精品解析：浙江省金华市东阳市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年下学期九年级（上）期中调研卷 数学试题卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列成语所描述的事件是不可能事件的是（ ） A. 瓜熟蒂落 B. 日出东方 C. 水涨船高 D. 水中捞月 2. 已知：b是a、c的比例中项，那么下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将含的直角三角板绕着点A顺时针旋转到处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（ ） A B. C. D. 4. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共装有10个球，其中有1个黑球、2个白球、3个红球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 红球 D. 黄球 5. 如图，在内，弦，若，，则的直径为（ ） A. 10 B. 12 C. 9 D. 5 6. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（ ） A. 正九边形 B. 正八边形 C. 正七边形 D. 正六边形 8. 如图，二次函数的图象所在坐标系的原点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 9. 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，正方形与正方形关于点位似．若点、、的坐标分别为、、，则点的坐标为（ ） A B. C. 或 D. 或 10. 新定义：若一个点的横纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 把抛物线向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为__________． 12. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中共装有26个棋子，其中有12个黑色棋子和14个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意从中摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是__________． 13. 在数学活动课上，小东利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点处的镜子中看到教学楼的顶部时，测得小东的眼睛与地面的距离，同时测得，，则教学楼高度__________． 14. 如图，把沿弦翻折后恰好经过圆心，点是阴影部分内任意一点（包含除点、之外边界），则的度数的取值范围是_______． 15. 已知二次函数的图象过点，，，，其中，为常数，则的值为_________． 16. 如图，在菱形中，点在上，把沿翻折后得，交于点，交于点，且，，则的值为_________． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 如图，，，若，求的长． 18. 已知抛物线． （1）判断点是否在此抛物线上． （2）求此抛物线与轴的交点坐标． 19. 如图，的顶点坐标分别为，，，将绕原点顺时针旋转得到． （1）画出． （2）求线段扫过的面积． 20. 如图是学校食堂一张餐桌的示意图，甲，乙，丙，丁一起去食堂吃饭，他们选了一张空餐桌（选择每一个座位的机会是均等的，两人不能坐同一个座位）． （1）甲随机选择一个座位坐下，他坐在③号座位上的概率是__________． （2）若甲和乙两位同学随机坐在①，②，③，④四个座位中，请用画树状图或列表的方法，求甲和乙两位同学不坐在正对面的概率． 21. 某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏．并调整到合适的高度．如图，主光轴垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为6厘米的发光物进行移动，使物距为24厘米，光线，通过凸透镜后传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为9.6厘米． （1）求像的长度． （2）已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过主光轴上点，求的长． 22. 如图，四边形是的内接四边形，． （1）求证：． （2）连结并延长交于点，点为的中点，若，， ①求的长． ②求的长． 23. 已知抛物线（为常数）经过点，过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点为平面直角坐标系的原点． （1）求的值． （2）连结，线段交抛物线于点， ①若点为线段的中点，求的值． ②若点，满足，请直接写出的取值范围：_________． 24. 如图1，四边形内接于，，． （1）求证：四边形为矩形． （2）如图2，点为的中点，连结，，分别交于点，，且． ①求证：点，是的三等分点． ②如图3，取的中点，作射线，将绕点旋转，得到，的对应边，交射线于点，若的半径为，直接写出的面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期九年级（上）期中调研卷 数学试题卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列成语所描述的事件是不可能事件的是（ ） A. 瓜熟蒂落 B. 日出东方 C. 水涨船高 D. 水中捞月 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了时间的分类，必然事件是指一定会发生的事件；不可能事件是指不可能发生的事件；随机事件是指可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】解：A、瓜熟蒂落是必然事件，不符合题意； B、日出东方是必然事件，不符合题意； C、水涨船高是必然事件，不符合题意； D、水中捞月是不可能事件，符合题意； 故选：D． 2. 已知：b是a、c的比例中项，那么下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例中项的概念，解题的关键是明确若是、的比例中项，则满足（即）． 根据比例中项的定义，若是、的比例中项，则、、成比例，即，交叉相乘可得，据此逐一判断选项是否符合该关系． 【详解】解：A、由，交叉相乘得，不符合比例中项定义，此选项不符合题意； B、由，交叉相乘得，符合是、的比例中项，此选项符合题意； C、，不符合比例中项的关系式，此选项不符合题意； D、，不符合比例中项的关系式，此选项不符合题意． 故选：B． 3. 如图，将含的直角三角板绕着点A顺时针旋转到处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转角的求解，根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，据此即可求解． 【详解】解：根据题意：旋转角是． 故选：C． 4. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共装有10个球，其中有1个黑球、2个白球、3个红球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 红球 D. 黄球 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该球的频率稳定在左右，即抽到该球的概率为， ∵抽到黑球的概率为，抽到白球的概率为，抽到红球的概率为，抽到黄球的概率为， ∴该球的颜色最有可能是白球， 故选：B． 5. 如图，在内，弦，若，，则的直径为（ ） A. 10 B. 12 C. 9 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵弦， ∴， 在中，由勾股定理，得 ， 即半径的长为5，则直径的长为10， 故选：A． 6. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，随的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：， ∴图象的开口向上，对称轴是直线， 当时，随的增大而增大． 关于直线的对称点是， ∵， ∴． 故选：D． 7. 如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（ ） A. 正九边形 B. 正八边形 C. 正七边形 D. 正六边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是构造同弧所对的圆心角．构造弧所对的圆心角后即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ， ∴是正九边形的一条边， 故选：A． 8. 如图，二次函数的图象所在坐标系的原点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的解析式求得对称轴，与轴交点坐标为，即可得到所在坐标系的原点． 【详解】解：∵， ∴对称轴是，与轴交点坐标为， ∴点是二次函数所在坐标系的原点； 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，正方形与正方形关于点位似．若点、、的坐标分别为、、，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点连线相交于一点，对应边互相平行（或共线）． 先根据正方形的性质得到，，，当点与点对应，点与点对应，点和点对应，点与点对应，如图1，过点作轴于点，根据位似的性质得到，再证明，得到，则可计算出，，，所以，从而得到点坐标；当点与点对应，点与点对应，点和点对应，点与点对应，如图2，再证明，得到，所以，然后求出得到点坐标． 【详解】解：∵点、、的坐标分别为、、， ∴，，， 当点与点对应，点与点对应，点和点对应，点与点对应，如图1，过点作轴于点， ∵正方形与正方形关于点位似． ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴点坐标为； 当点与点对应，点与点对应，点和点对应，点与点对应，如图2， ∵正方形与正方形关于点位似，， ∴， ∴，即， ∴， 解得， ∴点坐标为． 故选：D． 10. 新定义：若一个点的横纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题．由一个点的横纵坐标之和为6可得“和谐点”在直线上，由可得“和谐点”所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解． 【详解】解：由题意可得“和谐点”所在直线为， 将代入得， 将代入得， 设，，如图， 联立与，得方程， 即， 抛物线与直线有两个交点， △， 解得， 当直线和直线与抛物线交点在点，上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得， 把代入得， ， 解得， ． 故选：B． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 把抛物线向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线的平移，掌握相关知识是解决问题的关键． 本题考查抛物线的平移变换，根据函数图像平移的规则“左加右减”，向右平移1个单位，需将原解析式中的替换为，即可求解． 【详解】解：将抛物线 向右平移1个单位， 得到的抛物线解析式为 ． 故答案为：． 12. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明盒子中共装有26个棋子，其中有12个黑色棋子和14个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意从中摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键；根据概率公式计算即可． 【详解】解：盒子中共有26个棋子，其中白色棋子有14个， 因此摸到白色棋子的概率为，化简得， 故答案为：． 13. 在数学活动课上，小东利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点处的镜子中看到教学楼的顶部时，测得小东的眼睛与地面的距离，同时测得，，则教学楼高度__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的判定和性质列出比例式，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， 即， 解得， 则教学楼高度， 故答案为：． 14. 如图，把沿弦翻折后恰好经过圆心，点是阴影部分内任意一点（包含除点、之外的边界），则的度数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、折叠的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 过点作于点，延长交于点，连接，先证出是等边三角形，则，根据等腰三角形的三线合一可得，则劣弧的度数为，优弧的度数为，再分两个临界位置：①当点在优弧上时，②当在劣弧翻折后的圆弧上时，利用圆周角定理求出的度数，由此即可得． 【详解】解：如图1，过点作于点，延长交于点，连接， ∵把沿弦翻折后恰好经过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴劣弧的度数为，优弧的度数为． 如图2，当点在优弧上时，连接， 由圆周角定理得：； 如图3，当在劣弧翻折后的圆弧上时， 作点关于弦的对称点，连接，则点在劣弧上，， 由圆周角定理得：， ∴此时； 如图4，在内有任意点，连接，则有，证明如下： ， ∵， ∴， ∴当点是阴影部分内任意一点（包含除点、之外的边界）时，． 故答案为：． 15. 已知二次函数的图象过点，，，，其中，为常数，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由，可知抛物线的对称轴为直线，从而，则，又由题意可得，，，，将用表示出来，进而可以得解． 【详解】解：由，可知抛物线的对称轴为直线， ，． 二次函数的图象过点，，， ，，． ， ． ． ． ． 16. 如图，在菱形中，点在上，把沿翻折后得，交于点，交于点，且，，则的值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识，并熟练掌握等腰直角三角形和含角的直角三角形的三边比例关系是解题的关键． 令与的交点为M，过点E作，先通过翻折和，求出，设的长度为x，通过等腰直角三角形和含角的直角三角形的三边比例关系进行转换，用含有x的式子将表示出来，即可求解． 【详解】解：如图，令与的交点为M，过点E作， 设的度数为，的长度为x， 四边形为菱形，为对角线， ， ， ， 根据翻折可知， ，， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 如图，，，若，求的长． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：， ． ∴， ． 18. 已知抛物线． （1）判断点是否在此抛物线上． （2）求此抛物线与轴的交点坐标． 【答案】（1）点不在此抛物线上 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握二次函数的性质． （1）把代入解析式求的值即可判断； （2）把代入解析式求的值即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴点不在此抛物线上； 小问2详解】 当时，， ∴此抛物线与轴的交点坐标为． 19. 如图，的顶点坐标分别为，，，将绕原点顺时针旋转得到． （1）画出． （2）求线段扫过的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，正确画出是解题的关键． （1）根据网格的特点和旋转方式确定、、的位置，描出点，并顺次连接即可； （2）线段扫过的面积为扇形与扇形面积的差，利用扇形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 如图所示线段扫过的面积为扇形与扇形面积的差 因为， 所以，， 则线段扫过的面积为： 20. 如图是学校食堂一张餐桌的示意图，甲，乙，丙，丁一起去食堂吃饭，他们选了一张空餐桌（选择每一个座位的机会是均等的，两人不能坐同一个座位）． （1）甲随机选择一个座位坐下，他坐在③号座位上的概率是__________． （2）若甲和乙两位同学随机坐在①，②，③，④四个座位中，请用画树状图或列表的方法，求甲和乙两位同学不坐在正对面的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了概率公式、利用树状图或列表法求概率， （1）利用概率公式即可得到答案； （2）列表表示出所有等可能的情况，用甲和乙两位同学不坐在正对面的结果数除以所有等可能情况数即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵一张空餐桌共4个座位， ∴甲随机选择一个座位坐下，他坐在③号座位上的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： ① ② ③ ④ ① （②，①） （③，①） （④，①） ② （①，②） （③，②） （④，②） ③ （①，③） （②，③） （④，③） ④ （①，④） （②，④） （③，④） 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中甲和乙两位同学不坐在正对面的结果有：①③，①④，②③，②④，③①，③②，④①，④②，共8种， ∴甲和乙两位同学不坐在正对面的概率为． 21. 某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏．并调整到合适的高度．如图，主光轴垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为6厘米的发光物进行移动，使物距为24厘米，光线，通过凸透镜后传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为9.6厘米． （1）求像的长度． （2）已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过主光轴上的点，求的长． 【答案】（1）2.4厘米 （2）厘米 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴， ∴，即， 解得：， 答：像的长度为2.4厘米； 【小问2详解】 由题意得：，为矩形， ∴，厘米， ∴，即， 解得：， 答：的长为厘米． 22. 如图，四边形是的内接四边形，． （1）求证：． （2）连结并延长交于点，点为的中点，若，， ①求的长． ②求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①② 【解析】 【分析】（1）根据弦相等得出弧相等，再根据圆周角和所对弧的度数关系即可求解； （2）①连接，根据三线合一得出，根据比值和锐角三角函数求出相关角的度数，然后利用锐角三角函数求出半径的长度，最后利用胡长公式进行求解即可； ②结合①的结论，得出为等边三角形，根据半径长度求出，利用勾股定理求出，表示出相关线段的长度，最后利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 即的度数等于度数的一半，的度数等于度数的一半， ∵的度数与的度数之和为， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图所示，连接， ∵点为的中点，， ∴,， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； ②由①得， ∴为等边三角形， ∵，且， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 由①得， ∴由勾股定理得， ， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查了圆周角与弧和弦的关系，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数比，弧长公式，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 23. 已知抛物线（为常数）经过点，过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点为平面直角坐标系的原点． （1）求的值． （2）连结，线段交抛物线于点， ①若点为线段的中点，求的值． ②若点，满足，请直接写出的取值范围：_________． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①由（1）知抛物线的解析式为，根据题意求出，，再根据点为线段与抛物线的交点，建立关于的方程求解即可；②过点作轴的垂线，交过点与轴垂直的直线于点，易证，得到，同理①得，求出直线的解析式为，联立，求出，进而得到，分和两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：抛物线（为常数）经过点， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：①由（1）知抛物线的解析式为， ∵轴，， ∴点的横坐标为，则， ∴， ∵点为线段的中点，如图， ∴，即， ∵点为线段与抛物线的交点， ∴，即， 解得； ②过点作轴的垂线，交过点与轴垂直的直线于点， ∵轴，即轴， ∴， ∴， ∴， 同理①得， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，则， 整理得， ∵线段与抛物线交于点和点， ∴， ∴， 当时，如图，则，， ∴， ∴，即， 解得， 解得或， ∵， ∴； 当时，如图，则，， ∴，即 ∴，即， 解得， 解得或， ∵， ∴； 综上，的取值范围为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质，相似三角形的判定与性质，二次函数与不等式的应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的知识是解题的关键． 24. 如图1，四边形内接于，，． （1）求证：四边形为矩形． （2）如图2，点为的中点，连结，，分别交于点，，且． ①求证：点，是的三等分点． ②如图3，取的中点，作射线，将绕点旋转，得到，的对应边，交射线于点，若的半径为，直接写出的面积的最小值． 【答案】（1）证明见详解 （2）①证明见详解，② 【解析】 【分析】（1）根据等弧对等弦，证得，结合题目条件证得四边形是平行四边形，再根据圆的内接四边形对角互补，证直角，即可求证矩形． （2）①连接，先证是等边三角形，再通过弧之间的转换证得，再通过圆周角相等得到，同理，即可求证；②过点E作，，过点B作，连接，先通过半径求出和矩形中各边的长度，转化求出等线段的长度，通过勾股定理得到当最短时，最短，也最短，的面积最小，再结合旋转得到当最短时，，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形内接于， ， ， 四边形为矩形． 【小问2详解】 ①如图，连接， 由（1）可知四边形为矩形， ， ， ， 点为的中点， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 同理， ，即点，是的三等分点． ②如图，过点E作，，过点B作，连接， 由（2）可知是等边三角形，且内接于，而半径为， ， ， 四边形矩形，， 四边形为矩形， ，， 又， ， ， 由勾股定理，可知， ， ， ， ，， 根据勾股定理，可知当最短时，最短，也最短，的面积最小 又是由上的点旋转得到， 当最短时，， ， ， 是的中点，， ， 此时面积为． 【点睛】本题考查了圆的性质，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点并适当添加辅助线帮助分析出旋转过程中线段长度变化情况是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $