1 1.1　椭圆及其标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§1　椭圆 1.1　椭圆及其标准方程 学习目标 1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，培养数学抽象的核心素养.　2.掌握椭圆的定义、标准方程，提升逻辑推理的核心素养.　3.会求椭圆的标准方程，提升数学运算的核心素养. 任务一　椭圆的定义 问题1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在画板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在画板上的F1，F2两点，当绳长大于F1和F2的距离时，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 提示：椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数. 椭圆的定义 定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆 焦点 两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点 焦距 两个焦点间的距离｜F1F2｜叫作椭圆的焦距 集合语言 Q＝{P｜｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，2a＞｜F1F2｜} [微提醒]　(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.(2)定值必须大于两定点的距离.(3)当距离的和等于｜F1F2｜时，点的轨迹是线段.(4)当距离的和小于｜F1F2｜时，点的轨迹不存在. (多选题)在平面上，动点P满足以下条件，其中P的轨迹为椭圆的是(　　) A.P到两定点(0，2)，(0，－2)的距离之和为4 B.P到两定点(0，2)，(0，－2)的距离之和为6 C.P到两定点(3，0)，(－3，0)的距离之和为6 D.P到两定点(3，0)，(－3，0)的距离之和为8 答案：BD 解析：因为两定点(0，2)，(0，－2)的距离为4＜6，所以选项A不符合椭圆定义，选项B符合椭圆定义；因为两定点(3，0)，(－3，0)的距离为6＜8，所以选项C不符合椭圆定义，选项D符合椭圆定义.故选BD. 在椭圆定义中，要求常数必须大于两定点F1，F2之间的距离，这是椭圆定义中非常重要的一个条件.如果这个常数等于两定点F1，F2之间的距离，动点的轨迹将是一条线段；如果这个常数小于两定点F1，F2之间的距离，动点的轨迹将不存在.因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这一隐含的条件. 对点练1.(1)设P(x，y)满足＋＝10，则P点的轨迹为(　　) A.圆 B.椭圆 C.线段 D.不存在 (2)若平面内一点P到两定点F1(－6，0)，F2(6，0)的距离之和等于12，则点P的轨迹是　　　　. 答案：(1)B　(2)线段F1F2 解析：(1)因为＋＝10表示P(x，y)到定点F1(0，－4)，F2(0，4)的距离之和为10，即｜PF1｜＋｜PF2｜＝10＞｜F1F2｜＝8，所以P点的轨迹为椭圆.故选B. (2)由题意知｜PF1｜＋｜PF2｜＝12，且｜F1F2｜＝12，故｜PF1｜＋｜PF2｜＝｜F1F2｜＝12，所以点P的轨迹是线段F1F2. 学生用书⬇第49页 任务二　椭圆的标准方程 问题2.观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ 提示：观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图①所示；也可以以直线F1F2为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图②所示. 问题3.考虑到椭圆的对称性，我们以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，设｜F1F2｜＝2c，试利用椭圆定义推导椭圆方程. 提示：设P(x，y)是椭圆上任意一点，根据椭圆的定义可知点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a. 因为｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，所以＋＝2a，即＝2a－.两边平方、整理，得a2－cx＝a，上式两边再平方、整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，即＋＝1，将b2＝a2－c2代入上式，得＋＝1(a＞b＞0). 问题4.如图，如果椭圆的焦点在y轴上，其焦点分别为F1(0，－c)，F2(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 提示：＋＝1(a＞b＞0). 椭圆的标准方程 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 [微提醒]　(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a.(2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上.(3)椭圆上任意一点的坐标都是方程＋＝1(a＞b＞0)的解；以方程＋＝1(a＞b＞0)的解为坐标的点都在椭圆上. 角度1　求椭圆的标准方程 (链教材P51例2)写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为(－3，0)和(3，0)，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10； (2)焦点坐标为(0，－2)和(0，2)，且经过点(3，2)； (3)(一题多解)经过点P，Q. 解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0). 根据椭圆的定义知2a＝10，所以a＝5. 又因为c＝3，所以b2＝a2－c2＝25－9＝16. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0). 根据椭圆的定义知2a＝＋＝5＋3＝8， 所以a＝4. 又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (3)法一：①当椭圆焦点在x轴上时， 可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0). 由题意，有 由a＞b＞0，知不合题意，故舍去； ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为 ＋＝1(a＞b＞0). 由题意，有 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n). 则 所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 确定椭圆标准方程的方法 1.定位：是指确定在坐标系中的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式. 2.定量：是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解. 对点练2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－)，； (2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点. 解：(1)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n). 将两点(2，－)，代入， 得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16. 设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0). 因为c2＝16，且c2＝a2－b2，所以a2－b2＝16.① 又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1.② 由①②得b2＝4，a2＝20， 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 学生用书⬇第50页 角度2　椭圆标准方程的理解 (1)若方程＋＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是(　　) A.(－9，25) B.(－9，8)∪(8，25) C.(8，25) D.(8，＋∞) (2)若方程x2－3my2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是　　　　　　　. 答案：(1)B　(2)(－∞，－) 解析：(1)依题意有解得－9＜m＜8或8＜m＜25，即实数m的取值范围是(－9，8)∪(8，25).故选B. (2)由题意知m≠0，将椭圆方程化为＋＝1， 依题意有解得m＜－， 故实数m的取值范围是(－∞，－). 根据椭圆方程求参数的取值范围 1.给出方程＋＝1，其表示椭圆的条件是其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m＞n＞0，其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n＞m＞0. 2.若给出椭圆方程Ax2＋By2＝C(ABC≠0)，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式＋＝1，再研究其焦点的位置等情况. 对点练3.(多选题)已知曲线C：＋＝1，则(　　) A.当m＝8时，C是圆 B.当m＝10时，C是焦距为4的椭圆 C.当C是焦点在x轴上的椭圆时，5＜m＜8 D.当C是焦点在y轴上的椭圆时，8＜m＜11 答案：AB 解析：对于A，当m＝8时，曲线C的方程为x2＋y2＝3；此时曲线为圆，故A正确；对于B，当m＝10时，曲线C的方程为＋y2＝1，此时曲线为椭圆且椭圆C的焦距为2＝4，故B正确；对于C，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得8＜m＜11，故C错误；对于D，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则解得5＜m＜8，故D错误.故选AB. 任务三　点与椭圆的位置关系 问题5.类比点与圆的位置关系，探究点与椭圆的位置关系时，如何确定点与椭圆的位置关系？ 提示：将点的坐标代入椭圆的方程，看方程是否成立，即方程两边的大小关系. 点与椭圆的位置关系 1.定义法 ｜PF1｜＋｜PF2｜＜2a⇔点P在椭圆内部； ｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a⇔点P在椭圆上； ｜PF1｜＋｜PF2｜＞2a⇔点P在椭圆外部. 2.方程法 点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋＞1； 点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋＜1； 点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1. 已知直线mx＋ny－5＝0与圆x2＋y2＝5没有公共点，则点P(m，n)与椭圆＋＝1的位置关系是(　　) A.点在椭圆内 B.点在椭圆外 C.点在椭圆上 D.点不确定 答案：A 解析：因为直线mx＋ny－5＝0与圆x2＋y2＝5没有公共点，所以＞，即m2＋n2＜5，所以m2＜5，n2＜5.所以＋＜＋＝＜1，所以点P(m，n)在椭圆内部.故选A. 点与椭圆的位置关系的判断方法 1.定义法； 2.方程法. 对点练4.若点P(0，1)在焦点在x轴上的椭圆＋＝1的内部，则实数m的取值范围是　　　　. 答案：(1，5) 解析：由题意知＋＜1，所以m＞1，又椭圆的焦点在x轴上，所以0＜m＜5，故m的取值范围是(1，5). 学生用书⬇第51页 任务四　椭圆定义的应用 角度1　椭圆中的焦点三角形问题 已知椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积. 解：由＋＝1， 可知a＝2，b＝， 所以c＝＝1， 从而｜F1F2｜＝2c＝2. 在△PF1F2中，由余弦定理得｜PF2｜2＝｜PF1｜2＋｜F1F2｜2－2｜PF1｜｜F1F2｜cos ∠PF1F2， 即｜PF2｜2＝｜PF1｜2＋4＋2｜PF1｜.　① 由椭圆定义得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝4.　② 由①②联立可得｜PF1｜＝. 所以＝｜PF1｜｜F1F2｜sin ∠PF1F2＝××2×＝. [变式探究] (变条件、变设问)本例中方程改为“＋＝1(a＞b＞0)”，且“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝120°”，若△PF1F2的面积为，求b的值. 解：由∠F1PF2＝120°，△PF1F2的面积为，可得｜PF1｜｜PF2｜·sin ∠F1PF2＝｜PF1｜·｜PF2｜＝，所以｜PF1｜｜PF2｜＝4. 根据椭圆的定义可得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，再利用余弦定理可得4c2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cos 120°＝(｜PF1｜＋｜PF2｜)2－｜PF1｜·｜PF2｜＝4a2－4， 所以b2＝1，即b＝1. 1.焦点三角形的概念 如图所示，设P是椭圆上一点，F1，F2为椭圆的焦点，当点P，F1，F2不在同一条直线上时，它们构成一个三角形——焦点三角形. 2.关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，利用这个关系式转化求解，所以回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等. 3.焦点三角形的常用公式 (1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c. (2)在△PF1F2中，由余弦定理可得｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cos θ. (3)焦点三角形的面积＝｜PF1｜｜PF2｜·sin θ＝b2tan .(选择题、填空题可直接应用此公式求解) 对点练5.已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上，∠F1PF2＝2θ. (1)求△F1PF2的面积S； (2)研究△PF1F2的内角∠F1PF2的变化规律. 解：(1)如图所示，由椭圆的定义，可得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a. 由余弦定理，可得 ｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜·cos 2θ＝(｜PF1｜＋｜PF2｜)2－2·｜PF1｜·｜PF2｜－2｜PF1｜·｜PF2｜·cos 2θ＝4a2－2｜PF1｜·｜PF2｜·(1＋cos 2θ)＝4c2， 所以｜PF1｜·｜PF2｜＝. 所以S＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin 2θ＝··sin 2θ＝·b2＝b2tan θ. (2)因为2θ为△PF1F2的内角， 所以2θ∈(0，π)，即θ∈. 令点P顺时针方向由点A向点B运动，则△PF1F2的边F1F2不变，但F1F2上的高逐渐增大，故S逐渐增大，从而tan θ逐渐变大，由θ∈可知，θ也逐渐变大.由此可见，点P的纵坐标的绝对值越大，2θ也越大，当点P与点B重合时，∠F1PF2达到最大值. 角度2　定义法求椭圆的轨迹(方程) (1)已知B，C是两个定点，｜BC｜＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程. (2)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程. 解：(1)以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示， 由｜BC｜＝8，可知点B(－4，0)，C(4，0)， 由｜AB｜＋｜AC｜＋｜BC｜＝18，｜BC｜＝8，得｜AB｜＋｜AC｜＝10， 因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆， 这个椭圆上的点与两焦点的距离之和为2a＝10，c＝4，但点A不在x轴上. 由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9， 所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0). (2)由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1； 圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3. 设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R. 动圆P与圆M外切并且与圆N内切， 所以｜PM｜＋｜PN｜＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞｜MN｜. 由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(点(－2，0)除外)，且a＝2，c＝1，b＝， 所以其方程为＋＝1(x≠－2). 学生用书⬇第52页 定义法求椭圆的轨迹(方程) 用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可，但注意要检验是否有要删除的点. 对点练6.已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为(－4，0)，(4，0)，C为动点，且满足sin B＋sin A＝sin C，求点C的轨迹. 解：由sin B＋sin A＝sin C， 可知b＋a＝c＝10(a，b，c分别为角A，B，C的对边)， 即｜AC｜＋｜BC｜＝10＞｜AB｜＝8，满足椭圆的定义. 令椭圆方程为＋＝1(a'＞b'＞0)， 则a'＝5，c'＝4⇒b'＝3， 则轨迹方程为＋＝1(x≠±5)，图形为椭圆(不含左、右顶点). 任务再现 1.椭圆的定义.2.椭圆的标准方程.3.点与椭圆的位置关系.4.椭圆定义的应用 方法提炼 定义法、待定系数法、转化与化归思想 易错警示 忽视椭圆定义中a，b，c的关系；混淆焦点在两个坐标轴上椭圆的标准方程；求参数范围时，忽视焦点所在的坐标轴而致错 1.设F1，F2为定点，｜F1F2｜＝6，动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝6，则动点P的轨迹是(　　) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 答案：D 解析：因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝6＝｜F1F2｜，所以动点P的轨迹是线段.故选D. 2.已知椭圆＋＝1上一点P，它到左焦点F1的距离为2，则它到右焦点F2的距离为(　　) A.4 B.6 C. D.30 答案：B 解析：由定义｜PF1｜＋｜PF2｜＝8，知｜PF2｜＝6.故选B. 3.若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　) A.－9＜m＜25 B.8＜m＜25 C.16＜m＜25 D.m＞8 答案：B 解析：由题意知解得8＜m＜25.故选B. 4.(开放题)在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的边长为2，一个内角为60°，顶点A，B，C，D均在坐标轴上，以A，C为焦点的椭圆Γ经过B，D两点，请写出一个这样的Γ的标准方程：　　　　　　　. 答案：＋y2＝1(答案不唯一) 解析：根据题意，顶点A，B，C，D均在坐标轴上，则该菱形对角线的交点为坐标原点.如图所示，假设A，C在x轴上，B，D在y轴上，∠BCD＝60°，由菱形的性质得∠BCA＝30°，又由菱形ABCD的边长为2，则OB＝1，BC＝2，OC＝，即b＝1，c＝，则a2＝b2＋c2＝4，故椭圆Γ一个标准方程为＋y2＝1(答案不唯一). 学科网（北京）股份有限公司 $