1 2.1　圆的标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

本讲义聚焦圆的标准方程核心知识点，从圆的几何要素（圆心、半径）出发推导标准方程，进而学习点与圆的位置关系（距离与半径比较），最后拓展到与圆有关的最值问题，构建定义-方程-应用-拓展的递进式学习支架。 资料以问题驱动探究（如通过问题链推导方程）和一题多解（如几何法与待定系数法求圆方程）为特色，培养逻辑推理与数学运算素养。课中任务链引导学生主动建构知识，课后分层练习助力巩固，提升直观想象与问题解决能力，兼顾教学效率与学生查漏补缺需求。

§2　圆与圆的方程 2.1　圆的标准方程 学习目标 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程，培养逻辑推理的核心素养.　2.能根据所给条件求圆的标准方程，提升数学运算的核心素养.　3.能够判断点与圆的位置关系并能解决相关问题，提升直观想象、数学运算的核心素养. 任务一　圆的标准方程 问题1.圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 提示：平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合(或轨迹)叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 确定圆的要素：圆心和半径.关系：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 问题2.已知圆C的圆心为C(a，b)，半径为r，如何推导圆的方程？ 提示：如图所示，设P(x，y)为圆上任意一点，则｜PC｜＝r，根据两点间的距离公式，得＝r，将上式两边平方、整理，得方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 1.圆的定义 圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合(或轨迹)，其中定点是圆心，定长就是半径.用集合表示为{P｜｜PC｜＝r}. 2.圆的标准方程 (1)圆的标准方程：以点C(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径. 3.圆x2＋y2＝r2(r＞0)的简单几何性质 (1)范围：≤r，≤r. (2)对称性：圆x2＋y2＝r2既是轴对称图形，过原点的任意一条直线都是它的对称轴，又是中心对称图形，其对称中心是坐标原点. 微提醒(1)所谓圆的标准方程，是指方程的形式.圆的标准方程体现了圆的几何性质，突出了圆的几何要素：圆心和半径.即圆的标准方程的特征： (2)当圆心在原点即A(0，0)，半径r＝1时，圆的方程为x2＋y2＝1，称为单位圆. (3)相同的圆，当建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的. (4)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上. 角度1　由圆的方程求圆心和半径 (多选题)下列说法错误的是(　　) A.圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1，2)，半径为5 B.圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2，0)，半径为b C.圆(x－)2＋(y＋)2＝2的圆心为(，－)，半径为 D.圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(2，2)，半径为 答案：ABD 解析：圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1，2)，半径为，故A错误；圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2，0)，半径为｜b｜，故B错误；C正确；圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(－2，－2)，半径为，故D错误.故选ABD. 角度2　求圆的标准方程 (一题多解，链教材P30例3)求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程. 解：法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由已知条件知 解得 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法二：由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)， kAB＝＝－1， 所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1， 所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x. 则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点， 由 即圆心为(1，1)， 圆的半径为＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 学生用书⬇第31页 确定圆的标准方程的方法 1.几何法：由圆的几何性质求出圆心坐标和半径长，然后代入标准方程即可. 2.待定系数法：设出圆的标准方程，通过三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程.这种方法体现了方程的思想，是最常用的方法，一般步骤是： (1)设——设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； (2)列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组； (3)解——解方程组，求出a，b，r； (4)代——将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程. 对点练1.根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4). 解：(1)因为r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， 所以圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8. (2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， 所以b＝0或b＝－8，所以圆心为(0，0)或(0，－8)， 又r＝5， 所以圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. 任务二　点与圆的位置关系 问题3.点P(x0，y0)在圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2上的充要条件是什么？点P(x0，y0)在圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外的充要条件是什么？点P(x0，y0)在圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2内的充要条件是什么？ 提示：当点在圆上时，点到圆心的距离等于半径；当点在圆外时，点到圆心的距离大于半径；当点在圆内时，点到圆心的距离小于半径. 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝｜PC｜＝. 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 已知A(－1，4)，B(5，－4).求以AB为直径的圆的标准方程，并判断C(5，1)，D(6，－3)，E(－5，1)与圆的位置关系. 解：设圆心为O(x0，y0)，半径为r， 由题意得 所以圆心O(2，0). 又r＝＝5， 所以圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝25. 又｜OC｜2＝(5－2)2＋12＝10＜r2， 所以C在圆内. 又｜OD｜2＝(6－2)2＋(－3－0)2＝25＝r2， 所以D在圆上. 又｜OE｜2＝(－5－2)2＋(1－0)2＝50＞r2， 所以E在圆外. 判断点与圆的位置关系的两种方法 几何法 主要利用点到圆心的距离与半径比较大小 代数法 把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并作出判断 对点练2.(1)点M(a，a＋1)与圆C：(x－1)2＋y2＝1的位置关系是(　　) A.M在C外 B.M在C上 C.M在C内 D.与a的取值有关 (2)(双空题)已知点P(2，1)和圆C：＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝　　　　；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为　　　　　　　. 答案：(1)A(2)－2或－6　{a｜a＜－6，或a＞－2} 解析：(1)因为圆心C(1，0)，｜MC｜＝＝≥＞1，所以点M在圆外.故选A. (2)由题意，得＋(y－1)2＝1，当点P在圆C上时，由＋(1－1)2＝1，解得a＝－2或a＝－6.当点P在圆C外时，由＋(1－1)2＞1，解得a＜－6或a＞－2. 学生用书⬇第32页 任务三　与圆有关的最值问题 已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求x2＋y2的最值. 解：由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值. 因为原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d＝1， 所以圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝. 因此x2＋y2的最大值和最小值分别为. 　　处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.与圆有关的最值问题，常见的有以下两种类型： 1.形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 2.形如形式的最值问题，可转化为动点到定直线的距离的最值问题. 对点练3.已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求的最值. 解：表示圆(x＋1)2＋y2＝上的点到直线x＋2y－6＝0的距离， 又圆心C(－1，0)到直线x＋2y－6＝0的距离d＝＝， 所以所求最大值为＋，最小值为－. 任务再现 1.圆的标准方程.2.点与圆的位置关系.3.与圆有关的最值问题 方法提炼 直接法、几何法、待定系数法 易错警示 几何法求圆的标准方程容易出现漏解情况 1.以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(　　) A.(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B.(x＋2)2＋(y＋1)2＝4 C.(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝16 答案：C 解析：以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16. 2.(多选题)下列各点中，不在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的外部的是(　　) A.(0，2) B.(3，3) C.(－2，2) D.(4，1) 答案：ACD 解析：对于A，(0－1)2＋(2＋2)2＜25，点(0，2)在圆内；对于B，(3－1)2＋(3＋2)2＞25，点(3，3)在圆外；对于C，(－2－1)2＋(2＋2)2＝25，点(－2，2)在圆上；对于D，(4－1)2＋(1＋2)2＜25，点(4，1)在圆内.故选ACD. 3.若点P(－1，)在圆x2＋y2＝m上，则实数m＝　　　　. 答案：4 解析：因为点P(－1，)在圆x2＋y2＝m上，所以将点P坐标代入，得(－1)2＋()2＝m，即m＝4. 4.(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为　　　　　　. 答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5 解析：因为点M在直线2x＋y－1＝0上，所以设点M为(a，1－2a)，又因为点(3，0)和(0，1)均在☉M上，所以点M到两点的距离相等且为半径R，所以＝＝R，a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，所以M(1，－1)，R＝，☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 学科网（北京）股份有限公司 $