1 2.1　双曲线及其标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

本讲义聚焦双曲线的定义、标准方程及应用核心知识点，通过类比椭圆“距离之和”引入“距离之差”构建双曲线定义，结合拉链实验、问题链推导标准方程，辅以例题解析、对点练等学习支架，形成从概念到应用的完整知识脉络。 该资料以实验探究（如拉链画双曲线）培养数学抽象，通过定义辨析题（如动点轨迹判断）提升逻辑推理，结合救援信号定位等实际案例强化数学运算。课中助教师直观教学，课后练习题与任务再现助学生查漏补缺，深化知识理解与应用能力。

§2　双曲线 2.1　双曲线及其标准方程 学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程，培养数学抽象的核心素养.　2.掌握双曲线的标准方程及其求法，提升数学运算的核心素养.　3.会利用双曲线的定义和标准方程解决较简单的问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.　4.了解双曲线的简单应用. 任务一　双曲线的定义 问题1.把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹会怎么样？ 提示：准备实验(可以找三名同学在教师指导下操作)，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一个点，分别固定在点F1，F2上，点F1到点F2的距离为2c(c＞0).把笔尖放在拉链开口的咬合处M，点M到点F1的距离与点M到点F2的距离之差等于2a(c＞a＞0).随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖就画出一条曲线，同理可画出另一支.(如图)显然所画的曲线不是椭圆，而是两条相同的曲线，只是位置不同，其原因都是应用了“到两定点的距离之差｜MF1｜－｜MF2｜，或｜MF2｜－｜MF1｜是同一个常数”这个条件. 问题2.在上述过程中，我们在其中的一段拉链上截取一段小于｜F1F2｜，如果截取的长度等于｜F1F2｜，其轨迹还是上述图形吗？ 提示：不是，是以F1，F2为端点的两条射线. 双曲线的定义 定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于｜F1F2｜)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线 焦点 两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点 焦距 两焦点间的距离｜F1F2｜叫作双曲线的焦距 集合语言 P＝{M｜｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a，0＜2a＜｜F1F2｜} [微提醒]　(1)常数要小于两个定点的距离.(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支.(3)当2a＝｜F1F2｜时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).(4)当2a＞｜F1F2｜时，动点的轨迹不存在.(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. (多选题)已知平面直角坐标系中，点A(－1，0)，B(1，0)，点P为平面内一动点，且｜PA｜－｜PB｜＝2a(a∈R)，则下列说法正确的是(　　) A.当a＝0时，点P的轨迹为一直线 B.当a＝1时，点P的轨迹为一射线 C.当a＝－1时，点P的轨迹不存在 D.当a＝时，点P的轨迹是双曲线 答案：AB 解析：对于A，当a＝0时，｜PA｜＝｜PB｜，则点P的轨迹为线段AB的垂直平分线，故A正确；对于B，当a＝1时，｜PA｜－｜PB｜＝2＝｜AB｜，则点P的轨迹是一条射线，且射线的端点为B，方向为x轴的正方向，故B正确；对于C，当a＝－1时，｜PA｜－｜PB｜＝－2＝－｜AB｜，则点P的轨迹是一条射线，且射线的端点为A，方向为x轴的负方向，故C错误；对于D，当a＝时，｜PA｜－｜PB｜＝1＜｜AB｜，且｜PA｜＞｜PB｜，所以点P的轨迹是以点A，B为左、右焦点的双曲线的右支，故D错误.故选AB. 判断点的轨迹是否为双曲线时，依据是双曲线的定义成立的充要条件. 对点练1.(1)已知M(－2，0)，N(2，0)，｜PM｜－｜PN｜＝4，则动点P的轨迹是(　　) A.线段 B.双曲线左支 C.一条射线 D.双曲线右支 (2)与圆x2＋y2＝1及圆x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圆P的圆心在(　　) A.一个椭圆上 B.一个圆上 C.一条直线上 D.双曲线的一支上 答案：(1)C　(2)D 解析：(1)因为M(－2，0)，N(2，0)，于是有｜PM｜－｜PN｜＝4＝｜MN｜，所以动点P的轨迹是一条射线.故选C. (2)由x2＋y2－8x＋12＝0，得(x－4)2＋y2＝4，作出两方程所对应曲线，如图所示：设圆P的半径为r，因为圆P与圆O和圆M都外切，所以｜PM｜＝r＋2，｜PO｜＝r＋1，则｜PM｜－｜PO｜＝1＜4，所以根据双曲线定义知点P在以O，M为焦点的双曲线的左支上.故选D. 学生用书⬇第58页 任务二　双曲线的标准方程 问题3.仿照求椭圆标准方程的方法，根据双曲线的定义，如何选择恰当的平面直角坐标系来求双曲线的标准方程？ 提示：观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则焦点F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)，焦距为2c，c＞0. 设P(x，y)是双曲线上任意一点，则根据双曲线的定义可得｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，即｜PF1｜－｜PF2｜＝±2a， 因为｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，所以－＝±2a，化简、整理可得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2).根据双曲线的定义可知，2c＞2a＞0，所以c2－a2＞0，设b2＝c2－a2(b＞0)，代入上式，得b2x2－a2y2＝a2b2，即－＝1(a＞0，b＞0). 问题4.设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，其中c＞a＞0，以直线F1F2为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？ 提示：－＝1(a＞0，b＞0). 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝c2－a2 [微提醒]　(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上.(2)a与b没有大小关系；a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2. 角度1　求双曲线的标准方程 (链教材P62例1)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，a＝2，经过点A(－5，2)； (2)经过A(－7，－6)，B(2，3)两点； (3)过点P(－，2)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的双曲线方程. 解：(1)因为a＝2，且双曲线的焦点在x轴上， 可设双曲线的标准方程为－＝1(b＞0)， 将点A(－5，2)的坐标代入双曲线的方程得－＝1，解得b2＝16， 所以双曲线的标准方程为－＝1. (2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)， 将点A，B的坐标代入双曲线方程可得解得m＝，n＝－， 所以双曲线的标准方程为－＝1. (3)由题意知，椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)， 所以可设双曲线标准方程为－＝1，其中a2＋b2＝5， 代入点P(－，2)可得－＝1，联立解得a2＝1，b2＝4， 所以双曲线的标准方程为x2－＝1. 1.求双曲线标准方程的两个关注点 2.双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程. (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可. 注意：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0. 对点练2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过点A(4，3)，且a＝4； (2)经过点A，B(3，－2). 解：(1)若双曲线的焦点在y轴上， 则－＝1，不成立，可知双曲线的焦点在x轴上， 设双曲线的标准方程为－＝1(b＞0)， 代入点A(4，3)， 即－＝1，解得b2＝9， 所以双曲线的标准方程为－＝1. (2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)， 代入点A，B(3，－2)， 可得 所以双曲线的标准方程为－＝1. 学生用书⬇第59页 角度2　双曲线标准方程的理解 给出曲线方程＋＝1. (1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围； (2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围. 解：(1)将所给方程化为－＝1，若该方程表示双曲线，则有(4＋k)(k－1)＞0，解得k＞1或k＜－4. 故实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞). (2)将所给方程化为－＝1，若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有解得k＜－4. 故实数k的取值范围是(－∞，－4). 方程表示双曲线的条件及参数范围求法 1.对于方程＋＝1，当mn＜0时表示双曲线，且当m＞0，n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的双曲线. 2.对于方程－＝1，当mn＞0时表示双曲线，且当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双曲线. 3.已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围. 对点练3.在方程mx2－my2＝3n中，若mn＜0，则该方程表示(　　) A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的双曲线 C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线 答案：D 解析：方程化为－＝1.因为mn＜0，所以＜0，故方程表示焦点在y轴上的双曲线.故选D. 任务三　双曲线定义的应用 若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于7，求点M到另一个焦点的距离； (2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积. 解：(1)由双曲线方程知a2＝9，b2＝16，则c2＝25， 所以a＝3，b＝4，c＝5. 设｜MF1｜＝7，则根据双曲线的定义知 ｜｜MF2｜－7｜＝6，即｜MF2｜－7＝±6， 解得｜MF2｜＝13或｜MF2｜＝1， 又｜MF2｜＝1＜c－a，则｜MF2｜＝1不合题意， 因此，点M到另一个焦点的距离为13. (2)由定义和余弦定理得｜PF1｜－｜PF2｜＝±6， ｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cos 60°， 所以102＝(｜PF1｜－｜PF2｜)2＋｜PF1｜·｜PF2｜， 所以｜PF1｜·｜PF2｜＝64， 所以＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin ∠F1PF2 ＝×64×＝16. [变式探究] (变条件)若将本例(2)中的“∠F1PF2＝60°”改为“｜PF1｜·｜PF2｜＝32”，求△F1PF2的面积. 解：将｜｜PF2｜－｜PF1｜｜＝2a＝6，两边平方得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜＝36， 所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝36＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理的推论得cos ∠F1PF2 ＝＝＝0， 所以∠F1PF2＝90°. 所以＝｜PF1｜·｜PF2｜＝×32＝16. 双曲线的定义的应用 1.已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离. 2.双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用. 对点练4.已知双曲线的方程为x2－＝1，如图所示，点A的坐标为(－，0)，B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，点C为其圆心，点M在双曲线的右支上，求｜MA｜＋｜MB｜的最小值. 解：设点D的坐标为(，0)，则点A，D是双曲线的焦点，如图所示， 连接MD，BD.由双曲线的定义，得｜MA｜－｜MD｜＝2a＝2. 所以｜MA｜＋｜MB｜＝｜MA｜－｜MD｜＋｜MB｜＋｜MD｜ ＝2＋｜MB｜＋｜MD｜≥2＋｜BD｜. 又点B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，)，半径长为1， 故｜BD｜≥｜CD｜－1＝－1， 从而｜MA｜＋｜MB｜≥2＋｜BD｜≥ ＋1， 当且仅当点M，B在线段CD上时取等号. 故｜MA｜＋｜MB｜的最小值为＋1. 学生用书⬇第60页 任务四　双曲线的实际应用 (链教材P63例2)某区域有三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角. 解：如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系. 则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2). 因为｜PB｜＝｜PC｜， 所以点P在线段BC的垂直平分线上. 又易知kBC＝－， 线段BC的中点D(－4，)， 所以直线PD的方程为y－＝(x＋4)，① 又｜PB｜－｜PA｜＝4＜6＝｜AB｜， 所以点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上. 设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则a＝2，c＝3，b＝， 所以点P的轨迹方程为－＝1(x≥2)，② 联立①②，得P点坐标为(8，5)， 所以kPA＝＝， 因此在A处发现P的方位角为北偏东30°. 用双曲线解决实际问题的基本步骤 第一步(建系)：建立适当的坐标系； 第二步(求方程)：求出双曲线的标准方程； 第三步(还原)：根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义). 对点练5.如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，现要把此处生产的蔬菜沿道路AA1或AA2运送到农贸市场A1A2A3A4中去，已知｜AA1｜＝10 km，｜AA2｜＝15 km，∠A1AA2＝60°，能否在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路AA1运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路AA2运送蔬菜较近？如果能，说出这条界线是一条什么曲线，并求出该曲线的方程. 解：以A1A2所在直线为x轴，以A1A2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示. 在△AA1A2中，由余弦定理可得｜A1A2｜2＝｜AA1｜2＋｜AA2｜2－2｜AA1｜｜AA2｜cos 60°＝175， 可得｜A1A2｜＝5.设M是边界上任一点，则满足｜MA1｜＋｜AA1｜＝｜AA2｜＋｜MA2｜， 所以｜MA1｜－｜MA2｜＝｜AA2｜－｜AA1｜＝15－10＝5＜5＝｜A1A2｜. 由双曲线定义可知，点M所在的界线是以A1，A2为焦点的双曲线靠近A2的一支，并且在农贸市场A1A2A3A4内的部分. 由a＝，c＝，可得b2＝c2－a2＝－＝， 所以双曲线方程为－＝1(x＞0)，即－＝1(x＞0). 任务再现 1.双曲线的定义及应用.2.双曲线的标准方程.3.双曲线的实际应用 方法提炼 待定系数法、分类讨论法、定义法、转化与化归思想 易错警示 忽略双曲线成立的必要条件及双曲线焦点位置的判断 1.在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则标准方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1或－＝1 答案：D 解析：应分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况进行讨论，显然D选项符合要求.故选D. 2.(多选题)已知方程＋＝1表示曲线C，则下列判断正确的是(　　) A.当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆 B.当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线 C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜ D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4 答案：BCD 解析：由4－t＝t－1，得t＝，此时方程＋＝1表示圆，故A错误；由双曲线的定义可知，当(4－t)(t－1)＜0，即t＜1或t＞4时，方程＋＝1表示双曲线，故B正确；由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在x轴上时，满足4－t＞t－1＞0，解得1＜t＜，故C正确；当曲线C表示焦点在y轴上的双曲线时，满足解得t＞4，故D正确.故选BCD. 3.若双曲线－＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为(　　) A.1或21 B.14或36 C.2 D.21 答案：D 解析：设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设｜PF1｜＝11，根据双曲线的定义知｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝10，所以｜PF2｜＝1或｜PF2｜＝21，而1＜c－a＝7－5＝2，所以｜PF2｜＝1舍去，所以点P到另一个焦点的距离为21.故选D. 4.以椭圆＋＝1的焦点为焦点，且过点(2，)的双曲线的标准方程为　　　　　　　. 答案：－＝1 解析：由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上.设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0).根据题意得(舍去)，所以双曲线的标准方程为－＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $