2 4.2　直线与圆锥曲线的综合问题-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“直线与圆锥曲线的综合问题”，系统梳理弦长公式推导与应用、中点弦问题的点差法、弦长最值与范围的求解策略，构建从位置关系基础到公式推导再到综合应用的递进式学习支架。 通过问题驱动（如探究弦长公式、中点弦斜率关系）引导自主思考，一题多解（如中点弦问题三种解法）培养逻辑推理，分层练习与评价助力巩固提升。课中辅助教师引导学生构建知识体系，课后帮助学生查漏补缺，强化数学运算与直观想象素养。

学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 4.2直线与圆锥曲线的综合问题 学1.进一步掌握直线与圆锥曲线的位置关系，培养直观想象、数学 习运算的核心素养.2.掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题， 目提升数学运算的核心素养.3.会解决与圆锥曲线有关的焦点弦、 标中点弦问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养 任务一弦长公式 ？问题导思 问题1.已知直线1：y=十m上两点A(x1,y),B(x,y2),如何表示 线段AB的长度？ 提示：|AB|=Vx1-x2+y1y2}=1+k1:-|= V1+kVx1+为2)-4x12 新知构建 当直线的斜率存在时，斜率为k的直线1与椭圆相交于A1,y),B (2,y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种： (1)|AB|=1+k2|x1-|; 2)1AB1=V1+à|M-为1k≠0)： (3)|AB|=V(1+k[x1+x2-4x182]; (4)1AB|=V(1+忘)[Gy,+y)2-4yy]k≠0) [微提醒](1)对于弦长问题，一定先有判别式大于零，才有两根之和、 两根之积.(2)对于斜率不确定的问题，要分类讨论.(3)抛物线y2=2x (p>0)的焦，点弦AB,弦长|AB|=x1十2十p.(4)椭圆、双曲线的通径 为2碧 典例□已知椭圆C:x2+号=1，过点M0,3)的直线1与椭圆C相交 于不同的两点A,B,若|AB|<3,试求直线1斜率的取值范围， 独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.C0m☐ 您身边的互联网+教辅专家 解：当直线1的斜率不存在时，则直线1的方程为x=0, 代入椭圆C的方程得A(0,2),B(0,一2)，所以|AB|=4,不满足| AB|<V3,此时直线1：x=0不符合题意 当直线1的斜率存在时，设直线I的方程为y=x十3， (y=kx+3, 将直钱和椭圆方程联立，得x2+号=1， 化简、整理，得(4十2)x2+6x十5=0， 此时△=(6k2-20(4+2)>0,即2>5.① 设A(,y1),B(?,y2),则，2是上述方程的两根， 则西十=0，=点， 因为1AB|=V1-)+y1-y2<3, 所以1+k☑ -6k 44k2 解得-曾<2<8，② 由①②知5<2<8. 所以-2V2<k<-V5或W5<k<2W2 所以直线1斜率的取值范围为(-22，-√5)U(W5,22) 规律方法 1.求弦长的两种方法 ()求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解. (2)结合根与系数的关系，利用弦长公式|AB|= W(1+k)[x1+x2}-4x1x2],或|AB|= V(1+意)[y1+y,)2-4yy]k≠0)求解 2.已知弦长求参数值，关键是利用弦长公式，得到关于参数的方程， 注意求得结果要验证是否满足判别式大于0. 独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 对点练1.已知双曲线C:等-器=1a>0,b>0)的离心率为5，点 (√5，0)是双曲线的一个顶点， (1)求双曲线C的标准方程； (2)经过双曲线右焦点F作倾斜角为30°的直线1，直线1与双曲线交 于不同的两点A,B,求|AB|: 解：(1)因为双曲线C的离心率为3，点(3,0)是双曲线的一个顶点， =5, (a=5, 所以 a=5,解得 b=6, a+b2=c2, c=3, 所以双曲线C的标准方程为警-号=1， (2)双曲线号-若=1的右焦点为F(3,0),所以直线1的方程为y= 9x-3) ∫等-若=1， y=9-3) 得5x2+6x-27=0 设Ax,),B(2,2),则出十2=-号，x=一号 所以|AB|=V(1+寺)[&1+2}-4x1x2]=V1+专× V(-)-4×(-号)=6 (或由5x2+6x一27=0，得x=-3或号，则|AB|=V1+号×|号+3= 9) 学生用书↓第76页 任务二中点弦问题 ?问题导思 ·独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 问题2.已知椭圆的方程为器+晋=l(m>0,n>0,m≠m),直线与椭 圆相交于点A(:,y1),B(,2)c≠x2),弦AB的中点为M(x0,yo), 你能求出kOMk4B的值吗？ ∫+器=1， 提示：将A(:1,M),B(,2)代入椭圆方程得 +=1, 将两式作 差并整理得 srxs+型十yy2ty2=0, m (yy2)yty2 由弦AB的中点为M0:),若灯≠，则区xx周 =一品，即 袋名=一品，从而kB爱=一品，即人B'ko二一品 新知构建 点差法：设出弦的两端点坐标后，代入椭圆的方程，将两式相减，式 中含有灯十，n十，蕊三个未知量，这样就联系了中点坐标和 直线的斜率 典例2（一题多解）已知椭圆器+号=1的弦AB的中点M的坐标为2， 1),求直线AB的方程， 解：法一：易知直线AB的斜率k存在， 设所求直线的方程为y一1=(x一2)， (y-1=kx-2), 联立直线与椭圆的方程，得方程组器+号=1， 化简、整理，得(42+1)x2-8(22-)x+4(2k-1)2-16=0,△>0. 设点A(x1,y),B(x2,y2),则1，x2是上述方程的两根， 8(2k2-k 于是x1十x2=4k+1 又M为AB的中点， 独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以整=22型 4纵241 =2,解得k=一支 故所求直线的方程为x十2y一4=0 经检验，所求直线满足题意 法二：设点A(x1,y1),B(x2,y2). 因为M(2,1)为AB的中点， 所以01十2=4，y1十y2=2. 又A,B两点在椭圆上， 则x+4y=16,x3+4y3=16, 两式相减，得(x-x)+4(y-y)=0, 于是(：1+x2x1-)+40y1十y2)y1-y2)=0 XiX2 所以=一=一高=一， 即k4B=一支. 故所求直线的方程为x十2y一4=0， 经检验，所求直线满足题意 法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(,y), 由于AB的中点为M2,1), 则另一个交点为B(4-x,2-y). 因为A,B两点都在椭圆上， (x2+4y2=16,① 所以1(4-x}2+4(2-y)}=16,② ①一②，化简得x+2y-4=0 显然点A的坐标满足这个方程，代入验证可知，点B的坐标也满足这 个方程，而过点A,B的直线只有一条，故所求直线的方程为x十2y一4 =0 ·独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 规律方法 涉及弦的中点，可以使用点差法：设出弦的两端，点坐标，代入椭圆、 双曲线或抛物线方程，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系， 对点练2.(1)直线1与双曲线号-y2=1交于A,B两点，线段AB的中 点在直线y=2x上，则直线AB的斜率为( A.4 B.2 C. D. (2)(双空题)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F1,0).直线1 与抛物线C相交于A,B两点，若AB的中点为(2,2)，则抛物线的 方程为 直线1的方程为 答案：(1)D(2y2=4xx-y=0 解析：(1)设A(c1,y),B(2,y2),线段AB的中点M(xo,o),由已知， 浮-y=1 A,B两点在双曲线上，所以 -y=1, 两武作差可得袋袋=k6 X1+X2 密=主，因为点M0:%)在直线y=2x上，所以密=2，代入上式可 得k4B=,故直线AB的斜率为.故选D. (2)由题意知，抛物线的方程为y2=4x,设直线1与抛物线C的交点为 y3=4x1, A,B,则有y=4x2,且≠，两式相减得，y经- y好=4-)因为AB的中点为(2,2)，所以1十2=4，所以袋= 高：=1，所以直线1的方程为y-2=x-2,即x-y=0. 任务三弦长的最值、范围问题 医国在平面直角坐标系中，椭圆C:等+导=1(a>b>0)的离心率e =, 且点P(2,1)在椭圆C上 独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.C0m☐ 您身边的互联网+教辅专家 (1)求椭圆C的方程； (2)斜率为一1的直线与椭圆C相交于A,B两点，求|AB|的最大值 e=i=9, a=V6, 所以 解：(1)由题意得 条+京=1， b=V5, =b2+c2, 所以椭圆C的方程为器十号=1. (2)设直线AB的方程为y=一x十m, y=-+m, 联立直线与椭圆的方程，得方程组詈+号=1， 化简、整理得3x2一4x+2m2一6=0， 设A(x1,y),B(,y2),则x,龙2是上述方程的两根， A>0, 4m X1+2=罗， 所以 x2=2m, 3 所以1AB1=1+(-1)21:-1=寺V9-m, 当m=0时， 满足△>0，|AB|max=4. [变式探究] (变设问)本例条件不变，求△AOB面积的最大值 解：由本例知|AB|=寺V9-m, 原点到直线的距高是 所以SAae=号9-m号 -9V9-m2m≤号.2m4=9 独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 当且仅当m=±35时，等号成立，满足△>0， 所以△4OB面积的最大值为35 学生用书↓第77页 规律方法 求与圆锥曲线有关的最值、范围问题的方法 1.定义法：利用定义转化为几何问题处理 2.数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解 3.函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调 性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围 对点练3.己知抛物线y2=4x,其焦点为F (1)若点1,1)，求以M为中点的抛物线的弦所在的直线方程； (2)若互相垂直的直线m,n都经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物 线相交于A,B两点和C,D两点，求四边形ACBD面积的最小值， 解：(1)因为点M在抛物线y2=4x含焦点F的区域内，所以中点弦所 在的直线存在 设所求直线交抛物线于P(,y1),Qx2,2), 则y3=4x1,y3=4x,y1十y2=2, ko=装=克：=20≠. 4 所以所求直线方程为2x一y一1=0 (2)依题意知，直线，n的斜率存在，设直线m的方程为y=k(x一1) (k≠0)，与抛物线方程联立， y=k(&-1), 得 y2=4x, 消去y,化简、整理得2x2-(2k2+4)x十2=0，△>0， ·独家授权侵权必究· 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 设其两根为，4，则十4=急十2 由抛物线的定义可知， |AB|=2十十x=是+4， 同理1CD|=42+4, 所以四边形ACBD的面积S=(42+4)(是+4)=8(2+k2+专)≥ 32, 当且仅当k=士1时取等号，故四边形ACBD面积的最小值为32. 课堂小结 任务再现1.弦长公式.2.中点弦问题.3.弦长的最值、范围问题 方法提炼数形结合、分类讨论、基本不等式法 易错警示容易忽略直线斜率不存在的情况 随堂评价 1.若直线y=2x-1)与椭圆餐十=1交于A,B两点，则|AB1= () A. B. c.3 D.9 答案：D (y=2(x-1), 解析：由方程组 等+=1 消去y,整理得3x2-5x=0,解得1 =0,2=号，分别代入y=2(x-1),得M=-2,2=寺.所以|AB =V区1-+y1-y=5.故选D. 2.若直线2x-y-4=0与抛物线y2=6x交于A,B两点，则线段AB 的长度为() ·独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.晒 B.晒 C.305 2 D. 答案：B y2=6x, 解析：联立2x-y-4=0,消去y并整理得2-11x+8=0,△= 121-4×2×8=57>0,设A(x1,y),B(,y2),则01十32=号，18 =4,所以|AB|=V1+k2V1+x2)2-4x82=V1+4× √尘-4×4=2.故选B. 3.过椭圆+号=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为 答案：4,3 解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a=4;最短弦为垂直 于长轴的弦，因为c=1,将=1代入￥+号=1，得号+号=1，解 得y2=,即y=士号，所以最短弦的长为2X号=3 4.过点M2,1)作斜率为1的直线，交双曲线罩-器=1a>0,b >O)于A,B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为 答案：3 解析：设点A(x1,y),B(x2,y2),则有 假-等=1， -9=1， 两式作差后整理得袋 yitva X1+X2 =影，由已知袋=1，出十 =4,n+=2,所以导=器，又c2=a2+b,所以=，得= 5 ·独家授权侵权必究·