2.1双曲线及其标准方程（7大题型）（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

2.1双曲线及其标准方程 题型一：双曲线的定义（一） 1．已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的上支， 且，， 所以其轨迹方程为， 故选:C． 2．已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义即可得出答案. 【详解】∵，动点满足， ∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，， ∴的轨迹的方程为， 故选：D. 3．已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可得答案. 【详解】，由， 结合双曲线定义可知动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支， 在双曲线中，，可得，， 所以， 动点的轨迹方程为. 故选：A. 4．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线定义得到点P的轨迹方程是以与为焦点的双曲线，得到答案. 【详解】由题意得点到点与点的距离之差的绝对值为3，且， 故动点P的轨迹方程是以与为焦点的双曲线， 故， 所以， 所以双曲线的方程为. 故选：A. 5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴长、半焦距即可求解. 【详解】依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距，即， 实轴长，即，于是虚半轴长， 所以所求双曲线方程为. 故选：A 题型二：双曲线的标准方程的应用 1．双曲线：上的点到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（ ） A．9 B．7 C．9或29 D．7或19 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义来求解点到左焦点的距离. 【详解】对于双曲线，可得，则. 设双曲线的左右焦点分别为，已知点到右焦点的距离为19，即. 根据双曲线的定义，则有. 可得或. 当时，； 当时，. 所以点到左焦点的距离为或. 故选：C. 2．双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（ ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义求出点到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值. 【详解】双曲线，. 设双曲线的两个焦点为，，已知，由双曲线定义，即. 当时，可得； 当时，可得.所以或. 在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为. 对于双曲线，可得. 那么，因为，，所以. 这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为，所以要舍去这个值. 因此，即点到另一个焦点的距离等于. 故选：B 3．双曲线的左、右焦点分别是，点在双曲线上，且，则（ ） A．18 B．2 C．6或14 D．2或18 【答案】B 【分析】应用双曲线的定义，结合已知，计算得出且符合到焦点距离范围. 【详解】由题知点在双曲线右支上，根据双曲线的定义得， 因为，所以，即， 又因为，所以满足题意. 故选：B. 4．双曲线的左､右焦点是、，点在双曲线上，若，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】对点的位置进行分类讨论，结合双曲线的定义可求得的值. 【详解】在双曲线中，，，，设点，易知， 若点在双曲线的右支上，则， ， 由双曲线的定义可得，可得，不合乎题意； 若点在双曲线的左支上，则， ， 由双曲线的定义可得，可得，合乎题意. 综上所述，. 故选：A. 题型三：双曲线的焦点三角形（基础） 1．已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线方程，得到，结合条件，利用双曲线的定义，得，再由余弦定理，即可求解. 【详解】由题易知，又，又，所以， 在中，，， 由余弦定理得， 故选：C. 2．设，是双曲线C：的左，右焦点，过的直线与y轴和C的右支分别交于点P，Q，若是正三角形，则（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】由双曲线的定义、正三角形的性质即可求解. 【详解】根据双曲线定义有， 由于点P在线段的垂直平分线上，∴， 又，，故． 故选：C. 3．已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（ ） A．12 B．14 C．10 D．8 【答案】A 【分析】由双曲线的定义求解即可； 【详解】 由题意可得， 的周长为， 由双曲线定定义可得， 又 所以， 所以的周长为12， 故选：A 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，且，若的周长为20，则的实轴长为（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，结合已知的线段比例关系以及的周长，求出的值，进而得到双曲线的实轴长. 【详解】设，因为，所以，. 根据双曲线的定义：平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于定值（）的点的轨迹为双曲线. 对于点在双曲线右支上，有，即，可得①. 对于点在双曲线右支上，有，则. 已知的周长为，的周长，而. 所以，即②. 将①代入②中，得到，即，解得. 根据双曲线的性质，双曲线的实轴长为. 把代入，可得实轴长为. 故选：C 题型四：双曲线中的关系 1．双曲线的焦点坐标是和，实轴长是2，则其方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定即可得双曲线方程. 【详解】双曲线的焦点坐标是和可得， 实轴长是2可得， 所以， 所以方程是. 故选：B. 2．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且离心率为，则双曲线C的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程得到，再由离心率得，根据双曲线中，计算得双曲线方程. 【详解】由椭圆方程，得其焦点为， 因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以双曲线中， 又因为离心率为，所以，，， 所以双曲线方程为. 故选：D 3．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）利用求出双曲线的标准方程. （2）设出双曲线的标准方程，结合给定点的坐标求出即可. （3）设方程为，建立方程组求解即得. 【详解】（1）由双曲线的焦点在轴上，，，得， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）由双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由，且点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. （3）设所求双曲线方程为， 由点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. 4．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，代入已知条件求解即可； （2）根据焦点设出双曲线的方程，代入经过的点计算即可； （3）设双曲线的方程，代入点的坐标，联立解参数即可． 【详解】（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得． 故所求双曲线的标准方程为：． （2）设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）可设双曲线的方程为， 则有解得 则双曲线的标准方程为． 题型五：已知双曲线求参 1．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的标准方程即可得到结果. 【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或， 故的取值范围为． 故选：B. 【点睛】对于方程，我们并不能确定它所表示的曲线是否为双曲线，需要对参数m，n进行讨论．只有时，方程才表示双曲线，且当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上． 2．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质，根据题意建立不等式进行求解即可． 【详解】因为方程表示双曲线，所以即 故选：A． 3．曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】曲线C是双曲线则与异号，列出不等式求出m的范围，即可进行判断. 【详解】曲线C是双曲线，则，解得，故是曲线C是双曲线的必要不充分条件. 故选：B 4．（多选）若方程所表示的曲线为，则（ ） A．曲线可能是圆 B．若，则为椭圆 C．若为椭圆，且焦点在轴上，则 D．若时，曲线上一点到焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为或 【答案】AC 【分析】根据圆、椭圆、双曲线的定义及性质判断即可. 【详解】当，即时，方程为，表示圆心为原点，半径为的圆，故A正确，B错误； 对于C，若为焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确； 对于D，若时，方程为，表示焦点在轴上的双曲线， 则，，所以双曲线上的点到焦点的距离的最小值为，故D错误. 故选：AC. 5．（多选）已知曲线：，下列说法正确的是（ ） A．若，则是焦点在轴上的椭圆 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线 D．若，，则是两条直线 【答案】CD 【分析】根据抛物线标准方程、双曲线标准方程、圆的标准方程、直线的方程的定义和性质，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】当时，由得，，所以曲线表示焦点在轴上的椭圆，A选项错误； 当时，曲线可化为，得，此时曲线是圆，半径为，B选项错误； 当时，曲线可化为，此时曲线是双曲线，C选项正确； 当，时，曲线可化为，得，此时曲线是两条直线，D选项正确； 故选：CD. 题型一：双曲线的定义（二） 1．已知两圆，，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过动圆与圆外切，且和圆内切列出关于圆心距的式子，通过变形可得双曲线的方程. 【详解】如图， 设动圆的半径为，则，， 则， 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，以为实轴长的双曲线的右支. 因为， 所以. 故动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C. 2．已知一个动圆P与两圆：和：都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（ ） A．（） B． C．（） D．（） 【答案】A 【分析】利用双曲线的定义及两圆的位置关系计算即可. 【详解】由题意易知两圆圆心分别为，半径分别为， 设动圆圆心，半径， 则根据题意有, 根据双曲线的定义知的轨迹是以原点为中心，为左右焦点，为实轴长的双曲线的左支，故其轨迹方程为：. 故选：A 3．已知定点，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（ ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】按点在轴左右分类探讨可得，再利用双曲线定义求出方程. 【详解】如图，当点在轴左侧时，连接，由点关于点的对称点为，得是线段中点， 而点是线段的中点，则， 由为线段的垂直平分线，得， 于是，当点在轴右侧时，同理， 则， 所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线，对应的方程为. 故选：B 4．双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，列出方程并化简得答案. 【详解】设，依题意，，化简整理得， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 5．设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用给定条件直接求解动点的轨迹方程即可. 【详解】设点，则的斜率为，的斜率为， 故， 所以，故D正确. 故选：D 题型一：利用双曲线的定义求最值 1．若是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为________________. 【答案】 【分析】根据双曲线的方程可得右焦点，根据双曲线定义可知，即可得解. 【详解】 如图所示， 由双曲线方程， 可知双曲线的右焦点为， 则由双曲线定义可知，即， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又， 即， 故答案为：. 2．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为右支上一动点，Q(1，4)，则＋的最小值为________________． 【答案】 【分析】由双曲线定义可知，当三点共线时，即可. 【详解】 因为点P在双曲线的右支上，所以， 所以，连接， 又，，所以， 当且仅当点在线段上时取“＝”， 故的最小值为． 故答案为：. 3．已知双曲线的右焦点为，为其左支上任意一点，点，则周长的最小值为__________________． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义得到焦点坐标和，通过分析当，，三点共线（点在图中点处）时，周长最小，计算得到结果； 【详解】如图，的周长，， 因为，所以， 当，，三点共线（点在图中点处）时，周长最小， ，， 此时． 所以答案为：. 4．设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为_________________. 【答案】8 【分析】根据给定条件，求出圆心及半径，利用圆的性质及双曲线定义求出最大值. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 双曲线的实半轴长，半焦距，则为其左右焦点， ，， 要取最大值，点必在双曲线左支上， 所以. 故答案为： 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1双曲线及其标准方程 题型一：双曲线的定义（一） 1．已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 4．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 题型二：双曲线的标准方程的应用 1．双曲线：上的点到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（ ） A．9 B．7 C．9或29 D．7或19 2．双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（ ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 3．双曲线的左、右焦点分别是，点在双曲线上，且，则（ ） A．18 B．2 C．6或14 D．2或18 4．双曲线的左､右焦点是、，点在双曲线上，若，则（ ） A． B． C．或 D．或 题型三：双曲线的焦点三角形（基础） 1．已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，，则（ ） A． B． C． D． 2．设，是双曲线C：的左，右焦点，过的直线与y轴和C的右支分别交于点P，Q，若是正三角形，则（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（ ） A．12 B．14 C．10 D．8 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，且，若的周长为20，则的实轴长为（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 题型四：双曲线中的关系 1．双曲线的焦点坐标是和，实轴长是2，则其方程是（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且离心率为，则双曲线C的方程为（ ） A． B． C． D． 3．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 4．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 题型五：已知双曲线求参 1．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 3．曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（多选）若方程所表示的曲线为，则（ ） A．曲线可能是圆 B．若，则为椭圆 C．若为椭圆，且焦点在轴上，则 D．若时，曲线上一点到焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为或 5．（多选）已知曲线：，下列说法正确的是（ ） A．若，则是焦点在轴上的椭圆 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线 D．若，，则是两条直线 题型一：双曲线的定义（二） 1．已知两圆，，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知一个动圆P与两圆：和：都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（ ） A．（） B． C．（） D．（） 3．已知定点，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（ ） A．7 B． C． D． 4．双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 5．设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 题型一：利用双曲线的定义求最值 1．若是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为________________. 2．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为右支上一动点，Q(1，4)，则＋的最小值为________________． 3．已知双曲线的右焦点为，为其左支上任意一点，点，则周长的最小值为__________________． 4．设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为_________________. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$