2 3.2　空间向量运算的坐标表示及应用-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

本讲义聚焦空间向量运算的坐标表示及应用核心知识点，从平面向量坐标表示类比引入空间向量标准正交基与坐标定义，系统梳理运算（加减、数乘、数量积）、平行垂直条件、模及夹角公式，通过问题引导与例题构建学习支架，衔接前后知识脉络。 资料以类比迁移构建知识体系，培养数学思维（推理能力），结合直三棱柱、四棱锥实例引导学生用坐标运算解决空间问题，体现数学眼光（空间观念）与数学语言（模型意识），课中辅助教师引导探究，课后分层练习助学生查漏补缺。

3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 学习目标 1.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.　2.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用；掌握空间向量的模、夹角以及两点间的距离公式，能运用公式解决问题，提升数学运算的核心素养. 任务一　空间向量的坐标 问题1.平面向量的坐标是如何定义的？ 提示：如图所示，已知a＝，P(x，y)，令i，j分别为平面直角坐标系中x轴，y轴正方向上的单位向量.＝＋＝xi＋yj，即a＝xi＋yj，有序实数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x，y)，有序实数对(x，y)一一对应坐标平面内的向量. 1.标准正交基 在空间直角坐标系O-xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基. 2.空间向量的坐标 根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p，都存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xi＋yj＋zk，反之，任意给出一个三元有序实数组(x，y，z)，也可找到唯一的一个向量p＝xi＋yj＋zk与之对应.这样，就在空间向量与三元有序实数组之间建立了一一对应的关系，把三元有序实数组(x，y，z)叫作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作p＝(x，y，z)，单位向量i，j，k都叫作坐标向量，xi，yj，zk实际上分别是向量p在i，j，k方向上所作的投影向量，x，y，z分别是向量p在i，j，k方向上的投影数量. 学生用书⬇第102页 [微提醒]　(1)｜i｜＝｜j｜＝｜k｜＝1，i·j＝0，j·k＝0，i·k＝0.(2)在空间直角坐标系O-xyz中，若＝p，则＝xi＋yj＋zk，所以＝(x，y，z)，点P的坐标为(x，y，z). 已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标. 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 设＝i，＝j，＝k，则＝4i＋0j＋0k＝(4，0，0)，＝＋＝0i＋4j＋4k＝(0，4，4)， ＝＋＝＋＋＝－4i＋4j＋4k＝(－4，4，4). 向量坐标的求法 1.点A的坐标和向量的坐标形式完全相同(O为坐标原点). 2.起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得. 对点练1.如图，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4，3，2)，则C1的坐标是(　　 ) A.(0，3，2) B.(0，4，2) C.(4，0，2) D.(2，3，4) 答案：A 解析：因为的坐标为(4，3，2)，D为坐标原点，所以B1的坐标为(4，3，2)，所以BC＝4，DC＝3，CC1＝2，所以C1的坐标为(0，3，2).故选A. 任务二　空间向量运算的坐标表示 问题2.平面向量运算的坐标表示：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，a·b＝x1x2＋y1y2.你能由平面向量运算的坐标表示类比得到空间向量运算的坐标表示吗？它们是否成立？为什么？ 提示：能表示.空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致.即设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)，λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)，a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. 1.设点A的坐标为(x1，y1，z1)，点B的坐标为(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1).即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 2.空间向量的坐标运算 设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) 减法 a－b (x1－x2，y1－y2，z1－z2) 数乘 λa (λx1，λy1，λz1)，λ∈R 数量积 a·b x1x2＋y1y2＋z1z2 已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2).若p＝，q＝，求下列各式的值： (1)p＋2q； (2)3p－q； (3)(p－q)·(p＋q). 解：由于A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)， 所以p＝＝(2，1，3)，q＝＝(2，0，－6). (1)p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(6，1，－9). (2)3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6) ＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15). (3)(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝｜p｜2－｜q｜2 ＝(22＋12＋32)－[22＋02＋(－6)2]＝－26. 学生用书⬇第103页 空间向量坐标运算的规律 1.由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定. 2.直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算. 3.由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标.对点练2.已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4). 求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b). 解： a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)； a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2，0，－6)； a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8. 任务三　空间向量平行(共线)和垂直的条件 问题3.如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？这个结论在空间向量还成立吗？ 提示：如果设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当b≠0时，a∥b⇔∃λ∈R，使得当b与两个坐标轴都不平行(即x2y2≠0)时，a∥b⇔＝.a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 上述充要条件在空间中仍成立，设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，当b≠0时，a∥b⇔∃λ∈R，使得当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时，a∥b⇔＝＝.a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. 设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). (1)当b≠0时，a∥b⇔∃λ∈R，使得 (2)当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时，a∥b⇔＝＝. (3)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. [微提醒]　(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0). (2)若a∥b，则＝＝成立的条件是x2·y2·z2≠0. 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设＝a，＝b. (1)设向量c＝，试判断2a－b与c是否平行； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值. 解：(1)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，所以2a－b＝(3，2，－2). 又c＝， 所以2a－b＝－2c，所以(2a－b)∥c. (2)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)， 所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4). 又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)， 所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0， 即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0， 解得k＝2或k＝－. [变式探究] (变条件)将本例(2)中“若ka＋b与ka－2b互相垂直”改为“若ka＋b与a＋kb相互平行”，其他条件不变，求k的值. 解：因为a＝(－1＋2，1－0，2－2)＝(1，1，0)， b＝(－3＋2，0－0，4－2)＝(－1，0，2)， 所以ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)， a＋kb＝(1，1，0)＋(－k，0，2k)＝(1－k，1，2k). 因为ka＋b与a＋kb平行，所以ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－1，k，2)＝λ(1－k，1，2k)， 所以 所以k＝－1或k＝1. 判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解. 对点练3.已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2). (1)若a∥b，分别求λ与m的值； (2)若λ＜0，且a与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a. 解：(1)因为a∥b，所以设(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)， 所以 所以λ＝，m＝3. (2)因为a⊥c， 所以2(λ＋1)－2λ×1－λ×2λ＝0， 化简得2－2λ2＝0，解得λ＝±1，又λ＜0，所以λ＝－1. 因此a＝(0，1，－2). 学生用书⬇第104页 任务四　空间向量长度与夹角的坐标表示 问题4.已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5). (1)如何求，的模与〈，〉的大小？ (2)在空间中，如何利用向量求△ABC的面积？ 提示：(1)因为＝(－2，1，6)－(0，2，3)＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，所以＝＝，＝＝，由夹角公式得cos 〈，〉＝＝＝，又〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝60°. (2)S＝｜｜｜｜sin〈，〉＝×××＝. 设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据空间向量运算的坐标表示，有 (1)｜a｜＝＝. 若点A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则｜AB｜＝｜｜＝. (2)cos〈a，b〉＝＝(a≠0，b≠0). 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点. (1)求｜｜，｜｜； (2)求△BMN的面积. 解：以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则B(0，1，0)，M(1，0，1)，N(0，，1). (1)因为＝(1，－1，1)，＝， 所以｜｜＝＝，｜｜＝＝. (2)S△BMN＝·BM·BN·sin∠MBN. 因为cos∠MBN＝cos〈，〉＝＝＝， 所以sin∠MBN＝＝， 故S△BMN＝×××＝. 即△BMN的面积为. 1.空间中的距离和夹角问题可转化为向量的模与夹角问题求解.这体现了向量的工具作用.引入坐标运算，可使解题过程程序化. 2.平行四边形面积的计算公式：＝. 对点练4.已知空间三点A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5).求： (1)向量，的模； (2)向量，夹角的余弦值. 解：(1)因为＝(2，－1，5)－(1，2，3)＝(1，－3，2)，＝(3，2，－5)－(1，2，3)＝(2，0，－8)， 所以｜｜＝＝，｜｜＝＝2. (2)因为·＝(1，－3，2)·(2，0，－8)＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14， 所以cos〈，〉＝＝＝－. 因此，向量，夹角的余弦值为－. 任务五　空间向量运算的坐标表示的综合运用 (链教材P115例4)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点. (1)求证：⊥； (2)求cos〈，〉的值； (3)求｜｜. 解：(1)证明：以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F，G， 所以＝，＝， 因为·＝×＋×＋×0＝0， 所以⊥. (2)由(1)得，＝，＝， 因为·＝×1＋×0＋×＝， ｜｜＝＝，｜｜＝＝， 所以cos〈，〉＝＝＝. (3)由(1)得，＝，则｜｜＝＝. 学生用书⬇第105页 利用空间向量的坐标运算的一般步骤 第一步，建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； 第二步，求坐标：(1)求出相关点的坐标；(2)写出向量的坐标； 第三步，计算：结合公式进行计算； 第四步，转化：转化为夹角与距离问题. 对点练5.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝a，AD＝2，SA＝1，且SA⊥底面ABCD，若边BC上存在异于B，C的一点P使得PS⊥PD. (1)求a的最大值； (2)当a取得最大值时，求异面直线AP与SD所成角的余弦值. 解：如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 设BP＝x(0＜x＜2)，则A(0，0，0)，S(0，0，1)，D(0，2，0)，P(a，x，0)， 所以＝(－a，－x，1)，＝(－a，2－x，0). (1)因为PS⊥PD，所以·＝0， 所以a2－x(2－x)＝0，即a2＝－(x－1)2＋1， 所以当x＝1时，a取得最大值1. (2)由(1)知，当a取得最大值1时，＝(1，1，0)，＝(0，2，－1)， 所以cos 〈，〉＝＝， 即异面直线AP与SD所成角的余弦值为. 任务 再现 1.空间向量的坐标.2.空间向量运算的坐标表示.3.空间向量平行(共线)和垂直的条件.4.空间向量长度与夹角的坐标表示.5.空间向量运算的坐标表示的综合运用 方法 提炼 类比法、数形结合思想、转化与化归思想 易错 警示 由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等；建系后书写点的坐标出错；空间角与向量的夹角转化时忽略范围的不同 1.已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是(　　 ) A.a＋b＝(10，－5，－6) B.a－b＝(2，－1，－6) C.a·b＝10 D.｜a｜＝6 答案：D 解析：因为a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，所以a＋b＝(10，－5，－2)，故A错误；a－b＝(－2，1，－6)，故B错误；a·b＝24＋6－8＝22，故C错误；｜a｜＝＝6，故D正确.故选D. 2.(多选题)已知a＝，b＝，c＝，则下列结论错误的是(　　 ) A.b∥c B.a∥b C.a⊥b D.a⊥c 答案：ABD 解析：对于A，由向量b＝，c＝(－4，－6，2)，可得≠≠，所以向量b与c不共线，故A不正确；对于B，由向量a＝，b＝，可得≠≠，所以向量a与b不共线，故B不正确；对于C，由向量a＝，b＝，可得a·b＝2×2＋3×0＋(－1)×4＝0，所以a⊥b，故C正确；对于D，由a＝，c＝，可得a·c＝2×(－4)＋3×(－6)＋(－1)×2≠0，所以向量a与c不垂直，故D不正确.故选ABD. 3.已知A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点，且＝3，则C的坐标为(　　 ) A. B. C. D. 答案：C 解析：设C(x，y，z)，则＝(x－4，y－1，z－3).又＝(－2，－6，－2)，＝3，所以(－2，－6，－2)＝(3x－12，3y－3，3z－9).所以故选C. 4.已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则与的夹角的大小是　　　　. 答案： 解析：因为＝(－2，－1，3)，＝(－1，3，－2)，所以｜｜＝，｜｜＝，·＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，所以cos 〈，〉＝＝＝－，又〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝. 学科网（北京）股份有限公司 $