2 2.2　双曲线的简单几何性质-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

本讲义聚焦双曲线的简单几何性质核心知识点，从椭圆几何性质类比引入，系统探究范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等性质，结合例题变式与实际应用，构建“性质探究-方程求解-实际应用”的完整学习支架。 资料以问题链引导学生用数学眼光观察，通过唐代金杯、广州塔等案例培养数学建模能力，分层评价设计助力课后查漏补缺，有效提升直观想象与数学运算素养，课中辅助教学高效，课后便于学生巩固。

2.2　双曲线的简单几何性质 学习目标 1.掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等简单的几何性质，培养直观想象、数学运算的核心素养.　2.能利用双曲线的简单几何性质求标准方程及解决一些简单的实际问题，提升数学运算、数学建模的核心素养. 任务一　双曲线的简单几何性质 问题1.仿照椭圆的简单几何性质的讨论方法，根据双曲线C的标准方程－＝1(a＞0，b＞0)和图象(如图)，如何研究双曲线C的范围、对称性、顶点、离心率等性质？ 提示：(1)范围：利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋，所以双曲线C上的任意一点P(x，y)都满足≥1，y∈R，即x≥a或x≤－a，y∈R.因此，双曲线C在不等式x≤－a与x≥a所表示的区域内，即位于两条直线x＝－a和x＝a外侧的区域. (2)对称性：－＝1(a＞0，b＞0)关于x轴、y轴和原点都对称.x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又称为双曲线的中心. (3)顶点：双曲线与它的对称轴的交点，叫作双曲线的顶点.顶点是A1(－a，0)，A2(a，0)，只有两个. (4)离心率：①定义：e＝.②e的范围：e＞1.③e的含义：因为c＞a＞0，所以可以看出e＞1，另外，注意到＝＝＝，说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄. 问题2.如图，线段A1A2的长为2a，线段B1B2的长为2b.据此，你能发现双曲线的范围与矩形对角线y＝±x有什么关系？ 提示：双曲线在第一象限内部分的方程为y＝·，它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方.它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近.其他象限同理. 双曲线的简单几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 ｜F1F2｜＝2c 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点 顶点 (－a，0)，(a，0) (0，－a)，(0，a) 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 渐近线 ±＝0或y＝±x ±＝0或y＝±x 离心率 e＝(e＞1) [微提醒]　(1)e＝＝.(2)双曲线的离心率刻画了双曲线的“开口”大小，e越大，开口越大.(3)写双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置.(4)焦点到渐近线的距离为b. 角度1　双曲线的简单几何性质 (链教材P65例4，P67例5)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 解：将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1， 所以a＝3，b＝2，c＝. 所以双曲线的顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 离心率e＝＝， 渐近线方程为y＝±x＝±x. 学生用书⬇第62页 [变式探究] (变条件)若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 解：将方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程为－＝1(m＞0，n＞0)， 由此可得实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝， 所以双曲线的焦点坐标为(，0)，(－，0)， 离心率e＝＝＝， 顶点坐标为(－，0)，(，0)， 所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x. 确定双曲线几何性质的基本步骤 对点练1.求双曲线25y2－16x2＝400的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 解：将方程25y2－16x2＝400化为标准方程为－＝1. 由此可得实半轴长a＝4，虚半轴长b＝5，c＝＝＝， 所以双曲线的焦点坐标为(0，－)，(0，)； 离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x. 角度2　利用双曲线的性质求标准方程 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)实轴长为16，离心率为； (2)右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)； (3)过点(2，0)，与双曲线－＝1离心率相等. 解：(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0). 由题意知2a＝16，＝，c2＝a2＋b2， 解得c＝10，a＝8，b＝6， 所以所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. (2)设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0). 由已知得a＝，c＝2， 所以b2＝c2－a2＝1. 所以所求双曲线的标准方程为－y2＝1. (3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ＞0)，将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1； 当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ＞0)，将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝－＜0(舍去). 综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 利用双曲线的几何性质求双曲线标准方程的基本思路 1.根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程可按先定位，再定形的方法.但在这里要注意的是对双曲线几何性质的运用，如在定位方面，可能涉及双曲线的焦点、顶点的位置；在定形方面，要注意是否给出了离心率及渐近线方程.解题时，我们要充分利用这些几何性质. 2.设双曲线方程的技巧 (1)与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2＜λ＜a2). (2)与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0). (3)渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0). 对点练2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； (2)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分； (3)(一题多解)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3). 解：(1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则2b＝8，e＝＝， 从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9， 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3. 由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分，可得2c＝4a＝12，即c＝6，则b2＝c2－a2＝62－32＝27. 由于焦点所在的坐标轴不确定，所以所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. (3)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x. 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则＝.① 因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1.② ①②联立，无解. 当焦点在y轴上时，设所求方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则＝.③ 因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1.④ 联立③④，解得a2＝8，b2＝32. 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)， 因为A(2，－3)在双曲线上，所以－(－3)2＝λ，即λ＝－8. 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 学生用书⬇第63页 任务二　双曲线的渐近线与离心率问题 角度1　求双曲线离心率的值或取值范围 (1)已知F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点，B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线交于点M，且点M恰是线段BF的中点，则双曲线的离心率为(　　) A. B. C.2 D. (2)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，O为坐标原点，F1，F2为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得F2P的中点M满足｜OM｜＝c，则双曲线的离心率e的取值范围是　　　　. 答案：(1)D　(2) 解析：(1)不妨设F(－c，0)，B(0，b)，则M(－，).将点M坐标代入双曲线方程－＝1，得－＝1，则＝5，即＝.故选D. (2)因为O，M分别为F1F2，PF2的中点，所以｜PF1｜＝2｜OM｜＝c.又双曲线上的点到焦点的最小距离为c－a，所以c≥c－a＞0，解得1＜≤.因此双曲线的离心率e的取值范围是. 求双曲线的离心率的方法 1.直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解；若已知a，b，可直接利用e＝得解. 2.解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解. 对点练3.已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在双曲线E上，满足△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线E的离心率为(　　) A. B. C.2 D. 答案：A 解析：不妨取点M在第一象限，如图所示.设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，因为△ABM是顶角为120°的等腰三角形，所以｜BM｜＝｜AB｜＝2a，∠MBx＝60°，所以点M的坐标为(2a，a).又因为点M在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上，所以将点M坐标代入方程得4－＝1，整理上式得a2＝b2.而c2＝a2＋b2＝2a2，所以e2＝2，因此e＝.故选A. 角度2　双曲线的渐近线与离心率的综合 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(－1，－)，则该双曲线的离心率为(　　) A. B.2 C. D.4 答案：B 解析：易知双曲线的渐近线y＝x经过点(－1，－)，将(－1，－)代入渐近线方程得＝，所以e＝＝＝2.故选B. 对点练4.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，渐近线在第一象限的部分上存在一点P，且｜OP｜＝｜OF1｜，直线PF1的斜率为，则该双曲线的离心率为　　　　　　　. 答案：2 解析：由双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，可得渐近线方程为y＝±x，设点P的坐标为(x0，x0)，且x0＞0，因为｜OP｜＝｜OF1｜，即＋＝c2，解得＝a2，即x0＝a，所以点P的坐标为(a，b)，又因为直线PF1的斜率为，所以＝，可得b＝a＋c，两边平方得3b2＝a2＋c2＋2ac，即c2－ac－2a2＝0，两边同时除以a2，可得e2－e－2＝0，即(e－2)(e＋1)＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去). 任务三　双曲线简单几何性质的实际应用 如图为陕西历史博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体.若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为(　　) A.2π B.3π C.2π D.4π 答案：C 解析：该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设M，N(，－m)，代入双曲线方程可得－＝1，－＝1，即－＝，－＝1，作差可得＝，解得a2＝3，a＝，所以杯身最细处的周长为2π.故选C. 双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题.特别要注意在实际意义下隐含着的变量范围. 对点练5.(新情境)单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图①，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴 学生用书⬇第64页 旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图②，最细处的直径为100 m，楼底的直径为50 m，楼顶直径为50 m，最细处距楼底300 m，则该地标建筑的高为(　　) A.350 m B.375 m C.400 m D.450 m 答案：C 解析：以地标建筑的最细处所在直线为x轴，双曲线的虚轴为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，由题意可得A(50，0)，C(25，－300)，设B(25，y0)(y0＞0)，双曲线的方程是－＝1(a＞0，b＞0)，则－＝1，将点B(25，y0)代入得－＝1，解得y0＝100，所以该地标建筑的高为300＋100＝400(m).故选C. 任务再现 1.双曲线的简单几何性质.2.由双曲线几何性质求标准方程.3.双曲线的渐近线与离心率问题.4.双曲线简单几何性质的实际应用 方法提炼 待定系数法、直接法、解方程组法、数形结合思想 易错警示 求双曲线的方程时常因位置关系考虑不全面出错 1.双曲线2x2－y2＝－8的实轴长是(　　) A.2 B.4 C.2 D.4 答案：B 解析：双曲线标准方程为－＝1，故实轴长为2a＝4.故选B. 2.(2025·八省适应性测试)双曲线x2－＝1的渐近线方程为(　　) A.y＝±x B.y＝±2x C.y＝±3x D.y＝±4x 答案：C 解析：由方程x2－＝1，则a＝1，b＝3，所以渐近线方程为y＝±x＝±3x.故选C. 3.(2025·北京西城区期中)已知双曲线－＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：根据右焦点为(3，0)，知c＝3，则a2＋5＝9，所以a＝2，故e＝＝.故选C. 4.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案：D 解析：由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5，3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $