1 4.1　直线的方向向量与平面的法向量-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§4　向量在立体几何中的应用 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 学习目标 1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量，培养学生的数学抽象、直观想象的核心素养.　2.会求直线的方向向量与平面的法向量，提升数学运算的核心素养. 任务一　直线的方向向量与直线的向量表示 油纸伞是世界上最早的雨伞，纯手工制成，全部取材于天然，是中国古人智慧的结晶.油纸伞舞蹈表演，更是传承几百年，用来伴舞，美轮美奂. 问题1.观众甲、乙两人在不同地方观察到舞台上方的一个彩灯，甲说彩灯在他的左上方，而乙说彩灯在他的右上方，为什么？ 提示：甲乙观察点的位置不一样. 问题2.当舞蹈演员们向同一个方向举起油纸伞时，伞柄所在的直线是什么位置关系？ 提示：互相平行. 1.直线的方向向量：设点A，B是直线l上不重合的任意两点，称为直线l的方向向量. 2.直线的向量表示：已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量，那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得＝ta.反之，由几何知识不难确定，满足上式的点P一定在直线l上，因此，我们把这个式子称为直线l的向量表示. [微提醒]　(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合.(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 如图，已知长方体ABCD-A'B'C'D'的棱长AB＝2，AD＝4，AA'＝3.以点D为原点，DA，DC，DD'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量： (1)AA'；(2)BD'. 解：由已知可得，长方体顶点A，B，A'，D'的坐标分别为A(4，0，0)，B(4，2，0)，A'(4，0，3)，D'(0，0，3). (1)因为向量＝(0，0，3)，所以直线AA'的一个方向向量为(0，0，3). (2)因为向量＝(－4，－2，3)，所以直线BD'的一个方向向量为(－4，－2，3). 直线的方向向量的求法 求直线AB的方向向量，就是找与平行的任意非零向量，因此可以在直线AB上任取不同的两点，分别以这两点为起点和终点的向量就是直线AB的方向向量，也可以在与直线AB平行的直线上任取不同的两点，分别以这两点为起点和终点的向量也是直线AB的方向向量. 对点练1.(1)(多选题)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　 ) A.(2，2，6) B.(1，1，3) C.(3，1，1) D.(－3，0，1) (2)若向量a＝(x，－2，1)，b＝(－1，y，2)都是直线l的方向向量，则x＋y＝　　　　. 答案：(1)AB　(2)－ 解析：(1)因为M，N在直线l上，所以＝(1，1，3)，故向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直线l的一个方向向量.故选AB. (2)因为a，b都是直线l的方向向量，所以a∥b.因此＝＝，解得x＝－，y＝－4.所以x＋y＝－. 学生用书⬇第107页 任务二　平面的法向量 问题3.当伞柄的方向改变时，伞面的位置也改变，为什么？ 提示：伞柄与伞面是垂直关系，过直线外一点有且只有一个平面与该直线垂直，所以伞柄的方向改变时，伞面的位置也随之改变. 平面的法向量 1.定义：如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量，则n⊥α. 2.向量表示式：如图所示，设点M是平面α内给定的一点，向量n是平面α的一个法向量，那么对于平面α内任意一点P，必有·n＝0.把此式称为平面α的一个向量表示式. 3.平面α的方程：在空间直角坐标系中，若n＝(A，B，C)，点M的坐标为(x0，y0，z0)，则对于平面α内任意一点P(x，y，z)，有＝(x－x0，y－y0，z－z0)，则方程A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0称为平面α的方程. [微提醒]　(1)平面α的法向量垂直于平面α内的所有向量.(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行. (1)(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是(　　 ) A.平面CDD1C1的一个法向量为(0，1，0) B.平面A1BC的一个法向量为(1，1，1) C.平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1) D.平面ABC1D1的一个法向量为(0，1，1) (2)已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是　　　　　　　　. 答案：(1)AC　(2)x＋2y－3z＝0 解析：(1)对于A，由AD⊥平面CDD1C1知，＝(0，1，0)是平面CDD1C1的一个法向量，故A正确；对于B，由AB1⊥平面A1BC，知＝(1，0，1)是平面A1BC的一个法向量，故B错误；对于C，由AC1⊥平面B1CD1，知＝(1，1，1)是平面B1CD1的一个法向量，故C正确；对于D，由DA1⊥平面ABC1D1，知＝(0，－1，1)是平面ABC1D1的一个法向量，故D错误.故选AC. (2)由题意得e⊥，则·e＝(x，y，z)·(1，2，－3)＝0，故x＋2y－3z＝0. 1.如果n为平面α的一个法向量，A为平面α内的一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即·n＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定. 2.一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线.在应用时，可以根据需要进行选取. 3.求平面α的方程的关键是确定平面α的法向量n＝(A，B，C)，然后利用A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0可得. 对点练2.设经过原点的平面α的一个法向量为n＝(6，3，2). (1)求平面α的方程； (2)若A(a，a，a)，C(a，2，3)，两点不在平面α内，直线AC与平面α的交点为E，且＝，求a. 解：(1)平面α的方程为6x＋3y＋2z＝0. (2)由A(a，a，a)，C(a，2，3)不在平面α内易得a≠0且a≠－2，＝(0，2－a，3－a)， 又＝， 则＝＝(0，2－a，3－a)， 设坐标原点为O(0，0，0)，则＝＋＝(a，a，a)＋(0，，)＝(a，，)， 所以E(a，，)， 又E点在平面α内， 所以6a＋2＋2a＋＝0， 得a＝－. 学生用书⬇第108页 任务三　求平面的法向量 (链教材P122例4)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 解：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直. 如图所示，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，，0)，P(0，0，1)，E(0，，)，C(1，，0)， 于是＝，＝(1，，0). 设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量， 则 所以 令y＝－1，则x＝z＝. 所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)(答案不唯一). [变式探究] 1.(变设问)若本例条件不变，求平面PAD的一个法向量. 解：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB. 因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD. 又因为PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD， 如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)， 所以平面PAD的一个法向量为＝(1，0，0)(答案不唯一). 2.(变设问)若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量. 解：如图所示，建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(1，，0)， 所以＝(1，，－1)，即直线PC的一个方向向量为(1，，－1). 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z). 因为D(0，，0)， 所以＝(0，，－1). 由 所以令y＝1，则z＝. 所以平面PCD的一个法向量为n＝(0，1，)(答案不唯一). 利用待定系数法求平面法向量的步骤 第一步，设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)； 第二步，选向量：在平面内选取两个不共线向量，； 第三步，列方程组：由列出方程组； 第四步，解方程组； 第五步，赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)； 第六步，得结论：得到平面的一个法向量. 对点练3.如图，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系. (1)求平面ABCD的一个法向量； (2)求平面SAB的一个法向量； (3)求平面SCD的一个法向量. 解：以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(，0，0)，S(0，0，1). (1)因为SA⊥平面ABCD， 所以＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量. (2)因为AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA⊂平面SAB， 所以AD⊥平面SAB， 所以＝是平面SAB的一个法向量. (3)在平面SCD中，＝，＝(1，1，－1). 设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)， 则n⊥，n⊥， 所以 得方程组 令y＝－1，得x＝2，z＝1，所以n＝(2，－1，1). 所以n＝(2，－1，1)是平面SCD的一个法向量(答案不唯一). 任务再现 1.直线的方向向量与直线的向量表示.2.平面的法向量及其应用.3.求平面的法向量 方法提炼 待定系数法、赋值法、转化与化归思想 易错警示 对直线的方向向量理解不到位而致误；不理解平面法向量的作用和不唯一性 学生用书⬇第109页 1.若A(2，1，1)，B(1，2，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A.(2，1，1) B.(－2，2，2) C.(－3，2，1) D.(2，1，－1) 答案：B 解析：因为＝(－1，1，1)，而与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量.故选B. 2.过空间三点A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)的平面的一个法向量是(　　) A.(1，1，1) B.(1，1，－1) C.(1，0，1) D.(－1，0，1) 答案：A 解析：＝(0，－1，1)，＝(－1，0，1).设该平面的法向量为a＝(x，y，z).由题意知a·＝0，a·＝0，所以令z＝1，得平面的一个法向量是(1，1，1).故选A. 3.(多选题)设(1，－2，－1)，(3，－1，2)是空间直线l上的两点，则直线l的一个方向向量v的坐标可以是(　　) A.(2，1，3) B.(4，1，6) C. D.(2，－4，－2) 答案：AC 解析：设点A(1，－2，－1)，B(3，－1，2)，那么＝(2，1，3)，即为空间直线l的一个方向向量，－＝－(2，1，3)＝也是空间直线l的一个方向向量.故选AC. 4.已知平面α经过点M(1，1，1)，且e＝(2，4，7)是α的一个法向量，N(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是　　　　　　　　. 答案：2x＋4y＋7z－13＝0 解析：由题意得e⊥，则·e＝(x－1，y－1，z－1)·(2，4，7)＝0，故2x＋4y＋7z－13＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $