2.2.1双曲线及其标准方程 同步练习-2023-2024学年高二数学上学期北师大版（2019）选择性必修第一册

北师大版高中数学选修1 第2章 2.1 双曲线及其标准方程 同步练习 一、选择题 “”是“方程 表示双曲线”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 中,,,点 在双曲线 上,则 A. B. C. D. 已知双曲线 与 轴交于 , 两点,点 ,则 面积的最大值为 A. B. C. D. 直线 与双曲线 交于 , 两点,以 为直径的圆 的方程为 ,则 A. B. C. D. 已知 为双曲线 右支上一点,, 分别为双曲线的左、右焦点, 为 的内心.若 ,则 的面积为 A. B. C. D. 已知曲线 ,点 , 是曲线 上的一个动点,点 满足 ,则点 到原点的最短距离为 A. B. C. D. 已知双曲线 : 的两个顶点分别为 ,,, 的坐标分别为 ,,且四边形 的面积为 ,四边形 内切圆的周长为 ,则双曲线 的方程可以为 A. B. C. D. 已知 , 为定点,动点 满足 ,当 和 时,点 的轨迹分别为 A.双曲线和一条直线 B.双曲线的一支和一条直线 C.双曲线和一条射线 D.双曲线的一支和一条射线 二、填空题 数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微”,事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如:与 相关的代数问题可以考虑转化为点 与点 之间距离的几何问题.结合上述观点,可得方程 的解为 . 已知圆 与 轴的两个交点 , 都在某双曲线上,且 , 两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为 . 已知动圆 与圆 外切,与圆 内切,则动圆圆心 的轨迹方程为 . 一动圆过定点 ,且与定圆 相外切,则动圆圆心的轨迹方程为 . 在 中,,, 分别是 ,, 的对边,且 ,,则顶点 运动的轨迹方程是 . 三、解答题 已知双曲线 的焦点坐标为 ,,实轴长为 . (1) 求双曲线 的标准方程; (2) 若双曲线 上存在一点 使得 ,求 的面积. 若 是实数,试讨论方程 表示何种曲线. 答案 1. 【答案】A 【解析】如果方程 表示双曲线,那么 ;而如果 ,由于 的值不确定(比如 ),故无法得出方程 表示双曲线. 所以“”是“方程 表示双曲线”的必要不充分条件. 2. 【答案】D 【解析】在 中,,,, 为 外接圆的半径, 所以 . 又因为 , 所以 . 3. 【答案】B 【解析】由题可知 , 两点的坐标为 , 因此 ,当且仅当 ,即 时等号成立. 所以 面积的最大值为 . 故选B. 4. 【答案】A 【解析】设 ,, 由 ,可得 , 所以 , 因为 为 的中点, 所以 ,, 又 , 两点在双曲线上, 所以 相减可得 , 即 , 根据题意可得直线 的斜率存在,即 , 所以 , 所以直线 的方程为 , 联立方程组 解得 所以 , 所以 , 解得 . 5. 【答案】B 【解析】设 内切圆的半径为 , 由双曲线的标准方程可知 ,,. 因为 , 所以 ,即 , 所以 , 所以 . 6. 【答案】B 【解析】由 ,得点 的轨迹是以 为直径的圆. 设 , 为 的中点,, 则点 到原点的最短距离为 . 7. 【答案】A;B 【解析】四边形 的面积为 , 所以 ,得 . 记四边形 内切圆的半径为 , 则 ,得 . 又 , 所以 . 又因为 , 得 或 所以双曲线 的方程为 或 . 8. 【答案】D 【解析】 , 当 时,, 所以点 的轨迹为双曲线的右支; 当 时,, 所以点 的轨迹为以 为端点的一条射线. 9. 【答案】 【解析】因为 所以 , 可以转化为点 到点 , 的距离之差的绝对值为 , 所以点 在双曲线 上, 所以 ,解得 . 10. 【答案】 【解析】易知圆 与 轴的交点坐标为 ,. 因为圆与 轴的两个交点 , 都在某双曲线上, 所以双曲线的焦点在 轴上,且 . 又因为 , 两点恰好将此双曲线的焦距三等分, 所以 , 所以 , 所以此双曲线的标准方程为 . 11. 【答案】 【解析】由圆 ,可得圆心 ,半径为 ;由圆 可得圆心 ,半径为 . 设动圆的半径为 ,由题意可得 ,. 所以 . 由双曲线的定义可得,动圆的圆心 在以 , 为焦点的双曲线的右支上. 由上述可知,,, 所以 . 所以动圆圆心 的轨迹方程为 . 12. 【答案】 【解析】设动圆圆心为点 ,则 ,即 . 所以点 的轨迹是以 , 为焦点,且 的双曲线的左支. 又因为 , 所以 , 所以 . 所以动圆圆心的轨迹方程为 . 13. 【答案】 () 【解析】以 所在直线为 轴, 的中点为原点建立平面直角坐标系,则 ,. 因为 , 所以点 的轨迹是双曲线的右支,其轨迹方程为 (). 14. 【答案】 (1) 由条件知 ,, 所以 , 所以双曲线 的方程为 . (2) 由双曲线的定义可知,, 因为 , 所以 , 所以 ,