第3章 3.2 空间向量运算的坐标表示及应用-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦空间向量运算的坐标表示及应用核心知识点，通过回顾平面向量坐标运算（如向量坐标、加减数乘数量积），类比构建空间向量坐标运算体系，涵盖标准正交基、坐标运算规律、平行垂直充要条件及长度夹角坐标公式，形成从平面到空间的知识支架。 该资料以“三力拉巨石”实际问题导入，培养用数学眼光观察现实世界的意识。通过类比平面向量推理空间向量运算，发展数学思维中的推理能力。结合正方体、直三棱柱模型，用坐标运算解决距离、夹角及平行垂直证明，体现数学语言表达空间形式的优势。课中即时练与例题解析助力教师突破重难点，课后跟踪训练与综合应用帮助学生巩固知识，查漏补缺。

3．2　空间向量运算的坐标表示及应用 新课导入 学习目标 一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉巨石．这三个力分别为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000N.若以F1，F2，F3的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，你知道巨石所受合力F的坐标是多少吗？本节课我们将探究此类问题． 1.掌握空间向量的正交分解及其意义．　2.掌握空间向量的运算与坐标的关系，能利用坐标运算解决问题．　3.掌握空间向量的坐标与空间向量的平行与垂直的关系，并能利用数量积运算求解简单的长度、夹角问题． 知识点一　空间向量的坐标运算 回顾之前学习过的平面向量相关知识，回答以下问题： 思考1　在平面直角坐标系中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，的坐标是什么？ 提示：＝(x2－x1，y2－y1). 思考2　设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b，a－b，λa，a·b的运算结果分别是什么？ 提示：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，a·b＝x1x2＋y1y2. 思考3　有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示吗？ 提示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，与平面向量运算的坐标表示一样，有a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. [知识梳理] 1．标准正交基 在空间直角坐标系O-xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基． 2．一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 3．空间向量的坐标运算 空间向量a，b，其坐标形式为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). 向量运算 向量表示 坐标表示 相等 a＝b x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2 加减法 a±b (x1±x2，y1±y2，z1±z2) 数乘运算 λa (λx1，λy1，λz1)(λ∈R) 数量积 a·b x1x2＋y1y2＋z1z2 [即时练] 1．已知点A(1，2，0)，若向量＝(2，3，－1)，则点B的坐标是(　　) A．(－1，－1，1) B．(1，1，－1) C．(－3，－5，1) D．(3，5，－1) 解析：选D．设点B(x，y，z)，而点A(1，2，0)，则＝(x－1，y－2，z)，又＝(2，3，－1)， 因此解得所以点B的坐标是(3，5，－1). 2．已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________． 解析：由题意得，2a＋3b＝(4，4，5)，a－b＝(－3，2，0)，则(2a＋3b)·(a－b)＝(4，4，5)·(－3，2，0)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4. 答案：－4 3．在空间直角坐标系中，已知点A(1，m，1)，B(－1，1，2)，C(3，－2，1)，D(1，－3，2)，若A，B，C，D四点共面，则m____________． 解析：因为A(1，m，1)，B(－1，1，2)，C(3，－2，1)，D(1，－3，2)，所以＝(－2，1－m，1)，＝(4，－3，－1)，＝(2，－4，0)，因为≠≠，所以与不共线，因为A，B，C，D四点共面，所以存在实数a，b使得＝a＋b，所以(－2，1－m，1)＝a(4，－3，－1)＋b(2，－4，0)， 所以解得 答案：2 空间向量坐标运算的规律 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定． (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． (3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标． 知识点二　空间向量平行、垂直的坐标表示 思考　设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的充要条件分别是什么？对于空间向量是不是也有类似结论？ 提示：a∥b⇔x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.对于空间向量也有类似结论． [知识梳理] 设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). (1)当b≠0时，a∥b⇔∃λ∈R，使得 (2)当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时，a∥b⇔＝＝. (3)当a≠0，b≠0时，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0． [例1] 已知空间向量m＝(x，y，1)，n＝(x，－2，2x). (1)若m∥n，求x＋y的值； (2)若m⊥n，求y的最小值及此时x的值． 【解】　(1)因为m∥n，所以存在实数λ，使得m＝λn， 当x＝0时，m＝(0，y，1)，n＝(0，－2，0)，所以λ不存在，所以x≠0； 当x≠0时，可得＝＝，解得x＝，y＝－2，所以x＋y＝－. (2)因为m⊥n，所以m·n＝x2－2y＋2x＝0，即y＝x2＋x＝(x＋1)2－， 所以当x＝－1时，y的最小值为－. (1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解． (2)利用向量证明直线平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明． [跟踪训练1] (1)设x，y∈R，向量a＝(x，2，2)，b＝(2，y，2)，c＝(3，－6，3)，且a⊥c，b∥c，则x＋y＝(　　) A．－8 B．－2 C．2 D．8 解析：选B．因为a⊥c，所以a·c＝3x－12＋6＝0，解得x＝2，由b∥c可知，＝＝，解得y＝－4，所以x＋y＝－2. (2)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，2，－2)，c＝(6，1，λ)，若(a－b)⊥c，则λ的值为________． 解析：因为a＝(2，－1，3)，b＝(－1，2，－2)，所以a－b＝(3，－3，5)， 由(a－b)⊥c得(a－b)·c＝0， 又c＝(6，1，λ)， 所以3×6＋(－3)×1＋5λ＝0，解得λ＝－3. 答案：－3 知识点三　空间向量长度与夹角的坐标表示 思考　设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何求两者的夹角？对于空间向量也有类似结论吗？ 提示：先求|a|＝，|b|＝，再利用夹角公式cos 〈a，b〉＝，最后利用三角函数值求出夹角．对于空间向量也有类似结论． [知识梳理] 1．空间向量的模与夹角 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 类别 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos 〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) cos 〈a，b〉＝ 2.空间两点间的距离 已知点A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)，A，B两点间的距离|AB|＝||＝． [例2]如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H是C1G的中点． (1)求FH的长； (2)求cos 〈，〉的值． 【解】　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则E(0，0，1)，F(1，1，0)，C1(0，2，2)，G(0，，0). (1)因为H是C1G的中点，所以H(0，，1)， 所以＝(－1，，1)， ||＝＝， 即FH＝. (2)因为＝(1，1，－1)，所以||＝， 因为＝(0，－，－2)， 所以||＝，且·＝(1，1，－1)·(0，－，－2)＝0－＋2＝， cos 〈，〉＝＝＝. 母题探究　在本例中，△EFH的面积S＝________． 解析：由本例解析可知，＝(1，1，－1)，||＝，＝(－1，，1)，||＝，·＝(1，1，－1)·(－1，，1)＝－1＋－1＝－， 所以cos 〈，〉＝＝＝－， 所以cos ∠EFH＝， 所以sin ∠EFH＝＝＝，故△EFH的面积S＝||||·sin∠EFH＝×××＝. 答案： 利用空间向量的坐标运算求解夹角、距离问题的步骤： (1)根据几何图形的特点建立恰当的空间直角坐标系； (2)利用题设条件写出相关点的坐标，进而求得相关向量的坐标； (3)利用空间向量的夹角公式和模的公式求解． [跟踪训练2] 如图，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AD＝2. (1)求M，N两点之间的距离； (2)求cos 〈，〉的值． 解：(1)由题意，以A为原点，DA，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(－2，2，0)，P(0，0，2)，所以M(0，1，0)，N(－1，1，1)，则＝(－1，0，1)， 故M，N两点之间的距离||＝＝. (2)由(1)知，＝(0，0，2)，＝(－1，0，1)， 所以cos 〈，〉＝＝＝. 应用点　空间向量坐标运算的综合应用 [例3] 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，AB＝3，BC＝5. (1)求cos 〈，〉的值； (2)求证：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值． 【解】　(1)由题意，AC＝4，BC＝5，AB＝3，所以BC2＝AB2＋AC2，所以AB⊥AC，又AA1⊥平面ABC，直线AC，AB，AA1两两垂直，以A为原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(0，0，0)，B(0，3，0)，A1(0，0，4)，C1(4，0，4).所以＝(0，3，－4)，＝(－4，0，－4)，·＝0×(－4)＋3×0＋(－4)×(－4)＝16，||＝＝5，||＝＝4， 所以cos 〈，〉＝＝＝. (2)设D(x，y，z)是线段BC1上一点，且＝λ(0≤λ≤1)，由(1)知，＝(x，y－3，z)，＝(4，－3，4)，＝(0，3，－4).所以(x，y－3，z)＝λ(4，－3，4)，可得所以＝(4λ，3－3λ，4λ)，由AD⊥A1B，得·＝3(3－3λ)－4×4λ＝9－25λ＝0，解得λ＝，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，此时＝. 利用空间向量求解探索性问题，要根据点的某一条件设出点的坐标，然后列出坐标适合的方程(组)或不等式，将存在性问题转化为方程或不等式的求解问题． [跟踪训练3] 如图， 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点． (1)证明：BE⊥PD； (2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求线段PF的长． 解：(1)证明：因为PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，所以直线AB，AD，AP两两垂直，所以以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．由题意B(1，0，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，E(1，1，1)，D(0，2，0)，＝(0，1，1)，＝(0，2，－2)，所以·＝(0，1，1)·(0，2，－2)＝0＋1×2＋1×(－2)＝0，所以BE⊥PD. (2)因为＝(1，2，0)，＝(－2，－2，2)，＝(2，2，0)，由点F在棱PC上，设＝λ＝(－2λ，－2λ，2λ)，0≤λ≤1，所以＝＋＝(1－2λ，2－2λ，2λ)，因为BF⊥AC，所以·＝2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝.所以||＝(1－)×||＝＝，即线段PF的长为. 1．(教材P114T2改编)已知向量a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，则a·(2b－c)＝(　　) A．12 B．－12 C．9 D．－9 解析：选A．由题意，2b－c＝2(2，0，3)－(0，0，2)＝(4，0，4)，则a·(2b－c)＝(2，－3，1)·(4，0，4)＝8＋4＝12. 2．已知向量a＝(x，y，－1)，b＝(2，0，－2)，若a∥b，则y－x＝(　　) A．－1 B．1 C． D．－ 解析：选A．因为a＝(x，y，－1)，b＝(2，0，－2)，且a∥b，所以存在t∈R，使得a＝tb，即(x，y，－1)＝t(2，0，－2)， 所以解得 即y－x＝－1. 3．已知A(2，1，3)，B(－4，2，x)，C(1，－x，2)，若向量＋与垂直(O为坐标原点)，则x＝________． 解析：＝(2，1，3)，＝(－4，2，x)，＝(1，－x，2)， 所以＋＝(3，1－x，5)， 因为向量＋与垂直， 所以(＋)·＝－12＋2(1－x)＋5x＝0，所以x＝. 答案： 4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝120°，F为CD的中点，PB＝2，以B为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求线段AF的长； (2)求与夹角的余弦值． 解：(1)在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，则∠BCD＝60°， 易知△BCD为等边三角形，则BD＝2， 在等边三角形BCD中，F为CD的中点，则DF＝CD＝1，BF⊥CD， 在Rt△BDF中，BF＝＝， 易得F(0，，0)，A(2，0，0)， 所以＝(－2，，0). ||＝＝， 即AF＝. (2)由题易知P(0，0，2)，D(1，，0)，B(0，0，0)，F(0，，0)，则＝(1，，－2)，＝(0，，0)，所以·＝0＋3＋0＝3，||＝＝2，||＝＝， 则cos 〈，〉＝＝＝，即与夹角的余弦值为. 1．已学习：空间向量运算的坐标表示及应用． 2．须贯通：空间向量的坐标运算实际上是平面向量坐标运算的推广，它可以解决立体几何中的相关问题． 3．应注意：(1)两向量对应坐标的比相等是a∥b的充分不必要条件，而非充要条件； (2)讨论向量夹角忽略向量共线的情况． 学科网（北京）股份有限公司 $