2 1.2　椭圆的简单几何性质-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

本讲义聚焦椭圆的简单几何性质这一核心知识点，从椭圆标准方程出发，通过问题链引导探究范围、对称性、顶点、离心率等性质，进而延伸至利用性质求标准方程、离心率及轨迹方程，构建“定义推导-性质解析-应用拓展”的学习支架。 该资料以问题驱动与分层设计为特色，通过图形观察培养几何直观（数学眼光），方程推导发展逻辑推理（数学思维），例题变式提升运算与表达能力（数学语言）。课中例题辅助教师高效授课，课后分层评价助力学生查漏补缺，强化知识应用。

1.2　椭圆的简单几何性质 学习目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义，培养直观想象、数学运算的核心素养.　2.能利用椭圆的简单几何性质求标准方程及了解椭圆的简单应用，提升数学运算的核心素养. 任务一　椭圆的简单几何性质 问题1.如图所示，椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，你能根据方程和图象确定椭圆的边界吗？ 提示：由方程＋＝1(a＞b＞0)可得椭圆C上的任意一点P(x，y)总满足≤1，≤1，即－a≤x≤a，－b≤y≤b，这说明椭圆C位于四条直线x＝－a，x＝a，y＝－b，y＝b所围成的矩形区域内. 问题2.如上图所示，椭圆具有怎样的对称性？如何通过椭圆方程加以说明？ 提示：既关于坐标轴轴对称，又关于原点中心对称.若(x0，y0)是椭圆方程的一组解，即＋＝1，则(x0，－y0)，(－x0，y0)，(－x0，－y0)也是方程的解. 问题3.如上图所示，椭圆中有哪些特殊点？坐标是什么？ 提示：在椭圆的标准方程中，当x＝0时，y＝±b；当y＝0时，x＝±a，所以(±a，0)，(0，±b)为特殊点. 问题4.扁平程度是椭圆的重要形状特征，观察图象，我们可以发现，不同椭圆的扁平程度不同，我们常用离心率e＝来刻画椭圆的扁平程度.请说明一下这个定量对椭圆的形状有何影响？ 提示：题干图中，保持长半轴长a不变，随着短半轴长b的增大，即离心率e＝＝减小，椭圆就越接近于圆；随着短半轴长b的减小，即离心率e＝＝增大，椭圆就越扁. 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：(0，0) 范围 －a≤x≤a，且－b≤y≤b －b≤x≤b，且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 ｜F1F2｜＝2c 离心率 e＝(0＜e＜1) [微提醒]　(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.(4)P为短轴端点时，∠F1PF2最大.(5)通径长为(通径是过焦点垂直于长轴的弦).(6)e＝＝.(7)离心率的范围为(0，1)，e越大，椭圆就越扁；e越小，椭圆就越接近于圆. 学生用书⬇第54页 角度1　椭圆的简单几何性质 (链教材P54例4)已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上. (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质. 解：(1)由椭圆C1：＋＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8， 焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝. (2)椭圆C2：＋＝1.几何性质如下： ①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，长轴长为20，短轴端点(－8，0)，(8，0)，短轴长为16；④焦点：(0，6)，(0，－6)，焦距为12；⑤离心率：e＝. 确定椭圆几何性质的基本步骤 对点练1.设椭圆方程为mx2＋4y2＝4m(m＞0)，离心率为，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标. 解：椭圆方程可化为＋＝1. ①当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝， 所以e＝＝＝， 所以m＝3，所以b＝，c＝1， 所以椭圆的长轴长和短轴长分别是4，2，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－)，B2(0，). ②当m＞4时，a＝，b＝2， 所以c＝， 所以e＝＝＝，解得m＝， 所以a＝，c＝， 所以椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1(0，－)，A2，B1(－2，0)，B2(2，0). 角度2　由椭圆的简单性质求标准方程 (链教材P55例5)求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，a＝2，离心率e＝； (2)一焦点坐标为(－3，0)，一顶点坐标为(0，5)； (3)过点(3，0)，离心率e＝. 解：(1)由a＝2，e＝，得a2＝4，且＝，即c＝1， 所以b2＝a2－c2＝4－1＝3. 已知椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由椭圆的一个焦点坐标为(－3，0)，可知椭圆的焦点在x轴上，且c＝3. 又由一顶点坐标为(0，5)，可得b＝5， 所以a2＝b2＋c2＝25＋9＝34. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (3)当椭圆的焦点在x轴上时，因为a＝3，e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1； 当椭圆的焦点在y轴上时，因为b＝3，e＝，所以＝，所以a2＝27，所以椭圆的标准方程为＋＝1. 综上，椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置； (2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等，充分体现方程思想. 2.在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个. 对点练2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦距为8，离心率为0.8； (2)长轴是短轴的3倍，且经过点(3，0). 解：(1)当焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0). 由题意得c＝4，e＝， 所以a＝5，b＝3. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 当焦点在y轴上，同理可求得方程为＋＝1. 所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (2)当焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0). 因为椭圆过点(3，0)，所以a＝3， 又2a＝3×2b，所以b＝1. 所以椭圆的标准方程为＋y2＝1. 当焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0). 因为椭圆过点(3，0)，所以b＝3. 又2a＝3×2b，所以a＝9. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 所以所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1. 学生用书⬇第55页 任务二　求椭圆的离心率 设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°，求C的离心率. 解：在△PF1F2中，因为∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，所以∠F1PF2＝60°，设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，｜F1F2｜＝2c，m＋n＝2a， 则在△PF1F2中，有＝＝， 所以＝，所以e＝＝＝＝. [变式探究] (变条件)若将本例中“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围. 解：由题意，若∠F1PF2为钝角，则c＞b，所以c2＞b2.又b2＝a2－c2，所以c2＞a2－c2，即2c2＞a2.所以e2＝＞，所以e＞，又0＜e＜1， 所以C的离心率的取值范围为. 求椭圆离心率及取值范围的两种方法 1.直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解. 2.解方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围. 对点练3.椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN的长为，若△MF2N的周长为20，则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则由椭圆的定义，可得｜MF1｜＋｜MF2｜＝｜NF1｜＋｜NF2｜＝2a.由△MF2N的周长为20，可得4a＝20，即a＝5.令x＝－c，代入椭圆的方程，可得y＝±，即＝，解得b2＝9，所以c＝＝4，所以椭圆的离心率为e＝＝.故选D. 任务三　相关点法求轨迹方程 (链教材P56例7)已知在平面直角坐标系中，动点M到定点(－，0)的距离与它到定直线l：x＝－的距离之比为常数. (1)求动点M的轨迹Q的方程； (2)设点A，若P是(1)中轨迹Q上的动点，求线段PA的中点B的轨迹方程. 解：(1)设动点M(x，y)， 由已知可得 ＝， 平方、整理，得＋y2＝1， 即所求动点M的轨迹Q的方程为＋y2＝1. (2)设点B的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)， 由 由点P在轨迹Q上，得＋＝1， 整理得＋4＝1， 所以线段PA的中点B的轨迹方程是＋＝1. 1.直接法求轨迹方程 求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(x，y)，轨迹方程就是x，y之间的等式，关键是找到等量关系，然后用x，y表示. 2.相关点法求轨迹方程 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法. 注意：相关点法求轨迹问题的四步曲为：设点、求关系式、代换、得方程. 对点练4.已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，求线段OP的中点Q的轨迹方程. 解：设点Q的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)， 由Q是线段OP的中点知，x0＝2x，y0＝2y， 又＋＝1，所以＋＝1，即x2＋＝1， 所以点Q的轨迹方程为x2＋＝1. 学生用书⬇第56页 [教材拓展3]　椭圆的第二、第三定义(源自于教材P58－B组T3、P84－阅读材料一) (1)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右准线方程分别为l1：x＝－，l2：x＝.如图，由椭圆上的动点P向l1，l2分别作垂线，垂足分别为N1，N2.椭圆的第二定义指出如下性质：椭圆的离心率e＝＝(a2－b2＝c2，c＞0).请利用椭圆的第二定义证明：焦半径公式＝a＋ex0，＝a－ex0. (2)借助(1)中焦半径公式解决问题：已知A，B为椭圆＋＝1上两个不同的点，F为右焦点，＋＝6，若线段AB的垂直平分线交x轴于点T，求. 解：(1)证明：由e＝＝， 得＝e，＝e， 又＝x0－＝x0＋， ＝－x0， 所以＝e＝e＝a＋ex0， ＝e＝e＝a－ex0， 即＝a＋ex0，＝a－ex0. (2)由题意，在椭圆＋＝1中，a＝4，c＝2，e＝，F. 设A，B， 则由焦半径公式，得＋＝＋＝6，所以x1＋x2＝4， 所以线段AB的中点为E. 设T，如图所示， 由题意知，直线AB与坐标轴不平行，且直线AB的斜率kAB＝， 所以线段AB的垂直平分线的斜率为－， 则线段AB的垂直平分线方程为y＝－＋. 代入T，得m－2＝ ＝＝ ＝－＝－， 解得m＝，所以＝2－＝. 任务再现 1.椭圆的简单几何性质.2.由椭圆的几何性质求标准方程.3.求椭圆离心率的值或取值范围.4.相关点法求轨迹方程 方法提炼 分类讨论法、待定系数法、直接法、相关点法、方程法或不等式法 易错警示 忽略椭圆离心率的取值范围以及长轴长与a的关系 1.(多选题)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　) A.长轴长为 B.焦距为 C.焦点坐标为 D.离心率为 答案：CD 解析：由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，所以长轴长为2a＝1，焦距为2c＝，焦点坐标为，离心率为e＝＝.故选CD. 2.已知椭圆的离心率为，焦点是(－3，0)和(3，0)，则该椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：A 解析：由题意知c＝3，＝，则a＝6，所以b2＝a2－c2＝27，所以椭圆的方程为＋＝1.故选A. 3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点.依题意可知，△BF1F2是正三角形.如图所示，因为在Rt△OBF2中，｜OF2｜＝c，｜BF2｜＝a，∠OF2B＝60°，所以cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝.故选B. 4.在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，＝.当点P在圆上运动时，点M的轨迹方程是　　　　　　. 答案：＋＝1 解析：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则点D的坐标为(x0，0).因为＝，即(x－x0，y)＝(0，y0)，所以因为点P在x2＋y2＝4上，所以＋＝4，所以x2＋＝4，所以点M的轨迹方程是＋＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $