2 2.2　圆的一般方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

2.2　圆的一般方程 学习目标 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程及其特点，培养数学抽象的核心素养.　2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小，提升数学运算的核心素养.　3.能根据某些具体条件求圆的一般方程，会求与圆有关的简单的轨迹方程问题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 任务一　圆的一般方程 问题1.方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？ 提示：对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆；对方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝0，表示点(1，－2)；对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形. 问题2.(1)如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？ (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？ 提示：(1)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0进行配方，得＋＝，当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆. (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点. 1.圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F＞0)称为圆的一般方程. 2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 表示的图形 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点(－，－) D2＋E2－4F＞0 表示以(－，－)为圆心，以为半径的圆 微提醒(1)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F＞0. (2)圆的标准方程和一般方程的相互转化： [微思考]　1.对于二元二次方程Ax2＋Cxy＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0而言，表示圆的代数特征是什么？ 提示：x2，y2的系数相同，且不等于0，即A＝B≠0；不含xy这样的二次项，即C＝0. 2.能从代数角度说明“不共线的三点可以确定一个圆”吗？ 提示：可以.把不共线的三个点的坐标代入圆的一般方程(或标准方程)，所得的关于D，E，F(或a，b，r)的方程组只有唯一一组解. 角度1　圆的一般方程的判断 (1)若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　　) A.R B.(－∞，1) C.(－∞，1] D.[1，＋∞) (2)(双空题)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是　　　　，半径是　　　　. 答案：(1)B(2)(－2，－4)　5 解析：(1)由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得，(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k＞0，解得k＜1.故选B. (2)由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即( x＋)2＋(y＋1)2＝－，不表示圆. 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的判断方法 1.配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形为标准方程后，观察是否表示圆. 2.运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F的符号是否为正，确定它是否表示圆. 注意：在利用D2＋E2－4F＞0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数均为1. 学生用书⬇第34页 对点练1.若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆. (1)求实数m的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径. 解：(1)由表示圆的充要条件， 得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0， 解得m＜，即实数m的取值范围为(－∞，). (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝. 角度2　求圆的一般方程 (链教材P32例4)已知A(0，0)，B(6，0)，C(－1，7)，求△ABC的外接圆的圆心坐标和半径. 解：设外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.① 将圆上三点的坐标依次代入方程①，得到一个关于D，E，F的三元一次方程组 解得D＝－6，E＝－8，F＝0， 因此，外接圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0， 整理得(x－3)2＋(y－4)2＝52. 所以外接圆的圆心坐标为(3，4)，半径为5. [变式探究] (变设问)若点M(0，b)在△ABC的外接圆外，求b的取值范围. 解：由M(0，b)在圆x2＋y2－6x－8y＝0外得b2－8b＞0， 解得b＜0或b＞8， 所以b的取值范围是(－∞，0)∪(8，＋∞). 待定系数法求圆的方程的解题策略 1.如果已知条件与圆心坐标、半径有关，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. 2.如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F. 对点练2.(一题多解)已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径. 解：法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 因为A，B，C在圆上， 所以 所以△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝25. 所以外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 法二：因为kAB＝＝，kAC＝＝－3， 所以kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC. 所以△ABC是以角A为直角的直角三角形， 所以外心是线段BC的中点，坐标为(1，－1)，r＝｜BC｜＝5. 所以外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25. 所以外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 任务二　与圆有关的轨迹方程问题 角度1　直接法求轨迹方程 求到两个定点A(－2，0)，B(1，0)的距离之比等于2的点的轨迹方程. 解：设M(x，y)为所求轨迹上一点，则＝2， 所以＝2，即(x＋2)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2， 整理可得x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4. 角度2　定义法求轨迹方程 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程. 解：设AB的中点为D，由中点坐标公式， 得D(1，0). 由直角三角形的性质，知｜CD｜＝｜AB｜＝2. 由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点). 设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1). 学生用书⬇第35页 角度3　代入法求轨迹方程 已知定点Q(3，0)，动点P在圆x2＋y2＝1上，求线段PQ的中点M的轨迹方程. 解：设P(x1，y1)，PQ的中点M的坐标为(x，y)， 因为Q(3，0)，所以 又因为点P在圆x2＋y2＝1上，所以＋＝1，所以(2x－3)2＋4y2＝1， 即线段PQ的中点M的轨迹方程为x2＋y2－3x＋2＝0. 求与圆有关的轨迹问题的方法 1.直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、求解. 2.定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程. 3.代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程. 对点练3.(1)若线段AB的端点分别在x轴、y轴上运动，且｜AB｜＝4，求线段AB中点M的轨迹方程. (2)(一题多解)已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1，2)的弦的中点P的轨迹方程. (3)已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程. 解：(1)由题意，设原点为O(0，0)， 则｜OM｜＝｜AB｜＝2，由圆的定义，M在以O(0，0)为圆心，2为半径的圆上， 即x2＋y2＝4，即为M的轨迹方程. (2)法一：设点P的坐标为(x，y). 当AP垂直于x轴，即点P的坐标为(1，0)时符合题意； 当AP垂直于y轴，即点P的坐标为(0，2)时，符合题意； 当点P与点A或点O重合，即点P的坐标为(1，2)或(0，0)时，符合题意； 当x≠0，且x≠1时，根据题意可知AP⊥OP， 即kAP·kOP＝－1， 因为kAP＝，kOP＝， 所以·＝－1， 即＋(y－1)2＝(x≠0，且x≠1). 经检验，点(1，0)，(1，2)，(0，0)，(0，2)也适合上式. 即中点P的轨迹方程为＋(y－1)2＝. 法二：设点P的坐标为(x，y)，则A，P重合或OP⊥AP，总有·＝0， 即(x－1，y－2)·(x，y)＝0，x(x－1)＋y(y－2)＝0，即x2＋y2－x－2y＝0， 亦即＋(y－1)2＝. (3)以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)， 则点A(－2，0)，B(2，0)， 设C(x，y)，BC中点D(x0，y0). 所以① 因为｜AD｜＝3，所以(x0＋2)2＋＝9.② 将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36. 因为点C不能在x轴上， 所以y≠0. 综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点. 轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0). [教材拓展2]　圆的一般方程下的切线长公式(源自于教材P40C组T2) 由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　) A. B.2 C.1 D.3 答案：A 解析：代数法：令点P(x0，x0＋1)为直线上任一点，则切线长d＝＝＝≥.故选A. 几何法：由图可知，｜PT｜2＝｜PC｜2－｜TC｜2＝｜PC｜2－1，则当｜PC｜取最小值时切线长最短，此时，需｜PC｜＝＝2，所以｜PT＝8－1＝7，｜PT｜min＝.故选A. 任务再现 1.圆的一般方程.2.与圆有关的轨迹方程问题 方法提炼 待定系数法、几何法、定义法、代入法 易错警示 忽视圆的一般方程中系数的限制条件 1.方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(　　) A.＜m＜1 B.m＞1 C.m＜ D.m＜或m＞1 答案：D 解析：方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜或m＞1.故选D. 2.已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2，3)，则D，E分别为(　　) A.4，－6 B.－4，－6 C.－4，6 D.4，6 答案：A 解析：圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为，又已知该圆的圆心坐标为(－2，3)，所以－＝－2，－＝3，所以D＝4，E＝－6.故选A. 3.当a取不同的实数时，由方程x2＋y2＋2ax＋2ay－1＝0可以得到不同的圆，则(　　) A.这些圆的圆心都在直线y＝x上 B.这些圆的圆心都在直线y＝－x上 C.这些圆的圆心都在直线y＝x或在直线y＝－x上 D.这些圆的圆心不在同一条直线上 答案：A 解析：圆的方程变为(x＋a)2＋(y＋a)2＝2a2＋1，所以圆心坐标为(－a，－a)，故圆心都在直线y＝x上.故选A. 4.已知圆C过点M(1，1)，N(5，1)，且圆心在直线y＝x－2上，则圆C的一般方程为　　　　　　　　. 答案：x2＋y2－6x－2y＋6＝0 解析：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得所以圆C的一般方程为x2＋y2－6x－2y＋6＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $