 综上可知，. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了新定义中“函数”的概念，以及函数奇偶性的应用，难度较大，解答本题的关键在于利用好题干中“函数”的定义，以及利用好（2）中的结论解决（3）中的问题. 真题感知 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期中）已知，若存在，使得不等式能成立，则实数的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】设函数，讨论函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质，把函数不等式转化为代数不等式，再结合的取值范围，求的取值范围 【详解】设， 则，所以函数为奇函数； 当时，在上单调递增. 所以函数函数在上为增函数. 所以. 所以. 所以，时能成立. 因为，所以或. 所以或. 故选：B 【点睛】方法点睛：解这种函数不等式的问题，不要急于代入函数解析式，转化成代数不等式，而是应该分析函数的性质，利用函数性质把函数不等式转化为代数不等式. 2．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，有下面三个命题，命题p：存在且，对任意的，均有恒成立，命题：在上是严格减函数，且恒成立；命题：在上是严格增函数，且存在使得，则下列说法正确的是（    ） A．、都是p的充分条件 B．只有是p的充分条件 C．只有是p的充分条件 D．、都不是p的充分条件 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】比较函数值的大小关系、充分条件的判定及性质 【分析】若已知，则当，根据减函数的定义和已知条件，结合不等式性质，可推出成立；若已知，取，根据增函数的定义和已知条件，结合不等式性质，也可推出成立. 【详解】若成立，当，有. 因为单调递减，且恒成立，所以， 所以， 故存在（且），对任意的，均有恒成立， 所以是p的充分条件； 若成立时，当时，，. 因为单调递增，所以恒成立， 故存在（且），对任意的，均有恒成立， 所以也是p的充分条件. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是找到相应的满足要求，从而得解. 二、填空题 3．（23-24高一上·上海·期末）某物理学家用数学方法证明数学对物理是有用的：把物理世界G（现实世界）看作时空点（四元数），找到一个函数，若存在实数，使对任意的均有不等式（是与物理世界G的时空点有关的另一个函数）成立.则称物理世界G与函数在区间上“拟同态”，函数叫物理世界G在区间上的“拟同态函数”，通过研究“拟同态函数”，可以获得物理世界G（现实世界）的相关信息.现在知道某具体物理现象G，在s的区间上的“拟同态函数”：，且，则实数n的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】将问题转化为最值问题，结合二次函数的单调性求解最值，以及利用函数的单调性求解最值，即可求解. 【详解】根据题意可得：存在实数，对任意的均有成立， 所以对任意的，故， 进而可得， 化简得， 因此问题转化为存在使得成立， 故， 由于函数均为单调递增函数，故在单调递增，因此， 所以，即， 故答案为： 4．（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意的，都有，则实数b的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、根据函数的单调性求参数值 【分析】由题意首项得到，即对任意的，恒成立，结合已知由此即可得解. 【详解】由题意对任意的，都有，且， 所以，， 即对任意的，恒成立， 而，不妨设，令，则， 所以对任意的，恒成立，当且仅当， 即实数b的取值范围是. 故答案为：. 5．（23-24高一上·上海·期末）若存在实数，对任意实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数图象的应用、函数不等式恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】由题意研究，，三个函数图象的关系，进而转化为对恒成立即可求解答案. 【详解】如图所示，若存在实数，对任意实数，不等式恒成立， 则直线在时位于上方（可重合），且位于下方（可重合）， 又因为在时为凹函数，所以当直线经过时符合题意， 由，得，此时直线为，则，即对恒成立， 则，则，即实数m的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象的应用问题.本题的关键点在于将原不等式转化为三个函数图象的关系，结合三次函数的凹凸性进一步转化为对恒成立，再通过求解最值得到答案.本题考查转化与化归能力，数形结合能力，属于中难题. 6．（24-25高一上·上海·期中）设函数，集合，则下列命题正确的有 . ①当时，集合； ②当时，； ③当，则的取值范围是； ④若（其中），则. 【答案】①④ 【难度】0.4 【知识点】指数函数图像应用、根据函数零点的个数求参数范围、分段函数的性质及应用 【分析】对于①，画出的图象，当时，解得或，数形结合解得； 对于②，当时，，解得，②错误； 对于③，令，不妨设，此时满足，但，③错误； 对于④，分析出至少一个为负值，不妨令，对应的解只有一个，为，故要对应3个解，故，则，，结合，求出，④正确. 【详解】对于①，画出的图象，如下： 当时，，解得或， 显然由图象可知，需令，解得， 需令，解得，故，①正确； 对于②，当时，，解得， 由图象可知，需令，解得，故，②错误； 对于③，令，则， ，解得， 设的两根分别为，则， 不妨设， 当，即，由图象可知，， 当，即，令，解得， 满足，但此时，③错误； 对于④，（其中）， 由于，故至少一个为负值，不妨令， 对应的解只有一个，为，故要对应3个解， 故，此时设对应的3个解分别为， 则，，故， 又，故，解得， 则，④正确. 故答案为：①④ 【点睛】复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 7．（23-24高一上·上海·期中）已知满足关于x的不等式的每一个x的值至少满足不等式和的一个，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】解二次不等式，将问题转化为在上有两个实根，再利用二次函数零点的分布即可得解. 【详解】由得，设集合， 由得，设集合，所以， 设，则的解集非空， 设解集为，其中，是方程的两实根，且， 要使关于的不等式的解集内的每一个的值， 至少能使不等式或中的一个成立， 则需，即，即， 所以，解得， 所以，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于： 1、理解“使关于的不等式的解集内的每一个的值，至少能使不等式或中的一个成立.”的含义，并且需得出这三个不等式的解集之间的关系； 2、当方程的两实根，满足条件时，如何利用方程的根的判别式和特殊点的函数值的正负等限制条件构造不等式组. 8．（23-24高一上·上海·期中）已知函数，若方程恰好有5个不同的解，则所有满足条件的构成的集合是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、函数图象的应用 【分析】结合图像分类讨论即可求解. 【详解】记，则①， 如图，若①只有一个根，则原方程最多有4个不同的解，不合题意 故①有两个根，记为，则 由图知，又，故 不妨设，结合知，解得 故 时由知， 由图知有3个不同的解，有2个不同的解，符合题意， 时由图知有4个不同的解，另有2个不同的解， 共6个不同的解，不合题意 时由图知有2个不同的解，另有2个不同的解， 共4个不同的解，不合题意 故答案为：    9．（23-24高一上·上海·期末）关于函数，给出下列结论： ①函数的图象关于轴对称； ②如果方程（为常数）有解，则解的个数一定是偶数. ③方程一定有实数解； 以上结论正确的是 【答案】①③ 【难度】0.4 【知识点】函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数、函数奇偶性的定义与判断 【分析】由函数解析式可推出是偶函数，在上单调递增，在上单调递减，结合图形判断各项的正误. 【详解】对①，令，解得，可知的定义域为， 定义域关于原点对称，且，则为偶函数，即其图象关于轴对称，故①正确； 对③，当时，则， 因为在上单调递增，且恒成立，所以在上单调递减， 当时，则， 因为在上单调递减，且恒成立，所以在上单调递增， 可得的函数图象如下：    方程根的个数即为函数与的交点个数， 由图象可得：当时，函数与函数的图象一定有交点， 由对称性可知，当时，函数与函数的图象也一定有交点，故③正确； 对于②：当时，方程只有1个解，故②错误； 故答案为：①③. 【点睛】关键点睛：根据函数解析式确定单调区间，奇偶性，进而结合图象判断各项的正误，注意一次函数的性质和函数对称性的应用. 10．（23-24高一上·上海松江·期末）已知函数 的表达式为，若方程 有四个不相等的实根 ，且，则取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】判断函数关于直线对称，画出函数的大致图象，由函数与有4个交点，进而求出的取值范围，由利用函数 和换元法并结合二次函数的性质即可求出的最小值． 【详解】当时，，函数关于直线对称， 画出函数的图象，如图所示 ，方程有四个不相等的实根， 函数与有4个交点， 由函数的图象可知， 即的取值范围为：， 由函数的图象可知：，，且，， ，，，， 令，，，设，则，， 根据对勾函数单调性其单调递增，则， 又， 设，，对称轴为，则 即，即范围为 故答案为：． 【点睛】方法点睛：函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点. 11．（22-23高一上·上海奉贤·期末）设函数，其中，其中，若函数的图象与直线有4个交点，则实数b满足的条件是 ． 【答案】，且， 【难度】0.4 【知识点】奇偶函数对称性的应用、分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】判断函数的奇偶性，从而可作出函数的大致图象，结合函数的图象与直线的交点情况，列出相应不等式，即可求得答案.， 【详解】对于函数，当时，，则； 当时，，则； 当时，， 即满足，为奇函数； 由于，故在R上单调递减， 则当时，为增函数，则， 若，则，则对于，定义域为R，且为偶函数， 此时其图象大致为：    此时，函数的图象与直线有2个交点，不符合题意； 故，此时的图象如图示：    要使得函数的图象与直线有4个交点， 需满足，解得，且， 故实数b满足的条件是，且， 故答案为：，且 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是要明确函数的图象情况，数形结合，得到相应不等式，求解答案. 三、解答题 12．（24-25高一上·上海·期末）对于定义在区间D上的函数，若存在，对任意的，都有，则称函数在区间D上有“下界”，把称为函数在D上的“下界”. (1)分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”，否则请说明理由； ；. (2)请你类比函数有“下界”的定义，写出函数在区间D上有“上界”的定义；并判断函数是否有“上界”，且说明理由. 【答案】(1)无下界，理由见解析；有下界，为8； (2)答案见解析，无“上界”，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数新定义、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据称为函数在上的“下界”的定义，判断即可； （2）类比函数有“下界”的定义，写出函数在区间上有“上界”的定义即可；通过讨论的范围，判断函数是否有“上界”即可. 【详解】（1）因为，所以，无“下界”； 因为，，当且仅当时“”成立， 所以有“下界”，为8. （2）对于定义在区间上的函数， 若存在，对任意的，都有， 则称函数在区间上有“上界”，把称为函数在上的“上界”. 由题，， 当时，， ，易得在上单调递减， 当时，，无“上界”； 当时，， ，易得在上单调递增， ； 综上，函数无“上界”. 13．（23-24高一上·上海·期末）已知函数. (1)写出一个奇函数和一个偶函数，使； (2)对（1）中的.命题：函数在区间上是增函数；命题：函数是减函数；如果命题、有且仅有一个是真命题，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】对数型复合函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、利用函数单调性求最值或值域、根据函数的单调性求参数值 【分析】（1）令中的为，然后解方程组求解； （2）求出命题，为真是的范围，再确定命题、有且仅有一个是真命题时的取值范围； （3）利用函数单调性求解即可. 【详解】（1）①， 则， 即②， 由①②得； （2）对于命题：函数在区间上是增函数， 则，解得或，且， 对于命题：函数是减函数，则，解得，且， 当真假时：，当假真时：， 所以如果命题、有且仅有一个是真命题，的取值范围是； （3）因为，此时， 所以，明显其在上单调递增， 所以. 即的取值范围为. 14．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，且不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)已知，若存在，，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】一次函数的图像和性质、由一元二次不等式的解确定参数、求二次函数的值域或最值、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）由题意判断出即是方程的两根，即可求解； （2）设的值域为，的值域为，判断出，列不等式组，求出的范围. 【详解】（1）不等式，即， 因为不等式的解集为，即是方程的两根， 将代入方程得，解得， 再由韦达定理得，故. （2）因为存在，，使得成立， 设的值域为，的值域为，则， 的对称轴为，故在上单调递增， 则，即，所以， 当时，，不满足题意； 当时，在上单调递增， 则，即，所以， 由，得，解得； 当时，在上单调递减， 则，即，所以， 由，得，解得， 综上所述，. 15．（23-24高一上·上海·期末）设常数，函数. (1)当时，①求函数值域；②判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论； (2)根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1)①；②单调递减，证明见解析； (2)答案见解析； 【难度】0.65 【知识点】含参指数函数的最值、利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）将代入并利用分离常数法由指数函数值域代入计算即可求得其值域；利用函数单调性定义按照步骤证明即可得函数在区间上单调递减； （2）对参数的取值进行分类讨论，利用定义即可判断出不同情况下函数的奇偶性； 【详解】（1）时可得，易知其定义域满足， 因此的定义域为； ①又， 当时，，，所以； 当时，，，所以； 因此函数的值域为； ②取，且， 则 ， 显然时，，； 所以，即， 即可得函数在区间上单调递减； （2）由于，显然当时，，其定义域为实数， 且满足，此时函数为偶函数； 当时，，其定义域为实数， 且满足，此时函数为奇函数； 当或时，函数的定义域为， 显然此时定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶奇函数； 综上可知，当时，函数为偶函数； 当时，函数为奇函数； 当或时，函数为非奇非偶奇函数； 16．（22-23高一上·上海杨浦·期末）若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称在上具有性质.若是函数定义域的一个子集，称函数，是函数在上的限制. (1)设是上具有性质的奇函数，求时不等式的解集； (2)设为上具有性质的偶函数.若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； (3)已知函数在区间上的限制是具有性质的奇函数，在上的限制是具有性质的偶函数.若对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】函数不等式恒成立问题、由奇偶性求函数解析式、函数新定义 【分析】（1）设，根据奇函数确定，再解不等式即可. （2）设，根据函数为偶函数，得到，不等式转化为，根据函数的值域和单调性计算最值得到答案. （3）确定函数的解析式，根据函数的单调性计算函数的值域为，再考虑，，三种情况，分别计算综合得到答案. 【详解】（1）设，则，函数为奇函数，故， ，则，， 函数为奇函数，满足， ，设，，解得或（舍） 即，解得，故 （2）设，则，函数为偶函数， 故，故，， ，即， 设，，则，函数在上单调递减，在上单调递增，故， ， 即，函数在上单调递减， 故，故. （3）根据（1）（2）知：， 当时，，设，则，， 函数单调递增，， 时，，设，则，单调递增， 故，函数在上的偶函数， 故， 综上所述： ， 当时，即，即，解得； 当时，即，即，成立； 当时，即，即，解得； 综上所述： 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，涉及函数的单调性，奇偶性，值域，不等式恒成立和能成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用换元法求函数值域是解题关键，换元法可以简化运算，是常考的方法，需要熟练掌握. 17．（22-23高一上·上海宝山·期末）集合{为严格增函数}. (1)直接写出是否属于集合 (2)若.解不等式： (3)证明：“”的充要条件是“” 【答案】(1)不属于集合，属于集合 (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】充要条件的证明、根据函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不等式、函数新定义 【分析】（1）根据定义直接判断即可； （2）由，可得函数为增函数，不等式，即为不等式，再根据函数的单调性解不等式即可； （3），即函数在定义域内为增函数，根据函数的单调性结合充分条件和必要条件的定义证明即可. 【详解】（1）因为在定义域内为减函数， 所以不属于集合， 因为在定义域内为增函数， 所以属于集合； （2）不等式， 即为不等式， 因为， 所以函数为增函数， 所以， 所以，解得， 所以不等式的解集为； （3）， 则， 令， 当，则在上递增， 令， 则对任意的恒成立， 恒成立， 即恒成立， 因为，所以， 当时，恒成立， 因为，所以， 又，所以， 当时，恒成立， 因为没有最大值，所以不恒成立，与题意矛盾， 综上所述，当在上递增时，， 当时， 则函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 综上所述，“”的充要条件是“”. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于把握新定义的含义，以及函数单调性的判定及利用函数的单调性解不等式. 18．（22-23高一上·上海松江·期末）已知，我们定义函数表示不小于的最小整数，例如：，. (1)若，求实数的取值范围； (2)求函数的值域，并求满足的实数的取值范围； (3)设，，若对于任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)值域为， (3) 【难度】0.4 【知识点】求对数型复合函数的值域、求二次函数的值域或最值、函数不等式恒成立问题、函数新定义 【分析】（1）根据给定定义，直接列式求解作答. （2）由对数函数的单调性求出的值域，进而列出不等式，求出x值范围作答. （3）利用对勾函数求出在上的值域，再建立恒成立的不等式，借助二次函数性质分类讨论求解作答. 【详解】（1）由表示不小于x的最小整数，，得， 所以实数x的取值范围是. （2）函数定义域为，而函数在上单调递增，值域为， 因此，即有，所以函数的值域为； 显然，，由，得， 则有，而时，不等式不成立，则，必有，即， 因此，，解得，所以实数的取值范围. （3）当时，，函数在上单调递减，在是单调递增， 因此函数在上单调递增，在是单调递减，，而， 于是在上的值域为，，， 依题意，，，即，， 当时，，显然当时，，则，， 当时，，而恒成立，则，， 所以实数的取值范围. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 19．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数，，若存在常数k（），使得对定义域D内的任意（），都有成立，则称函数在其定义域D上是“k-利普希兹条件函数” (1)判断函数①，②是否是“1-利普希兹条件函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由； (2)若函数（）是“k-利普希兹条件函数”，求常数k的最小值； (3)若是定义在闭区间上的“2-利普希兹条件函数”，且，求证：对任意的都有． 【答案】(1)是，不是 (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】函数新定义、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）证明即可判断，举出反例即可判断； （2）分离参数，将不等式变为关于的不等式,结合定义域即可求得常数的最小值； （3）对任意的都有，只需要即可，根据新定义求出即可得出答案. 【详解】（1）对于函数， 不妨设，则，符合题意， 所以函数是“1-利普希兹条件函数”， 对于函数， 因为， 所以函数不是“1-利普希兹条件函数”； （2）若函数（）是“利普希兹条件函数”， 则对定义域内任意（），均有， 即， 设， 则，即， 因为， 所以，所以 所以的最小值为； （3）设， 当时， 因为是定义在闭区间上的“2-利普希兹条件函数”， 所以， 当时，由，得， 故 恒成立，综上所述，， 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数新定义问题，解决本题的关键在于理解“k-利普希兹条件函数”. 20．（22-23高一上·上海金山·期末）已知函数的定义域为D，区间，若存在非零实数t使得任意都有，且，则称为M上的增长函数． (1)已知，判断函数是否为区间上的增长函数，并说明理由； (2)已知，设，且函数是区间上的增长函数，求实数n的取值范围； (3)如果函数是定义域为R的奇函数，当时，，且函数为R上的增长函数，求实数a的取值范围． 【答案】(1)是，理由见详解 (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】函数新定义、函数不等式恒成立问题、由奇偶性求函数解析式、比较函数值的大小关系 【分析】（1）根据题意结合函数单调性分析运算； （2）根据题意整理可得对恒成立，根据恒成立问题结合一次函数分析运算； （3）根据函数的单调性，先取特值，可求得，再证明当时，对任意，均有. 【详解】（1）数为区间上的增长函数，理由如下： 由题意可知：在上单调递增， 对，则，可得， 故函数为区间上的增长函数. （2）若函数是区间上的增长函数， 可得对，则，即， 可得对恒成立， 则，解得， 故实数n的取值范围为. （3）由题意可得：， ∵函数是定义域为R的奇函数， 当时，则， 故， 可得在上单调递增，在上单调递减， 注意到， 故当时，，当时，， 若函数为R上的增长函数，则对，均有， 取，即，故，则，即， 若，即时，则有： ①当时，则，且在上单调递增， 故； ②当时，则，且， ∵在上单调递减，在上单调递增， 则， 且在上单调递增，则， 故； ③当时，则， 可得， 注意到在上单调递增， 故； ④当时，则， 注意到在上单调递减，在上单调递增， 可得； ⑤当时，则，且在上单调递增， 可得； 综上所述：当时，对，均有. 故实数a的取值范围为. 【点睛】关键点点睛： 根据的单调性，取特值，先求出实数a的取值范围，再证明其充分性. 21．（22-23高一上·上海杨浦·期末）若定义在区间上的函数满足：存在常数，使得对任意的，都有成立，则称为一个有界变差函数，并将满足条件的的最小值称为的全变差. (1)判断函数，和（为有理数集）是否为有界变差函数；（无需说明理由） (2)求函数的全变差； (3)证明：函数是上的有界变差函数. 【答案】(1)是有界变差函数, 不是有界变差函数； (2)2； (3)证明见解析. 【难度】0.15 【知识点】函数新定义、函数基本性质的综合应用、函数不等式恒成立问题、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）根据已知定义判断即可; （2）根据全变差定义结合单调性,把差的绝对值去掉求解可得; （3）根据有界变差函数定义结合单调性,把差的绝对值去掉求解可得; 【详解】（1）由在上递减， 令，则， 显然，存在，使任意的，都有成立， 所以为一个有界变差函数； 对于，令，所得中有理数、无理数都有可能为无限个， 若以无理数、有理数成对依次出现时随n的变大趋向于正无穷大， 所以不是一个有界变差函数. （2）对任意的， 在上单调递减，所以， 即， 在上单调递增，所以， 即， 所以， 所以，存在使成立， 则称为一个有界变差函数，的最小值2称为的全变差. （3）由（2）知：在上是一个有界变差函数， 令，则，而在上， 所以，即，故是有界变差函数； 又在上递增且值域为[0,2]，任意，则， 所以，故存在使，则是有界变差函数， 令，则， 由上可设且均为常数，故，而、均为有界变差函数， 所以为有界变差函数. 【点睛】关键点点睛：根据有界变差函数的定义，结合相关函数的单调性判断无限细分后区间端点函数值差的绝对值小于某一常数是否恒成立. 22．（21-22高一上·上海金山·期末）设是定义在[m，n]（）上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，[m，n]称为含峰区间. (1)试判断是否为[0，6]上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由； (2)若（，a、b、）是定义在[m，3]上峰点为2的“含峰函数”，且值域为[0，4]，求a的取值范围； (3)若是[1，2]上的“含峰函数”，求t的取值范围. 【答案】(1)是[0，6]上的“含峰函数”，峰点为3； (2)详见解析； (3) 【难度】0.15 【知识点】根据函数的最值求参数、根据函数的单调性求参数值 【分析】（1）以一元二次函数的单调性进行判断即可解决； （2）先满足单调性要求，再满足值域的要求，逐步递进即可解决； （3）在按参数t分类讨论时要注意不重不漏的原则，逐步求得t的取值范围. 【详解】（1）函数的图像是开口向下，对称轴为的抛物线 则在区间上是严格增函数，在区间上是严格减函数， 故是[0，6]上的“含峰函数”，峰点为3. （2）记函数，， 则在区间[m，2]上是严格增函数，在区间上是严格减函数， 则有，解之得 则， ； 令，可得， 则有， 则在上严格递增，在上严格递减，， 由在[m，3]上值域为，可知时，符合题意. 令，则或（舍去） 此时， 则在上严格递增，在上严格递减，， 由在[m，3]上值域为，可知，解之得 综上，当时，a的取值为； 当时，a的取值范围是. （3）记，设任意，且 则 当时，由，且 可知， 则，即 则为上严格减函数，不符合题目要求； 当时，由，且 可知， 则，即 则为上严格增函数，不符合题目要求； 当时， 设任意，且，此时， 则，即，为上严格增函数； 设任意，且，此时， 则，即，为上严格减函数； 故是[1，2]上峰点为的“含峰函数”. 综上，t的取值范围为 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 23．（21-22高一上·上海普陀·期末）已知定义在R上的函数满足：在区间上是严格增函数，且其在区间上的图像关于直线成轴对称． (1)求证：当时，； (2)若对任意给定的实数x，总有，解不等式； (3)若是R上的奇函数，且对任意给定的实数x，总有，求的表达式． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【难度】0.15 【知识点】函数图象的变换、反函数的性质应用、解分段函数不等式、求抽象函数的解析式 【分析】(1)在函数()的图像任取点，推导可得，再结合严格递增推理作答. (2)根据给定条件结合(1)可得的值域，在的条件下分段求解作答. (3)求出函数区间、上表达式，再借助奇函数性质计算作答. 【详解】（1）依题意，，函数的图象上任意点关于直线对称点在函数的图象上， 则有：，且，于是得：，显然满足， 当时，若，而，又在区间上是严格增函数， 则，即，与矛盾， 若，而，又在区间上是严格增函数，则，即，与矛盾， 所以当时，. （2）由(1)知，函数在区间上的值域为，函数的图象可由的图象向左平移2个单位而得， 因对任意给定的实数x，总有， 则函数在R上的图象可由数()的图像向左向右每2个单位平移而得， 于是得函数在R上的值域为，由得：， 当时，，则，由得： ，解得，则有， 当时，，则，由得：，解得，则有， 当时，，由得：，解得，则有， 综上得：， 所以不等式的解集是. （3）因对任意给定的实数x，总有， ，当时，有，则， ，当时，有，则， 显然，函数的值域是，函数的值域是， 则取尽一切正整数，， 因此，当时，， 而是R上的奇函数，则当时，，，又， 所以，，，即函数的表达式是. 【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可. 24．（21-22高一上·上海松江·期末）函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. (1)分别判断函数与是否具有性质，并说明理由； (2)已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质.求证：是偶函数； (3)已知为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围. 【答案】(1)具有性质，不具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.15 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、函数新定义 【分析】（1）根据性质的定义对函数与函数进行判断，从而确定正确答案. （2）性质的定义列不等式，求得，进而判断出是偶函数. （3）性质的定义列不等式，结合对数函数、指数函数的知识求得的取值范围. 【详解】（1）对任意，得， 所以具有性质； 对任意，得. 易得只需取，则， 所以不具有性质 （2）设二次函数满足性质. 则对任意， 满足. 若，取，，矛盾. 所以，此时， 满足，即为偶函数 （3）由于，函数的定义域为R. 易得. 若函数具有性质，则对于任意实数， 有 ，即. 即. 由于函数在上严格递增，得. 即. 当时，得，对任意实数恒成立. 当时，易得，由，得， 得，得. 由题意得对任意实数恒成立， 所以，即 当时，易得，由，得， 得，得. 由题意得对任意实数恒成立， 所以，即 综上所述，的取值范围为. 【点睛】求解新定义函数类型的题目，关键点是理解和运用新定义，将新定义的知识，转化为学过的知识来进行求解.求解含参数的不等式问题，需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$