专题1.1 椭圆及其标准方程(高效培优讲义）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题1.1 椭圆及其标准方程 教学目标 1.经历从具体情景中抽象出椭圆的过程 2.掌握椭圆的定义 3.掌握椭圆的标准方程和推导过程，会求简单的椭圆的标准方程 教学重难点 1.重点 (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的标准方程的应用． 2.难点 (1)推导椭圆的标准方程； (2)与椭圆有关的最值问题． 知识点01 椭圆的定义（重点） 椭圆的定义 平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距． 集合S＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数． 【知识剖析】 (1)当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆； (2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2； (3)当2a＜|F1F2|时，M点不存在． 【即学即练】 1.（2023·江苏·高二专题练习）已知，动点C满足，则点C的轨迹是（ ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．点 知识点02 椭圆的标准方程（难点） 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0,－c)，F2(0,c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 【知识剖析】 1．这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有和； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； 4．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x²项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y²项的分母较大． 【即学即练】 1.（2025秋·上海浦东新·高二校考阶段练习）平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 知识点03 求椭圆的标准方程 1．利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 （1）定位：确定焦点在那个坐标轴上； （2）定量：依据条件及确定的值； （3）写出标准方程； 2．当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B)，将点的坐标代入，解方程组求得系数。 【即学即练】 1.（2025秋·江西抚州·高二校联考阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）经过点和点； （2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为. 知识点04 椭圆的焦点三角形 1．定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识， 建立，，之间的关系， 采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题 （设为） 性质1：，.（两个定义） 拓展：的周长为 的周长为 性质2：（余弦定理） 【即学即练】 1.（2025春·江西·六校联考）设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（ ） A．12 B．24 C． D． 2．（2025·全国·高二专题练习）已知，为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则的面积为（ ） A． B． C．4 D． 知识点05 点与椭圆的位置关系 1．定义法：根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点P在椭圆内部； 点P在椭圆上； 点P在椭圆外部． 2．代数法：对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外； 点在椭圆内； 点在椭圆上； 【即学即练】 （24-25高二上·陕西汉中·期中）若点是椭圆某条弦的中点，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 知识点06 椭圆的参数方程（拓展） 以焦点在x轴上的椭圆标准方程为例进行推导。 我们知道三角函数中有，这与椭圆标准方程的形式相似。于是，我们可以令： 将其代入椭圆标准方程中： 所以，焦点在x轴上的椭圆的参数方程为（为参数）。 同理，焦点在y轴上的椭圆标准方程的参数方程为（为参数）。 【即学即练】 1．（24-25高二上·上海·期中）设为椭圆 上的任一点，欲使不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型01 椭圆的定义及应用 【典例】（2025·湖北·高二专题练习）平面内有一个动点M及两定点A，B．设p：为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么（ ） A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件 平面内有一个动点P及两定点F1，F2，满足|PF1|＋|PF2|＝2a． (1)当2a＞|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段F1F2； (3)当2a＜|F1F2|时，P点不存在． 【变式1-1】（2025·高二·贵州安顺·期中）若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（　　） A．5 B．2 C．7 D．6 【变式1-2】（2025·高二·辽宁抚顺·开学考试）已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（     ）. A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．抛物线 【变式1-3】（24-25高二上·北京顺义·期中）如图，把椭圆的长轴AB分成4等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，3个点，F是椭圆的一个焦点，则 . 题型02 求椭圆的标准方程 【典例】（2025·江苏淮安·高二校考阶段练习）分别根据下列条件求椭圆标准方程： （1）一个焦点为； （2）与椭圆有相同的焦点，且经过点； （3）若动点满足方程； 求椭圆的标准方程的两种常见方法： 1.待定系数法： （1）若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a,b，即：“先定型，再定量”； （2）由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论； （3）当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 2.定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题． 【变式2-1】（2025·高二·山东青岛·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是 ． 【变式2-2】（2025·高二·山东青岛·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； （2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点； 【变式2-3】（2025·高二·河北·期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点均在x轴上，C的面积为，且离心率为，则C的标准方程为 ． 题型03 根据椭圆标准方程求参数 【典例】（2025·全国·高三专题练习）（多选）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 根据椭圆标准方程求参数 1．确定椭圆标准方程的形式（焦点在轴或轴）； 2．提取和（分母中较大的为）； 3．计算； 4．利用求； 5．根据需求计算离心率、焦距、顶点／焦点坐标等； 6．验证参数满足． 通过以上步骤，可从椭圆标准方程系统推导出所有关键参数，核心是准确判断方程形式和熟练运用的关系． 【变式3-1】（2025·全国·高二专题练习）“是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（2025·全国·高三专题练习）已知m、n均为实数，方程表示椭圆，且该椭圆的焦距为4，则n的取值范围是 . 【变式3-3】（2023秋·江苏淮安·高二开学考试）（多选）若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（ ） A．曲线C可能是圆 B．若，则C为椭圆 C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则 D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则 题型04 椭圆中的焦点三角形问题 【典例】（多选）（2025·高二·湖南永州·期中）已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（     ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 椭圆的焦点三角形的面积与周长公式： 已知椭圆C：，为椭圆C上一点，∠F1PF2＝θ则： （1）△PF1F2的面积，当，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； （2）△PF1F2的周长为． 【变式4-1】（2025·高二课时练习）已知点是椭圆上的点，点、是椭圆的两个焦点． （1）若，求； （2）若的面积为9，求的大小． 【变式4-2】（多选）（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（  ） A．当点P不在x轴上时，的周长是6 B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C．存在点P，使 D．的取值范围是 【变式4-3】（多选）（2025·高二·湖南永州·期中）已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（     ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 题型05 与椭圆有关的轨迹问题 【典例】（24-25高二下·海南海口·期中）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）为（    ） A． B． C． D． 求与椭圆有关的轨迹问题的方法： 方法1：定义法（最直接，优先使用） 适用场景：动点条件直接满足椭圆的定义； 方法 2：直接法（坐标转化法） 适用场景：动点满足的几何条件可直接转化为含x、y的等式（非定义形式，但化简后为椭圆方程）； 方法 3：相关点法（代入法） 适用场景：动点的轨迹由另一个已知轨迹（如椭圆）上的点通过关系确定（为相关点）. 【变式5-1】（2025·高二·广东清远·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025高二·湖南·阶段练习）已知圆： ，圆： ，圆，圆． （1）若动圆与圆内切与圆外切. 求动圆圆心的轨迹的方程； （2）若动圆与圆、圆都外切. 求动圆圆心的轨迹的方程． 【变式5-3】（2025·高二·吉林·期末）已知一动圆O与圆外切，同时与内切，则动圆圆心O的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型06 椭圆中的距离最值问题 【典例】（2025高二上·全国·专题练习）已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值为（ ） A．12， B．， C．12，8 D．9， 【变式6-1】（2025·江苏-模拟预测）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（ ） A．5 B．6 C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为 . 【变式6-3】（24-25·全国·高三专题练习）设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值分别是 ． 题型07 点与椭圆的位置关系 【典例】（24高二上·四川资阳·期中）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24高二上·河南南阳·月考）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【变式7-2】（24高二·四川成都·期中）已知点(3，2)在椭圆上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是 . 【变式7-3】（24-25高三上·北京海淀·期末）已知椭圆的焦点在轴上，点，则（   ） A．在外 B．的长轴长为 C．在内 D．的焦距为 题型08 椭圆方程的综合问题 【典例】．（23-24高二上·江西·期末）已知点为椭圆的焦点，过F的直线l交C于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若D为的中点． ①求D的轨迹方程； ②求的最大值． 【变式8-1】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线与曲线. (1)若与有公共点，求实数的取值范围； (2)若与有两个不同的公共点，且线段中点的横坐标为，求实数的值. 【变式8-2】（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与轴垂直. (1)证明：； (2)若的角平分线恰好过点，求的面积. 【变式8-3】（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的长、短轴长之比为，且经过点. (1)求的方程； (2)设椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，又与的离心率相等. ①用一个正的参数写出的方程； ②已知为的右端点，若，分别为、上的点，满足：，，求的长轴长的取值范围. 题型09 椭圆的参数方程（拓展） 【典例】（2024高三·全国·专题练习）若椭圆的焦点在y轴上，过点作圆的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好和椭圆只有一个交点，则椭圆内接矩形面积最大时的离心率是 . 【变式9-1】（22-23高二·全国·课堂例题）已知椭圆的标准方程为，则椭圆上的点P到椭圆中心O的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（22-23高二下·宁夏银川·期末）设点P为圆上的一动点，点Q为椭圆上的一动点，则的最大值为 . 【变式9-3】（23-24高二上·宁夏银川·期中）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程： (2)过点且倾斜角为的直线与椭圆交于A、两点，线段的中垂线与轴交于点，是椭圆上的一点，求的最小值. 练基础 1．（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（     ）. A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．抛物线 2．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆，上顶点为，左、右焦点分别为，，经过点的直线垂直平分线段，且交椭圆于，两点，的周长为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ）条件 4．（24-25高三下·全国·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖南郴州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（24-25高二上·广东佛山·期中）已知曲线，则下列结论正确的有（   ） A．若，则C是焦点在轴上的椭圆 B．若，则C是圆 C．若，则C是焦点在轴上的椭圆 D．若，则C是两条平行于y轴的直线 7．（多选）（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则（    ） A． B．的最大值为4 C．的最大值为3 D．的最小值为 8．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 . 9．（2025·河南·模拟预测）已知为椭圆上一点，且直线与有且仅有一个交点，则的焦距为 . 10．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且经过点 (1)求椭圆的标准方程； (2)求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标． 11．（24-25高二上·上海·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点 (2)椭圆经过点和. 练提升 12．（24-25高三下·山东·阶段练习）设甲：曲线表示焦点在x轴上的椭圆，乙：是第一或第四象限角，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 13．（2024高三·全国·专题练习）设是椭圆上一点，，分别是两圆和上的点，则的最小值、最大值分别为（   ） A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．9，11 14．（多选）（24-25高二上·四川自贡·期末）已知椭圆 为左，右焦点. O为原点，P为椭圆上一点， 下列说法正确的是 （    ） A．满足条件的P点总共有4个 B．=4 C．|PO|=3 D． 15．（24-25高三下·河北秦皇岛·阶段练习）设椭圆的左焦点为，点在上，则的最小值为 ，最大值为 ． 16．（24-25高二下·上海徐汇·期中）如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，给出下列三个判断： ①到、、、四点的距离之和为定值； ②曲线关于直线、均对称； ③曲线所围区域面积必小于36； 上述判断中正确命题的为 ． 17．（2025高三·全国·专题练习）如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？为什么？（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合．） 18．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）（1）过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程． （2）点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求的轨迹方程； 19．（24-25高二上·福建宁德·期末）已知点T分别与两点，连线的斜率的乘积为， (1)求点T的轨迹的方程； (2)已知直线与交于A，B两点，，求k的值. 练创新 20．（多选）（24-25高二上·河北石家庄·期末）平面内到两定点距离之积为常数此常数不为的点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系xOy中，，，动点P满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C，如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．曲线C与x轴交点的坐标为， B．周长的最小值为8 C．若直线与曲线C只有一个交点，则k的取值范围是 D．面积的最大值为2 21．（多选）（2025高三·全国·专题练习）设计一个造型“”的曲线．已知曲线过坐标原点，且上的点满足到两个定点，的距离之积为4，则下列结论中正确的是（    ） A． B．点的横坐标的取值范围是 C．周长的最小值为8 D．面积的最大值为2 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 椭圆及其标准方程 教学目标 1.经历从具体情景中抽象出椭圆的过程 2.掌握椭圆的定义 3.掌握椭圆的标准方程和推导过程，会求简单的椭圆的标准方程 教学重难点 1.重点 (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的标准方程的应用． 2.难点 (1)推导椭圆的标准方程； (2)与椭圆有关的最值问题． 知识点01 椭圆的定义（重点） 椭圆的定义 平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距． 集合S＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数． 【知识剖析】 (1)当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆； (2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2； (3)当2a＜|F1F2|时，M点不存在． 【即学即练】 1.（2023·江苏·高二专题练习）已知，动点C满足，则点C的轨迹是（ ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．点 【答案】C 【解析】因为， 所以，知点C的轨迹是线段AB．故选：C. 知识点02 椭圆的标准方程（难点） 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0,－c)，F2(0,c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 【知识剖析】 1．这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有和； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； 4．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x²项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y²项的分母较大． 【即学即练】 1.（2025秋·上海浦东新·高二校考阶段练习）平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，平面内点P到、的距离之和是10， ∴动点的轨迹为椭圆,焦点在轴上, , 解得：， ∴， ∴轨迹方程为: ，故选: B. 知识点03 求椭圆的标准方程 1．利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 （1）定位：确定焦点在那个坐标轴上； （2）定量：依据条件及确定的值； （3）写出标准方程； 2．当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B)，将点的坐标代入，解方程组求得系数。 【即学即练】 1.（2025秋·江西抚州·高二校联考阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）经过点和点； （2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为. 【解析】（1）设椭圆方程为， 将点和点代入可知， 所以椭圆的标准方程为：； （2）设椭圆长轴长、短轴长、焦距分别为， 由已知，有解得，， ①若焦点在轴上，则， ②若焦点在轴上，，∴所求椭圆方程为或. 知识点04 椭圆的焦点三角形 1．定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识， 建立，，之间的关系， 采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题 （设为） 性质1：，.（两个定义） 拓展：的周长为 的周长为 性质2：（余弦定理） 【即学即练】 1.（2025春·江西·六校联考）设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（ ） A．12 B．24 C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，对于椭圆有长半轴长， 又过的直线交椭圆于A、B两点， 故的周长，故选：D 2．（2025·全国·高二专题练习）已知，为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则的面积为（ ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【解析】由椭圆可知， 故，结合， 可得，而， 故为等腰三角形，其面积为，故选：B 知识点05 点与椭圆的位置关系 1．定义法：根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点P在椭圆内部； 点P在椭圆上； 点P在椭圆外部． 2．代数法：对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外； 点在椭圆内； 点在椭圆上； 【即学即练】 （24-25高二上·陕西汉中·期中）若点是椭圆某条弦的中点，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在椭圆内求解可得. 【详解】由题意可知，点在椭圆内， 所以，解得或. 故选：D 知识点06 椭圆的参数方程（拓展） 以焦点在x轴上的椭圆标准方程为例进行推导。 我们知道三角函数中有，这与椭圆标准方程的形式相似。于是，我们可以令： 将其代入椭圆标准方程中： 所以，焦点在x轴上的椭圆的参数方程为（为参数）。 同理，焦点在y轴上的椭圆标准方程的参数方程为（为参数）。 【即学即练】 1．（24-25高二上·上海·期中）设为椭圆 上的任一点，欲使不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可设，利用辅助角公式及三角函数的性质求解． 【解析】∵为椭圆上的任一点， ∴可设， ∴，其中， ∴由，得，即， ∵， ∴，即的取值范围是. 故选：B． 题型01 椭圆的定义及应用 【典例】（2025·湖北·高二专题练习）平面内有一个动点M及两定点A，B．设p：为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么（ ） A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件 【答案】B 【解析】当为定值时， 若定值大于时，点M轨迹是椭圆， 若定值等于，点M轨迹是线段， 若定值小于，则轨迹不存在； 当点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆时，必为定值； 所以，但，故p为q的必要不充分条件．故选：B 平面内有一个动点P及两定点F1，F2，满足|PF1|＋|PF2|＝2a． (1)当2a＞|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段F1F2； (3)当2a＜|F1F2|时，P点不存在． 【变式1-1】（2025·高二·贵州安顺·期中）若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（　　） A．5 B．2 C．7 D．6 【答案】C 【解析】椭圆的长轴长，由点到椭圆一个焦点的距离为3及椭圆定义， 得到另一个焦点的距离为.故选：C 【变式1-2】（2025·高二·辽宁抚顺·开学考试）已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（     ）. A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【解析】因为为平面内两个不同定点，且， ， 则动点的轨迹是以为焦点的椭圆. 故选：A 【变式1-3】（24-25高二上·北京顺义·期中）如图，把椭圆的长轴AB分成4等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，3个点，F是椭圆的一个焦点，则 . 【答案】15 【分析】根据图形的对称性和椭圆的定义可得结果. 【解析】 设椭圆的右焦点为，连接.由题意得，. 由图形对称得，. 由椭圆定义得，，故， 所以. 故答案为：15. 题型02 求椭圆的标准方程 【典例】（2025·江苏淮安·高二校考阶段练习）分别根据下列条件求椭圆标准方程： （1）一个焦点为； （2）与椭圆有相同的焦点，且经过点； （3）若动点满足方程； 【解析】（1）由题知，，椭圆焦点在x轴上， 又，所以， 所以，椭圆方程为. （2）椭圆的焦点为， 设所求椭圆方程为， 则有，解得， 所以所求椭圆方程为. （3）由题意得：到与的距离之和为，且， 故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，， 所以，， 所以椭圆方程为. 求椭圆的标准方程的两种常见方法： 1.待定系数法： （1）若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a,b，即：“先定型，再定量”； （2）由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论； （3）当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 2.定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题． 【变式2-1】（2025·高二·山东青岛·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是 ． 【答案】 【解析】由题意设椭圆的方程为，， 将点代入，， 整理可得：， 解得或（舍， 所以椭圆的方程为：， 故答案为：． 【变式2-2】（2025·高二·山东青岛·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； （2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点； 【解析】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为。 ∵2a=10，2c=8，∴a=5，c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求椭圆的标准方程为； （2）∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为 由椭圆的定义知，，∴ 又c=2，∴b2=a2－c2=10－4=6∴所求椭圆的标准方程为 【变式2-3】（2025·高二·河北·期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点均在x轴上，C的面积为，且离心率为，则C的标准方程为 ． 【答案】 【解析】设C的标准方程为，则 解得所以C的标准方程为． 故答案为：. 题型03 根据椭圆标准方程求参数 【典例】（2025·全国·高三专题练习）（多选）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】焦点在x轴上，则标准方程中，解得或． 又，，得，所以或．故选:BC． 根据椭圆标准方程求参数 1．确定椭圆标准方程的形式（焦点在轴或轴）； 2．提取和（分母中较大的为）； 3．计算； 4．利用求； 5．根据需求计算离心率、焦距、顶点／焦点坐标等； 6．验证参数满足． 通过以上步骤，可从椭圆标准方程系统推导出所有关键参数，核心是准确判断方程形式和熟练运用的关系． 【变式3-1】（2025·全国·高二专题练习）“是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题意，方程，可化为标， 当时，方程表示焦点在上的椭圆，即充分性成立； 若方程表示焦点在上的椭圆，则满足，即必要性成立， 所以时方程表示焦点在上的椭圆的充要条件.故选：A. 【变式3-2】（2025·全国·高三专题练习）已知m、n均为实数，方程表示椭圆，且该椭圆的焦距为4，则n的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意得，，，所以， ①若，即时，则焦点在轴上， 则，所以， 代入，，， 得，解得； ②若，即时，则焦点在轴上， 则，所以， 代入，，， 得，解得； 综上，n的取值范围是. 故答案为：. 【变式3-3】（2023秋·江苏淮安·高二开学考试）（多选）若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（ ） A．曲线C可能是圆 B．若，则C为椭圆 C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则 D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则 【答案】AD 【解析】当即时，方程为， 表示圆心为原点，半径为1的圆，故选项A正确，选项B错误； 若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故选项C错误； 若C为椭圆，且焦点在y轴上，则，解得，故选项D正确. 故选：AD. 题型04 椭圆中的焦点三角形问题 【典例】（多选）（2025·高二·湖南永州·期中）已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（     ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 【答案】BC 【解析】依题意，不妨设点，由可得故， 则的面积为解得：， 对于A选项，由上分析知点的纵坐标为，故A项错误； 对于B选项，由 知，此时点为椭圆短轴顶点，故， 又由知，故B项正确； 对于C选项，因点在椭圆上，故有 于是的周长为故C项正确； 对于D选项，设的内切圆半径为，则由三角形面积相等可得： ，解之得：故D项错误. 故选：BC. 椭圆的焦点三角形的面积与周长公式： 已知椭圆C：，为椭圆C上一点，∠F1PF2＝θ则： （1）△PF1F2的面积，当，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； （2）△PF1F2的周长为． 【变式4-1】（2025·高二课时练习）已知点是椭圆上的点，点、是椭圆的两个焦点． （1）若，求； （2）若的面积为9，求的大小． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设，设， 由，则， 所以有， 由余弦定理可知：， 所以有， 即 （2）由（1）可知：， 因为，所以，因此，即. 【变式4-2】（多选）（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（  ） A．当点P不在x轴上时，的周长是6 B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C．存在点P，使 D．的取值范围是 【答案】ABD 【解析】由椭圆方程可知，，则， 由椭圆定义得的周长是，故A正确； 设，面积的为， 则面积的最大值为，故B正确； 可知，当位于椭圆短轴一个端点时，最大，此时， 又，则为正三角形，， 即不存在点P，使，故C错误； 可知，当位于椭圆右顶点时，最大值为， 当位于椭圆左顶点时，最小值为， 即的取值范围是，故D正确； 故选：ABD. 【变式4-3】（多选）（2025·高二·湖南永州·期中）已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（     ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 【答案】BC 【解析】依题意，不妨设点，由可得故， 则的面积为解得：， 对于A选项，由上分析知点的纵坐标为，故A项错误； 对于B选项，由 知，此时点为椭圆短轴顶点，故， 又由知，故B项正确； 对于C选项，因点在椭圆上，故有 于是的周长为故C项正确； 对于D选项，设的内切圆半径为，则由三角形面积相等可得： ，解之得：故D项错误. 故选：BC. 题型05 与椭圆有关的轨迹问题 【典例】（24-25高二下·海南海口·期中）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点、，则，由中点坐标公式可得，由已知条件可得出，将代入等式，化简可得出轨迹的方程； 【解析】设点、，则， 由中点的坐标公式可得，所以，， 因为点在圆上，则，则，整理可得. 因此，轨迹的方程为. 故选：A. 求与椭圆有关的轨迹问题的方法： 方法1：定义法（最直接，优先使用） 适用场景：动点条件直接满足椭圆的定义； 方法 2：直接法（坐标转化法） 适用场景：动点满足的几何条件可直接转化为含x、y的等式（非定义形式，但化简后为椭圆方程）； 方法 3：相关点法（代入法） 适用场景：动点的轨迹由另一个已知轨迹（如椭圆）上的点通过关系确定（为相关点）. 【变式5-1】（2025·高二·广东清远·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，所以两圆相内切于点， 设动圆的圆心为，半径为，则， ， 因此点的轨迹方程是以为焦点，长轴长为10的椭圆（不含点）， 所以该动圆的圆心的轨迹方程为. 故选：B 【变式5-2】（2025高二·湖南·阶段练习）已知圆： ，圆： ，圆，圆． （1）若动圆与圆内切与圆外切. 求动圆圆心的轨迹的方程； （2）若动圆与圆、圆都外切. 求动圆圆心的轨迹的方程． 【解析】（1）设动圆的半径为， ∵动圆与圆内切，与圆外切， ∴，且. 于是， 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆. 从而，所以. 故动圆圆心的轨迹的方程为． （2）圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得， 所以，， 所以，圆心的轨迹是以点、分别为左右焦点的双曲线的右支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此，圆心的轨迹方程为. 【变式5-3】（2025·高二·吉林·期末）已知一动圆O与圆外切，同时与内切，则动圆圆心O的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设动圆的圆心为，半径为R， 动圆与圆外切，同时与圆内切， 则，又， 因此该动圆是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆， 设椭圆的方程为，故，解得，， 由a、b、c的关系得，故椭圆的方程为： 题型06 椭圆中的距离最值问题 【典例】（2025高二上·全国·专题练习）已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值为（ ） A．12， B．， C．12，8 D．9， 【答案】C 【解析】令椭圆的左焦点为，有，由椭圆定义知， 显然点在椭圆内，，直线交椭圆于， 而，即， 当且仅当点共线时取等号， 当点与重合时，，则， 当点与重合时，，则， 所以的最大值和最小值为12，8.故选：C 【变式6-1】（2025·江苏-模拟预测）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（ ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【解析】依题意，设椭圆的左焦点为， 圆的圆心为，半径为， ， 当三点共线，且在之间时等号成立. 而， 所以， 当四点共线，且在之间， 是的延长线与圆的交点时等号成立.故选：D 【变式6-2】（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为 . 【答案】8 【解析】如图, 由，得，则， 则圆的圆心是椭圆的左焦点，椭圆的右焦点为， 由椭圆的定义得， 所以， 又， 所以，. 【变式6-3】（24-25·全国·高三专题练习）设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值分别是 ． 【答案】4，8 【解析】椭圆的两个焦点坐标为， 且恰好为两个圆的圆心坐标，两个圆的半径相等都等于1， 则由椭圆的定义可得 故椭圆上动点与焦点连线与圆相交于、时，最小， 所以， . 故答案为：4，8. 题型07 点与椭圆的位置关系 【典例】（24高二上·四川资阳·期中）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆方程为， 因为，所以点在椭圆内部，A错误； 因为，所以点在椭圆内部，B错误； 因为，所以点在椭圆外部，C正确； 因为，所以点在椭圆内部，D错误.故选：C. 【变式7-1】（24高二上·河南南阳·月考）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【答案】B 【解析】由于，所以在内，故选：B 【变式7-2】（24高二·四川成都·期中）已知点(3，2)在椭圆上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是 . 【答案】点在椭圆外 【解析】因为点(3，2)在椭圆上，所以=1， 又，所以，故点(-3，3)在椭圆外. 故答案为：点在椭圆外. 【变式7-3】（24-25高三上·北京海淀·期末）已知椭圆的焦点在轴上，点，则（   ） A．在外 B．的长轴长为 C．在内 D．的焦距为 【答案】A 【分析】根据椭圆方程及焦点位置求出的范围，即可判断. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以， 则的长轴长为，焦距为，故B、D错误； 因为，所以，所以，所以，所以点在外，故A正确，C错误. 故选：A 题型08 椭圆方程的综合问题 【典例】．（23-24高二上·江西·期末）已知点为椭圆的焦点，过F的直线l交C于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若D为的中点． ①求D的轨迹方程； ②求的最大值． 【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可； （2）①设，，，根据点差法可得，再分斜率存在与不存在求解即可； ②由①知，D的轨迹是个椭圆，原点O是该椭圆的左顶点即可得. 【解析】（1）由题意有，所以C的方程为； （2）设，，，则， 即， 当斜率存在时，有，即， ①当斜率存在时，由上述分析有，得， 当斜率不存在时，易知，满足上面得出的方程， 综上，D的轨迹方程为； ②由①知，D的轨迹是个椭圆，且F是该椭圆的右顶点， 不难看出坐标原点O是该椭圆的左顶点，所以． 【变式8-1】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线与曲线. (1)若与有公共点，求实数的取值范围； (2)若与有两个不同的公共点，且线段中点的横坐标为，求实数的值. 【分析】（1）联立直线与椭圆，利用方程组与两个交点，求出的范围. （2）设交点，利用韦达定理求解即可. 【解析】（1）联立 的取值范围 （2）设由得. 线段中点的横坐标为 【变式8-2】（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与轴垂直. (1)证明：； (2)若的角平分线恰好过点，求的面积. 【分析】（1）利用椭圆定义以及勾股定理计算可得结论； （2）由角平分线定理可得，，解得，代入可求得面积. 【解析】（1）由椭圆的定义得， 因为直线与x轴垂直，所以， 即，故. （2）因为平分，所以，即，如下图所示： 由和，解得，， 代入得，解得； 故的面积为. 【变式8-3】（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的长、短轴长之比为，且经过点. (1)求的方程； (2)设椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，又与的离心率相等. ①用一个正的参数写出的方程； ②已知为的右端点，若，分别为、上的点，满足：，，求的长轴长的取值范围. 【解析】（1）因为椭圆的长、短轴长之比为，且经过点， 所以，解得，，所以的方程为. （2） ①因为的方程为，的中心在坐标原点，焦点在轴上， 又与的离心率相等，所以可设的方程为， 即的方程为. ②因为，，所以且，， 设， 所以，， 设，所以，， 直线的方程为，即， 所以，代入得， ， 因为，所以， 不妨设，代入的方程可解得， 因为位于上，所以 ， 为上任一点，所以，化简得， 设，因为为上任一点，即有解， 整理得，， 解得，所以， 所以的长轴长. 题型09 椭圆的参数方程（拓展） 【典例】（2024高三·全国·专题练习）若椭圆的焦点在y轴上，过点作圆的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好和椭圆只有一个交点，则椭圆内接矩形面积最大时的离心率是 . 【答案】 【分析】由题意，AB是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，可求出直线AB方程，利用椭圆参数方程表示椭圆上点到直线AB的距离，当时，直线和椭圆相切，再椭圆内接矩形面积为，利用基本不等式可得时面积最大，从而得解. 【解析】设，圆的圆心， 则AB是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线， 以为直径的圆的方程为， 即，两圆方程相减， 得直线AB方程为：， 设椭圆上的点为，到直线AB的距离为 . 由于直线和椭圆相切，因此得当时，d取得最小值， 且最小值为0，所以. 椭圆内接矩形面积为. 所以面积的最大值为. 由均值不等式，当且仅当时取等号， 所以离心率. 故答案为： 【变式9-1】（22-23高二·全国·课堂例题）已知椭圆的标准方程为，则椭圆上的点P到椭圆中心O的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：设点，则，结合点P在椭圆上，得，结合的范围可得结果； 方法二：设，，，结合三角函数的性质可得结果. 【解析】方法一：设点，则. 由椭圆的范围，知，. ∵点P在椭圆上，∴，则，∴. ∵，∴，即. 方法二：设，，， 则， 因为，所以.故选：C. 【变式9-2】（22-23高二下·宁夏银川·期末）设点P为圆上的一动点，点Q为椭圆上的一动点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】利用三角换元结合距离公式可求，结合函数的性质可求最大值. 【分析】设，圆的圆心， 则， 因为，故时取最大值为，进而的最大值为． 故答案为： 【变式9-3】（23-24高二上·宁夏银川·期中）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程： (2)过点且倾斜角为的直线与椭圆交于A、两点，线段的中垂线与轴交于点，是椭圆上的一点，求的最小值. 【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解. （2）由直线和椭圆方程式联立得线段的中点坐标，得到线段的中垂线方程，由此求得的坐标，再由椭圆的参数方程得的坐标，再由两点间的距离公式和复合函数求最值即得. 【解析】（1）由题意设椭圆的方䄇为， 因为椭圆经过点且短轴长为2，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）由已知得直线的方程为， 设，将直线代入， 得，解得，不妨设则；同理得， 即，所以线段的中点坐标， 所以线段的中垂线的方程为， 因为线段的中垂线与轴交于点，所以令得，得， 因为椭圆的标准方程为. 所以设椭圆的参数方程为，，因为是椭圆上的一点， 所以, 所以， 因为，所以， 当时，取得最小值为. 练基础 1．（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（     ）. A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【分析】根据题意，由椭圆的定义，即可得到结果. 【解析】因为为平面内两个不同定点，且， ， 则动点的轨迹是以为焦点的椭圆. 故选：A 2．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆，上顶点为，左、右焦点分别为，，经过点的直线垂直平分线段，且交椭圆于，两点，的周长为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设条件易得，结合图形将的周长转化为的周长，从而求得的值，即得椭圆方程. 【解析】 如图，因经过点的直线垂直平分线段，则，即， 因，则的周长等于的周长， 即，解得，，故椭圆的标准方程为. 故选：D． 3．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】由方程表示焦点在y轴上的椭圆得解出即可求解. 【解析】由题意有， 所以“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的必要非充分条件， 故选：B. 4．（24-25高三下·全国·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆定义得到，结合题中等式解得，，由勾股定理逆定理得到，由夹角求得直线的斜率. 【解析】由椭圆的定义得， 结合， 解得，， 所以， 从而， 所以 故选：D. 5．（24-25高二上·湖南郴州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理求解即得. 【解析】依题意，，，而，则， 在中，由余弦定理得， 所以. 故选：C 6．（多选）（24-25高二上·广东佛山·期中）已知曲线，则下列结论正确的有（   ） A．若，则C是焦点在轴上的椭圆 B．若，则C是圆 C．若，则C是焦点在轴上的椭圆 D．若，则C是两条平行于y轴的直线 【答案】ABD 【分析】根据椭圆和圆的方程，逐一分析判断即可. 【解析】对于A，若，则， 所以C是焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则曲线， 所以C是圆，故B正确； 对于C，若，则， 所以C是焦点在轴上的椭圆，故C错误； 对于D，若，则， 所以C是两条平行于y轴的直线，故D正确. 故选：ABD. 7．（多选）（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则（    ） A． B．的最大值为4 C．的最大值为3 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】根据给定的椭圆方程求出长短半轴长及半焦距，再结合椭圆定义及余弦定理逐项判断. 【解析】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，C正确； 对于D， ，当且仅当时取等号，D错误. 故选：BC 8．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由椭圆的方程及同角三角函数的基本关系得到答案. 【解析】因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，所以. 故答案为：. 9．（2025·河南·模拟预测）已知为椭圆上一点，且直线与有且仅有一个交点，则的焦距为 . 【答案】 【分析】将代入椭圆方程，结合题意及关系及焦距定义即可求解. 【解析】将代入椭圆方程，得到， 又因为直线与仅有一个交点，所以， 进而解得，所以的焦距为. 故答案为：. 10．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且经过点 (1)求椭圆的标准方程； (2)求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标． 【分析】（1）设椭圆方程为，即可得到、、的方程组，解得即可； （2）由（1）可得，根据椭圆的性质计算可得. 【解析】（1）依题意设椭圆的标准方程为， 则，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）可得，所以长轴长为，短轴长为， 离心率，顶点坐标为，. 11．（24-25高二上·上海·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点 (2)椭圆经过点和. 【分析】（1）根据焦点坐标以及点在椭圆上得到关于的方程组，由此可求的值，则椭圆标准方程可得； （2）设出椭圆方程，代入点的坐标可求，则椭圆标准方程可求. 【解析】（1）由题意可知椭圆的焦点在x轴上， 设它的标准方程为， 由已知得，又因为， 因为在椭圆上，所以，即， 从而有，解得或， 因此，从而所求椭圆的标准方程为， （2）设椭圆的方程为， 因为椭圆经过两点和， 所以，即椭圆方程为， 练提升 12．（24-25高三下·山东·阶段练习）设甲：曲线表示焦点在x轴上的椭圆，乙：是第一或第四象限角，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的性质，结合椭圆和三角函数的性质，即可判断选项. 【解析】由条件可知，若甲正确，则，即可， 即，且，得是第一或第四象限角，即甲是乙的充分条件； 反过来，若是第一或第四象限角，则，即， 此时，即 所以，则甲也是乙的必要条件. 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 13．（2024高三·全国·专题练习）设是椭圆上一点，，分别是两圆和上的点，则的最小值、最大值分别为（   ） A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．9，11 【答案】C 【分析】说明两圆的圆心分别为椭圆的左右焦点，根据圆外的点到圆上的点的距离的范围结论求的最值，结合椭圆的定义求结论. 【解析】 设椭圆的左，右焦点分别为，半焦距为，长半轴为， 则， 所以， 圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 由已知可得，当为的延长线与圆的交点时取到最值， ，当为与圆的交点时取到最值， 当为的延长线与圆的交点时取到最值， ，当为与圆的交点时取到最值， 由椭圆的定义可得， ， 当分别为与圆的交点，与圆的交点时取到最值， ． 当分别为的延长线与圆的交点，的延长线与圆的交点时取到最值， 故选：C. 14．（多选）（24-25高二上·四川自贡·期末）已知椭圆 为左，右焦点. O为原点，P为椭圆上一点， 下列说法正确的是 （    ） A．满足条件的P点总共有4个 B．=4 C．|PO|=3 D． 【答案】ABD 【分析】由题设求出，设 再在焦点中，运用余弦定理结合椭圆的定义得到求得即可判断B；设P（x₀，y₀），由=4得代入椭圆方程得从而，故P点共有4个，可判断A、C，求得 即可判断D, 【解析】由题意得，，设 则 在中，由余弦定理得，， 即，即 ，解得 故B项正确； 设P（x₀，y₀）， 代入椭圆方程得， 解得 则 故C项错误； 由故P点共有4个，故A项正确； 对于D， 故D项正确. 故选：ABD. 15．（24-25高三下·河北秦皇岛·阶段练习）设椭圆的左焦点为，点在上，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 15 23 【分析】求出椭圆的长轴长及左、右焦点坐标，再结合椭圆定义及线段和差大小关系求出最值. 【解析】椭圆长轴长为10，左焦点，令右焦点为，点在椭圆外， 因此，当且仅当为线段与椭圆交点时取等号； ， 当且仅当为线段的延长线与椭圆交点时取等号， 所以的最小值为15，最大值为23. 故答案为：15；23    16．（24-25高二下·上海徐汇·期中）如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，给出下列三个判断： ①到、、、四点的距离之和为定值； ②曲线关于直线、均对称； ③曲线所围区域面积必小于36； 上述判断中正确命题的为 ． 【答案】②③ 【分析】当在上时，不为定值，①错误；根据对称性得到②正确；图形在边长为的正方形内部，③正确，得到答案. 【解析】对于①，不考虑交点的情况，当在时，不为定值，故①错误； 对于②，两个椭圆，关于均对称， 故曲线关于直线均对称，故②正确； 对于③，曲线包含在边长为的正方形内部， 故面积小于36，故③正确. 故答案为：②③. 17．（2025高三·全国·专题练习）如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？为什么？（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合．） 【分析】由为线段的中点得到点与点坐标之间的关系式，并由点的坐标满足圆的方程得到点的坐标所满足的方程． 【解析】线段的中点的轨迹是以原点为中心，焦点在轴，长轴长为，短轴长为的椭圆. 原因如下： 设，，此时， 因为点是线段PD的中点，所以，， 当时，点与点P重合， 此时也满足，， 因为在圆上， 所以，可得， 即， 则点的轨迹方程为. 线段的中点的轨迹是以原点为中心，焦点在轴，长轴长为，短轴长为的椭圆. 18．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）（1）过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程． （2）点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求的轨迹方程； 【分析】（1）根据题意，分别求得直线与直线的方程，即可求得圆心坐标，从而可得圆的半径，即可得到圆的标准方程； （2）根据题意，结合两点间距离公式代入计算，即可得到轨迹方程. 【解析】（1）过点的圆与直线相切于点， 两点在圆上，圆的圆心在垂直平分线上； ，中点为， 的垂直平分线方程为； 直线与圆相切于点， 直线与直线垂直，， 直线方程为：，即； 由得：，圆心，半径， 圆的标准方程为． （2）因为点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数， 所以，整理得．即， 则的轨迹方程为； 19．（24-25高二上·福建宁德·期末）已知点T分别与两点，连线的斜率的乘积为， (1)求点T的轨迹的方程； (2)已知直线与交于A，B两点，，求k的值. 【分析】（1）设，代入斜率公式求解即可； （2）设出直线l的方程，将直线方程与轨迹方程联立，利用韦达定理求出线段AB的中点坐标，将，转化成直线PD与直线AB垂直，代入斜率公式求解即可． 【解析】（1）设， 因为，，所以，， 由，得，整理得， 则点T的轨迹的方程为. （2） 设直线l的方程为，，， 联立，消去y并整理得， 此时， 由韦达定理得， 所以， 此时AB中点， 因为，所以直线PD与直线AB垂直， 所以，即， 解得， 则 . 练创新 20．（多选）（24-25高二上·河北石家庄·期末）平面内到两定点距离之积为常数此常数不为的点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系xOy中，，，动点P满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C，如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．曲线C与x轴交点的坐标为， B．周长的最小值为8 C．若直线与曲线C只有一个交点，则k的取值范围是 D．面积的最大值为2 【答案】ACD 【分析】设，应用两点间距离公式化简得出轨迹整理求出点的坐标判断A，应用基本不等式化简求解判断B,联立方程组应用判别式化简求参判断C，换元结合二次函数的值域判断D. 【解析】设，则由可得，整理得， 令，则有，即，整理得，解得或， 即曲线C与x轴交点的坐标为，，A正确； 对于B，因为，所以， 当且仅当时，等号成立，此时P点坐标为，，三点共线， 所以周长，B错误； 联立，消去y可得， 即，整理得， 要使直线与曲线C只有一个交点，则方程只有一个解， 故，解得或， 则实数k的取值范围是，C正确； 设，则， 故，故面积的最大值为，D正确. 故选: 21．（多选）（2025高三·全国·专题练习）设计一个造型“”的曲线．已知曲线过坐标原点，且上的点满足到两个定点，的距离之积为4，则下列结论中正确的是（    ） A． B．点的横坐标的取值范围是 C．周长的最小值为8 D．面积的最大值为2 【答案】ABD 【分析】A选项，由于曲线经过原点，所以即可求得；B选项，由题意得，得到曲线方程，得到关于的不等式，解出取值范围；C选项，利用基本不等式即可得到最小值；D选项，由三角形面积公式和三角函数最大值得到面积最大值. 【解析】对于选项A，因为曲线过原点，所以，则，即（负值舍去），则A正确； 对于选项B，因为，所以，因为，当且仅当时取等号，即，解得，则B正确； 对于选项C，，当且仅当时取等号，此时与坐标原点重合，不存在，则C不正确； 对于选项D，，当且仅当时取等号，此时有解，则D正确． 故选：ABD． 21 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $